《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》備課資料

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》備課資料（2）公式通項(xiàng)公式如果一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么該等差數(shù)列第n項(xiàng)的表達(dá)式為：補(bǔ)充：求和公式若一個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，末項(xiàng)為an那么該等差數(shù)列和表達(dá)式為：S=（a1+an）n÷2即（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2前n項(xiàng)和公式注意：n是正整數(shù)（相當(dāng)于n個(gè)等差中項(xiàng)之和）等差數(shù)列前N項(xiàng)求和，實(shí)際就是梯形公式的妙用：上底為：a1首項(xiàng)，下底為a1+(n-1)d，高為n。即[a1+a1+(n-1)d]*n/2=a1n+n(n-1)d/2。推論一、從通項(xiàng)公式可以看出，a(n)是n的一次函數(shù)(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項(xiàng)和公式知，S(n)是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項(xiàng)為0。二、從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等差數(shù)列，等等。若m+n=2p,則a(m)+a(n)=2*a(p)(對(duì)3的證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因?yàn)閙+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p(q))其他推論和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2(證明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))證明原理見(jiàn)高斯算法項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1(證明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)②首項(xiàng)=2x和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng)或末項(xiàng)-公差×（項(xiàng)數(shù)-1）③末項(xiàng)=2x和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng)(以上2項(xiàng)為第一個(gè)推論的轉(zhuǎn)換)④末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）×公差(上一項(xiàng)為第二個(gè)推論的轉(zhuǎn)換)推論3證明若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d=2*a(1)+(m+n-2)*d同理得，a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d又因?yàn)閙+n=p+q;a(1),d均為常數(shù)所以若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)若m，n，p∈N*，且m+n=2p，則有a