矩陣的相似對角化

矩陣的相似對角化2.1相似矩陣及其性質(zhì)

定義2設(shè)A，B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得

P-1AP=B，則稱矩陣A與B，記為A~B.

例如，5-131A=0-240B=，，1-511P=，因為1-511-11-5-116=-—P-1AP5-1311-5112-2-20-416=-—012-240=-—160-240=，所以A~B.

相似關(guān)系是矩陣間的一種等價關(guān)系，滿足自反性：A~A

對稱性：若A~B，則B~A

傳遞性：若A~B，B~C，則A~C下頁

定理1如果矩陣A與B相似，則它們有相同的特征多項式，從而有相同的特征值.

證明：因為P-1AP=B，A與B有相同的特征多項式，|lE-B|=|P-1(lE)P

-P-1AP|=|lE-P-1AP|

=|P-1(lE-A)P|=|P-1||lE-A||P|=|lE-A|，

所以它們有相同的特征值.下頁

定義2設(shè)A，B為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P，使得

P-1AP=B成立，則稱矩陣A與B相似，記為A~B.2.1相似矩陣及其性質(zhì)

相似矩陣還具有下述性質(zhì)：

(1)相似矩陣有相同的秩；(r(A)=r(B))(2)相似矩陣的行列式相等；(|A|=|B|)(3)相似矩陣的跡相等；(tr(A)=tr(B))(4)相似矩陣或都可逆或都不可逆.當它們可逆時，它們的逆矩陣也相似.下頁

定理1如果矩陣A與B相似，則它們有相同的特征多項式，從而有相同的特征值.

易見，|A|=|B|，且B-1=(P-1AP)-1=P-1A-1(P-1)-1=P-1A-1P.注意：有相同特征值的同階矩陣未必相似反例注意：單位矩陣只能和它自己相似解：由于A和B相似，所以Tr(A)=Tr(B),|A|=|B|,

即

解：由于矩陣A和D相似，所以|A|=|D|,即

|A|=|D|＝12.下頁

例1.若矩陣相似，求x,y.解得例2.設(shè)3階方陣A相似于,求|A|.

定理2n階矩陣A與n階對角矩陣L=diag(l1,l2,,ln)相似的充分必要條件為矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量.

必要性.設(shè)存在可逆矩陣P=(x1,x2,,xn)使

P-1AP=L，則有可得

Axi=lixi

(i=1,2,,n).

因為P可逆，所以x1,x2,

,xn

都是非零向量，因而都是A的特征向量，并且這n個特征向量線性無關(guān).l1000l2000lnA(x1,x2,,xn)=(x1,x2,,xn)，證明：=(l1

x1,l2

x2,,lnxn)2.2

n階矩陣與對角矩陣相似的條件下頁(Ax1,Ax2,,Axn)引理：n階方陣A～diag(l1,l2,,ln）則l1,l2,,ln是A的特征值

充分性.設(shè)x1，x2，，xn為A的n個線性無關(guān)的特征向量，它們所對應(yīng)的特征值依次為l1，l2，，ln，則有

Axi=lixi

(i=1,2,,n).令P=(x1,x2,,xn)，則=(l1x1,l2x2,,ln

xn)=A(x1,x2,,xn)=(Ax1,Ax2,,Axn)AP

=(x1,x2,,xn)l1000l2000ln=PL.

因為x1,x2,,xn線性無關(guān),所以P可逆.用P-1左乘上式兩端得

P-1AP=L，即矩陣A與對角矩陣L相似.下頁

定理2n階矩陣A與n階對角矩陣L=diag(l1,l2,,ln)相似的充分必要條件為矩陣A有n個線性無關(guān)的特征向量.討論：

根據(jù)定理證明，怎樣取可逆矩陣P及對角矩陣L

？提示：

設(shè)ξ1，ξ2，，ξn為A的n個線性無關(guān)特征向量，它們所對應(yīng)的特征值依次為l1，l2，，ln，則取

P=(ξ1,ξ2,,ξn)，

L=diag(l1,l2,,ln)。下頁

例如，矩陣A=有兩個不同的特征值l1=4,l2=-2,5-131

其對應(yīng)特征向量分別為x1=，x2=

.

11-51

取P=(x1,x2)=，則1-511所以A與對角矩陣相似.

P-1AP-11-5-116=-—5-1311-5110-240=，問題：若取P=(x2,x1)，問L=？下頁

推論若n階矩陣A有n個相異的特征值l1，l2，，ln，則A與對角矩陣

L=diag(l1,l2,,ln)相似.

注意

A有n個相異特征值只是A可化為對角矩陣的充分條件,而不是必要條件.且有Ax1=-2x1，Ax2=-2x2，Ax3=4x3，向量組是A的線性無關(guān)的特征向量.所以當P=(x1,x2,

x3)時，有

例如，A=，x1=，x2=，x3=，16

3-3-6-5343

101-110121P-1AP=diag(-2,-2,4).下頁A=71210-12-24-1961310(1)

解：(1)矩陣A的特征方程為l-7-12-101224l+19

-6l-13

-10|lE

-

A|

矩陣A的特征值為

l1l2=1,l3-1，

對于特征值l3=-1，解線性方程組(-E-A)Xo，得其基礎(chǔ)解系x3=

.356

對于特征值l1l2=1,解線性方程組(E-A)Xo，210-101得其基礎(chǔ)解系x1=,x2=.=(l-1)2(l+1)=0，(2)-11-4B=103020下頁

例3.判斷下列矩陣是否相似于對角陣,若相似求可逆矩陣P，使P-1AP=L.

由于A有3個線性無關(guān)的特征向量x1，x２，x３，所以A相似于對角陣L

.

所求的可逆矩陣為

P=(x1，x２，x３)=,20

1-11

0365對角陣為L=,10

0

0

010-10滿足P-1AP=L.下頁(2)-11-4B=103020

例3.判斷下列矩陣是否相似于對角陣,若相似求可逆矩陣P，使P-1AP=L.A=71210-12-24-1961310(1)l+1-14

-10l-3

0l-2

0|lE

-

B|=(l-2)(l-1)2=0，矩陣B的特征值為

l1l2=1,l32.

對于特征值l1l2=1,解線性方程組(E-B)Xo，得其基礎(chǔ)解系x1=

，12-1

對于特征值l3=2，解線性方程組(2E-B)Xo，得其基礎(chǔ)解系x2=

.001顯然，

B不能相似于對角陣.下頁(2)-11-4B=103020

例3.判斷下列矩陣是否相似于對角陣,若相似求可逆矩陣P，使P-1AP=L.

解：(2)矩陣B的特征方程為A=71210-12-24-1961310(1)(1)(2)-11-4B=103020

例3.判斷下列矩陣是否相似于對角陣,若相似求可逆矩陣P，使P-1AP=L.

由于B只有2個線性無關(guān)的特征向量ξ1，ξ２，所以Ｂ不相似于對角陣。思考：