浙江省杭師大附中2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

PAGE44頁浙江省杭師大附中2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué): 姓名班級(jí)考號(hào) 一、單選題1．已知a(1,2,3),b(2,4,x),a//b ，則x（）A．2 B．4 C．6 D．82．橢圓x2y 1上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P與另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）2 F F36 1 2A．6 B．7 C．8 31的正四面體的高為（）2 22A． B．2 223 3

C．2 D．63 36已知空間中mn是兩條不同直線，是平面，則（）A．若m/n，則m//nC．若mn，則m//n

B．若m/n/，則mnD．若mn，則mnP,PB,PC是從點(diǎn)P6PC與平面PAB（）45

34

2 D．33 33ABCD4,AD3,5,BAD90,BAA60AC（）856170A．10 B． C． D．8561707A(2,2),B(2,6),C(4,2)Px2y24上運(yùn)動(dòng)，則|PA|2|PB|2|PC|2的最大值是（）A．144 B．88 C．72 D．32截此正方體所得截面面積的最大值為（）4 5

3 3 C． D．2 334 3 32 33二、多選題下列直線ll1 2

互相垂直的是（）A．

的斜率為2

A(1,1)B0,11 3 2 2 B．2 1

的傾斜角為45l2

經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),Q(3,6)C．l1

經(jīng)過點(diǎn)M(1,0),N(4,5)l2

經(jīng)過點(diǎn)R(6,0),S(1,3)D．l1

2l2

經(jīng)過點(diǎn)U(1,2),V(4,8)橢圓2x2y28的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．(0,2) B．(0,2) C．(2,0) D．(2,0)1ABCDABC

中，E為線段DD為線段

的中點(diǎn)，則（）111 1 1 130A．點(diǎn)A到直線BE的距離為2 B．直線FC到直線AE的距離為301 1 3 1 52CAABE的距離為2

D．直線FC

到平面ABE的距離為11 1 3 1 1 312．己知A(3,0),B(1,2)，圓Cx2)2y2r2(r0)使得△ABM,△ABN4，則r的可能取值為（）A．3 B．6 C．9 D．12三、填空題過點(diǎn)P（2，3）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程 已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O0,0A3,012

，則點(diǎn)M的軌跡方程．曲線x2y2xy0圍成的圖形的面積．Cx2y2a2 b2

＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足FA·FB＝0，則橢圓C的離心率的取值范圍.四、解答題ABCD的四邊所在的直線分別是：l1

:x4y50,l2

:2xy80，l:x4y140,l:2xy10，3 4求直線ll1 2

交點(diǎn)的坐標(biāo)；ABCD的面積．1如圖在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDABCD中分別為DD的中點(diǎn)點(diǎn)G在CD上且CG CD．1111 1 1 41（）求證：EFBC；11（2）EF與所成角的余弦值．19（）圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過A(1,1),B(1,3)兩點(diǎn)，求圓C的方程；（2）C經(jīng)過P(1,5),Q(5,5),R(6,2)C的方程．20ABCDABC

ABCD

ABCD分別為棱DDADBB的中111 1 1 1 1點(diǎn)．∥求證：平面MNQ 平面BCD；∥113 21AP13 21

2ABA

上存在點(diǎn)P，使得二面角PMNQ的余弦值為

的值．631 11 AB631121．已知點(diǎn)A(3,0)，圓C:(xa1)2(y 3a)21上存在點(diǎn)M．求|AM|的最小值；點(diǎn)M滿足|MA2|MO|O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．設(shè)橢圓C:x2y2b0),左右焦點(diǎn)為FFD,離心率為

6DF?

