2022-2023學(xué)年江蘇省南京市天印高二年級上冊學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南京市天印高級中學(xué)高二上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．過點且與直線平行的直線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平行直線的特點先設(shè)出待求直線方程，代入所過點可得答案.【詳解】由題意設(shè)所求方程為，因為直線經(jīng)過點，所以，即，所以所求直線為.故選：A.2．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為實數(shù)，則實數(shù)的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算化簡，然后根據(jù)復(fù)數(shù)為實數(shù)的條件求得的值.【詳解】依題意，復(fù)數(shù)為實數(shù)，所以.故選：C3．如圖在梯形中，，，設(shè)，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題中，由向量的線性運算，直接求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，又，，所以.故選：D.【點睛】本題考查用基底表示向量，熟記平面向量基本定理即可，屬于基礎(chǔ)題型.4．自然對數(shù)的底數(shù)，e是一個奇妙有趣的無理數(shù)，它取自數(shù)學(xué)家歐拉Euler的英文字頭．某教師為幫助同學(xué)們了解“e”，讓同學(xué)們從小數(shù)點后的3位數(shù)字7，1，8隨機選取兩位數(shù)字，整數(shù)部分2不變，那么得到的數(shù)字不大于2.78的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】列舉出所有數(shù)字，應(yīng)用古典概型的概率求法求結(jié)果.【詳解】由題意，新數(shù)字有，共6種，其中數(shù)字不大于2.78的有，共4種，所以得到的數(shù)字不大于2.78的概率為.故選：A5．已知中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式進行求解即可.【詳解】根據(jù)正弦定理，由因為，所以，于是有，故選：A6．若直線與直線垂直，垂足為，則（

）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可求，再根據(jù)點在直線上可求，，從而可得正確的選項.【詳解】因為與直線垂直，故即，因為垂足為，故，故，故，故選：D.7．若圓與圓關(guān)于直線對稱，圓上任意一點均滿足，其中，為坐標(biāo)原點，則圓和圓的公切線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】由圓，可得圓心，半徑.設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，根據(jù)已知可列出方程組，解出，.再根據(jù)半徑為2，可得圓的方程.設(shè)，根據(jù)，整理可得圓的方程，判定兩圓的位置關(guān)系即可得出兩圓的公切線的條數(shù).【詳解】圓的圓心為，半徑為，設(shè)圓心關(guān)于直線的對稱點為，則有，解得，所以.又圓的半徑，則圓的半徑，所以圓的方程為.設(shè)，則，.又，則，整理可得，，圓的方程為，圓心，.則圓和圓圓心距，又，則所以，圓和圓外切，所以兩圓的公切線有3條.故選：C.二、多選題8．（多選題）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝“兩次都擊中飛機”，B＝“兩次都沒擊中飛機”，C＝“恰有一枚炮彈擊中飛機”，D＝“至少有一枚炮彈擊中飛機”，下列關(guān)系正確的是（

）A．A?D B．B∩D＝C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D【答案】ABC【分析】根據(jù)試驗過程，分析出事件A、B、C、D的含義，對四個選項一一判斷.【詳解】“恰有一枚炮彈擊中飛機”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一枚炮彈擊中”包含兩種情況：恰有一枚炮彈擊中，兩枚炮彈都擊中．故A?D，A∪C＝D.故A、C正確；因為事件B，D為互斥事件，所以B∩D＝.故B正確；對于D：A∪B＝“兩個飛機都擊中或者都沒擊中”，B∪D為必然事件，這兩者不相等.故D錯誤.故選：ABC.9．某小組有2名男生和3名女生，從中任選2名同學(xué)去參加唱歌比賽，在下列各組事件中，是互斥事件的是（

）A．恰有1名女生和恰有2名女生 B．至少有1名男生和至少有1名女生C．至少有1名女生和全是女生 D．至少有1名女生和全是男生【答案】AD【分析】逐個選項分析事件之間是否有同時發(fā)生的可能性再判斷即可.【詳解】A中兩個事件是互斥事件,恰有一名女生即選出的兩名學(xué)生中有一名男生一名女生,它與恰有2名女生不可能同時發(fā)生，A是；B中兩個事件不是互斥事件,兩個事件均可能有一名男生和一名女生，B不是；C中兩個事件不是互斥事件,至少一名女生包含全是女生的情況，C不是；D中兩個事件是互斥事件,至少有一名女生與全是男生顯然不可能同時發(fā)生，D是.故選：AD10．下列結(jié)論正確的是（

）A．過點(－2，－3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為x＋y＝－5;B．已知直線kx-y-k-1＝0和以M（-3，1），N（3，2）為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為;C．已知ab≠0，O為坐標(biāo)原點，點P(a，b)是圓x2＋y2＝r2外一點，直線m的方程是ax＋by＝r2，則m與圓相交;D．若圓上恰有兩點到點N（1，0）的距離為1，則r的取值范圍是(4，6).【答案】CD【分析】A選項分情況討論，直線過原點和不過原點兩種情況；B選項中直線kx-y-k-1＝0恒過點，計算即可求解；C選項中利用圓心到直線距離及點P在圓外即可判斷；D選項根據(jù)以N為圓心，1為半徑的圓與已知圓相交，利用圓心距與兩圓的圓的半徑間關(guān)系即可求解.【詳解】A中直線過原點時，由兩點式易得，直線方程為，故錯誤；B中直線kx-y-k-1＝0可化為，所以直線恒過定點，，直線與線段相交，所以或，故錯誤；C中圓心到直線的距離，而點P(a，b)是圓x2＋y2＝r2外一點，所以，所以，所以直線與圓相交，故正確.D中與點N（1，0）的距離為1的點在圓上，由題意知圓與圓相交，所以圓心距滿足，解得，故D正確.故選：CD【點睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，點與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，斜率公式，直線過定點，考查計算能力，屬于中檔題．11．如圖所示，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．平面C．三棱錐的體積為定值D．異面直線，所成的角為定值【答案】ABC【分析】通過線面的垂直關(guān)系可判A項真假；根據(jù)線面平行可判B項真假；根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可判C項真假；根據(jù)列舉特殊情況可判D項真假.【詳解】因為，，，平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，故A項正確；易知，所以，且平面，平面，所以平面，故B項正確；如圖1，連結(jié)交于點.圖1因為平面，平面，所以，所以.因為，，，平面，平面，，所以平面.所以到平面的距離為，所以為定值，故C項正確；D．當(dāng)，，取為，如下圖2所示：圖2因為，所以異面直線所成角為，，且；當(dāng)，，取為，如下圖3所示：圖3易知，，所以四邊形是平行四邊形，所以.因為，是的中點，所以.又，，，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：ABC.12．已