2.a2 b2

1 2 3 1 2（∥）求橢圓C的方程；1 1EA2EB2（∥）設(shè)E是x軸正半軸上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E任作直線l與C相交于A,EA2EB2

，是定值，試確定點(diǎn)E的位置，并求SDAESDBE的最大值.PAGE1515頁1．Ca//ba//b，【詳解】依題意，2:14:2x:3,x6 2．B

參考答案：【分析】利用橢圓的定義可得解.PF1

PF2

2a2612，因?yàn)镻F1故選：B.3．D

5，所以PF2

1257．1ABCD，作△BCD的中心OAODO，根據(jù)正四面體的性質(zhì)和勾股定理即可求解.【詳解】作出正四面體ABCD，設(shè)棱長(zhǎng)為1，如圖所示：作△BCD的中心OAODO，即△BCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則OD是△BCD的外接圓半徑，3所以O(shè)D1 BC 1 1 ；32 sin60 2 sin60 3AOBCDABCDAO又ODBCDAOOD，則AO

，AD2AD2OD213326故選：D.4．C【解析】根據(jù)線面關(guān)系和直線與平面垂直的性質(zhì)定理逐一判斷可得選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，Bm，n對(duì)于C，D，由直線與平面垂直的性質(zhì)定理易得C錯(cuò)誤，故選：C...5．D,PB,PC求解.【詳解】如圖所示，把PA,PB,PC放在正方體中，PA,PB,PC的夾角均為60．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則P(1,0,0),C(0,0,1),A(1,1,1),B(0,1,0)，所以PC(1,0,1),PA(0,1,1),PB(1,1,0)，nPAyz0設(shè)平面PAB的法向量n(x,y,z)，則nPBxy0令x1，則y 1,z 1，所以n，所以cosPC,n PCn

2 6．|PC||n| 2 3 3設(shè)直線PC與平面PAB所成角為，所以sin|cosPC,n6，31sin21sin2

336．BACABAD，兩邊平方，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可求解．AB2AB216，AD29，AA225，ABAD43cos900，AB45cos6010，AD35AB4ACACABADAA，ACAC2AB2AD2AA22ABAD2ABAA2ADAA169252021021585，2AC|AC| 8585即AC的長(zhǎng)為 .85故選：B．7．B【分析】設(shè)Px,y，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到PA2PB2PC2

3x23y24y68，Px2y24上運(yùn)動(dòng)，化簡(jiǎn)為3x23y24y684y80求解.【詳解】設(shè)Px,y，A2,2BC4,2三點(diǎn)，所以2PB2PC2x22y22x22y62x42y22，3x23y24y68，Px2y24上運(yùn)動(dòng)，x24y20，解得2y2，所以3x23y24y684y80，當(dāng)y=2時(shí)，PA2PB2PC2取的最大值故選：B8．B3412條棱所成角相等，只需.【詳解】正方體的所有棱，實(shí)際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，只需從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱與面所成角相等即可.ABCD所成的角是相等的，與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面CBD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，與中2間，過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為2所以其面積為所以其面積為S6 3(2)23 3，

，如圖所示，故選：B.9．ABC

4 2 4斜率之積是否為1.【詳解】l

112的斜率為k 2 2

3，因?yàn)?31，所以l

l成立，故A正確；201 2 3 2 165l的斜率為k1

tan451，l2

的斜率為k2

3

1，由kk5 1

1，則ll1 2

成立，故B正確；l的斜率為

5

5，

的斜率為k

3

3，由kk

11 1 41 3

2 16 5 12則ll1 2

成立，故C正確；82l的斜率為k 2，由221，所以

l不成立，故D錯(cuò)誤.2故選：ABC．10．AB

41 1 2【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得出c，再由焦點(diǎn)在y軸上得出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】橢圓2x2y28x2y21，4 8所以a28,b24，故c2a2b24,c2，y軸上，所以橢圓焦點(diǎn)為(0,2)和(0,2).故選：AB11．BDA

在單位向量u BE上的投影結(jié)合勾股定理可得點(diǎn)A111 |BE| 111到直線BEAAE//FC,再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)F到直線AE；1 1；把直線FCABE的1 1距離轉(zhuǎn)化為C1

到平面ABE的距離，利用法向量進(jìn)行求解，判斷D.1【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，1 1則A(1,0,1),B(1,1,1),E(0,0, ),F(1,1,),C(0,1,1),A(1,0,0).1 1 2 2 11 BE 2 2 1因?yàn)锽E(1,1, ),u 1 ( , , ),A

(0,1,0)，1所以11

2 1 |BEABABu2.3

3 3 3 1154所以點(diǎn)A到直線BE的距離為AB2(AB54

u)2 1

，故A錯(cuò)誤；1 1 11 1

11 1 9 3因?yàn)锳E(1,0, ),FC(1,0, ),所以AE//FC，即AE//FC,2 1 2 1 1FAE的距離即為直線FC1

到直線AE的距離，AF ,AFu uAE AF ,AFu uAE 2 5,0, 5),AF12 5 5|AE|55242 102所以直線FC1

AE

，故B正確；5(5(4 105)230ABE的一個(gè)法向量為nx,yz

(0,1,1),AE(1,0,1),AA

(0,0,1).1nAByz0,

1 2 1 1由 1

z2y2,x1，即n(1,2,2).nAEx2z0,AABE的距離為d，則d

AA1

2，即點(diǎn)A到平面ABE的距離為2，故C1 1 n 3 1 1 3錯(cuò)誤；AE//

,FC

ABEAEABE，所以

//平面ABE，1 1

1 1 1所以直線FCABE的距離等于CABEC

，1 1 1 1 11由（3）得平面ABE的一個(gè)法向量為n(1,2,2)，1CBn 1所以C1

到平面ABE的距離為11 ，1 n 3所以直線FC1

AB1

1的距離為，故3

D正確.故選：BD12．AB【分析】求出AB的值，得出兩點(diǎn)M,N到直線AB的距離，寫出AB的直線方程，根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線AB的距離，求出r的取值范圍，即可得答案.(13)2(20)222【詳解】由題意可得 (13)2(20)222所以M,N兩點(diǎn)到直線AB的距離均為2 ，0(2)AB因?yàn)閗 3(1)1，ABABy(x3)x3xy30，22032若圓上只有一個(gè)點(diǎn)到直線22032圓心(2,0)AB

r

，解得r 2，222220322若圓上只有3個(gè)點(diǎn)到直線220322圓心(2,0)AB

r

，解得r ，9 229 2所以當(dāng)

r29 22 29 2

時(shí)，圓上恰有兩點(diǎn)M，N使得△ABM,△ABN的面積為4，所以AB選項(xiàng)滿足，CD不滿足，故選：AB.13．y3x或xy502【分析】分別求直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)的方程即可.【詳解】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)為ykx，因?yàn)檫^點(diǎn)P2,3，所以32k，解得k 3，23故直線為y x.2xy

1a0，a a因?yàn)檫^點(diǎn)P2,323a a

1，解得a5，即直線為xy50.y

3xxy50.2y

3xxy50214．x2y22x30【分析】本題首先可以設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式寫出點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O0,0、A3,0的距離，最后通過距離的比為12

即可列出算式并得出結(jié)果．【詳解】設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為x,y，M與兩個(gè)定點(diǎn)O0,0A3,01，2x2 x2 y2x32y212，2x2y2x32y2，4x2 y2

x 3

y2，4x24y2 x2 6x 9 y2，x2y22x30，故點(diǎn)Mx2y4y2 x2 6x 9 y2，展示出來是解決本題的關(guān)鍵，考查兩點(diǎn)間距離公式，是基礎(chǔ)題．15．2 12 12 1【詳解】當(dāng)x0，y0時(shí)，已知方程是x2y2xy0，即x2y2 2．它 2 對(duì)應(yīng)的曲線是第一象限內(nèi)半圓弧（包括端點(diǎn)，它的圓心為1,1，半徑為 .2 2 2 2同理，當(dāng)x0，y0；x0，y0；x0，y0時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線都是半圓?。ㄈ鐖D．它1 1

22所圍成的面積是421122

2.2 故答案為22 5216．2,3 E,AE,BE,AEFB為矩形勾股定理以.【詳解】畫出圖形設(shè)左焦點(diǎn)為E，連接AE，BE,依據(jù)題意可得四邊形AEFB為矩形AEAF2aBF2BFAE2AF2BF2BFAF(2aAF)2AF24c2AF 2aAFAF 2(2aAF)(AFa)2a22c2aaAF432c210a29 1 (AFa)22c2a20,2c210a29 1 a21212e2592222e532 522,3 【點(diǎn)睛】此題考查橢圓的對(duì)稱性和平面向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的知識(shí),求出橢圓離心率的解析式,再求得離心率的取值范圍，屬于一般性題目。17．(1)(2)9.【分析】（1）聯(lián)立直線方程求出交點(diǎn)的坐標(biāo);（2）由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出一條邊的長(zhǎng)度，再根據(jù)兩平行直線之間的距離公式可求平行四邊形的高，從而求得平行四邊形的面積．（1）設(shè)l和l1 2

的交點(diǎn)為A，2xy8由x2xy8（2）如圖，易知ll1 3

，l∥l2

，設(shè)l和l1

的交點(diǎn)為B，2xy10由x4y50，解得B2xy10∥AB 17．lx4y50與l1

x4y140的距離d

9 ，14514511617917∥ABCD的面積為SABd9．31（）證明見解析（） ．331【分析】（）建立空間直角坐標(biāo)系，直接利用向量法證明EFBC；11（2）直接利用向量法求EF與CG所成角的余弦值（1）DDADCDD1

所在直線分別為xyz軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，1則E(0,0, 2

11，F(xiàn)( , 22

，BC(0,1,0)，1 則EF ( , , )，

(1,0,1)，EFBCEFBC，EFBC110110，即 21 21 所以EFBC.13 （2）由知，G(0, ,0)，CG(0, ,0)，3 4 4301103則cosEFCG

EFCG

42 ，4|EF||CG| 31 32 43 因?yàn)镋F與CG所成角的范圍為0,，所以其夾角余弦值為 3 2 31（）(x2)2y210（2）x2y24x2y200.（1）ABx求出圓的半徑，進(jìn)而可求出圓的方程；（2）設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，然后將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求出D,E,F的值，從而可求出圓的方程.（1）A(1,1),B(1,3)的中點(diǎn)為(0,2)，31因?yàn)閗 AB

1(1)

1，AB的中垂線的斜率為1，ABy2xy0x2，則圓心為(2,0)，(21)2(21)2(01)210所以所求圓的方程為(x2)2y210；（2）設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，則125D5EF0 D425255D5EF0，解得E2 ，3646D2EF

F20所以圓的方程為x2y24x2y200.20．(1)證明見解析；(2) .4【分析】（1）先證明MN,MQ分別與面BCD平行，再由面面平行的判定定理證明；1（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）∥M,Q分別為棱DD,BB中點(diǎn)，1 1MD//BQ，MDBQ，四邊形MQBD為平行四邊形，MQ//BD，BDBCDMQBCD，1 1MQ//BCD，1∥N為棱AD的中點(diǎn)，MN//AD，1又AD//BC

，MN//BC，1 1 1BCBCDMNBCD，1 1 1MN//平面BCD.1又MNMQMMNMQ平面MNQ，平面MNQ∥平面BCD.1由題意知、DC、DD1

DCDD1

方向分別為x,y,z軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，1設(shè)AP（01，AB1，1AB111則A(1,0,0),N( ,0,0),M(0,0,1),B(1,1,2)，2 1 1 故MN2,0,1)MQ(1,1,0)，x10P(xyz)，則由

AP A

可得y ，,2)，

z20MP

(1,,1)

mMN

1ac0,PMN的一個(gè)法向量為m(abc，則

2 1 1 ，c1

3

1 1 1

mMP

abc1 1

0,a取1 ，則ma

,1)，

nMN

1

0,設(shè)平面MNQ的一個(gè)法向量為n(a2

,b,c2

)，則nMQ

2a2

2 2 ，b0,2

n(2,2,1)，由題知

6422521530，mnmnmn13 21634613 491213 21解得3或51（與01矛盾，舍去4 163 AP 3故 ，即1 .421．(1)2

AB 41131;3(2)[3,1][1,3].2 2 22【分析】（1）判斷點(diǎn)A在圓外，再由圓的幾何性質(zhì)得出|AM|的最小值；（2）求出點(diǎn)M的軌跡方程，再由兩圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解（1）因?yàn)閳AC的圓心C(a1, 3a)，半徑為r1，(a13)2( 3a)2(a(a13)2( 3a)2(a1)233即點(diǎn)A在圓C外部，又點(diǎn)M在圓C上，3(a1)23所以|AM(a1)23

1

1，當(dāng)1時(shí)等號(hào)成立，3即|AM|的最小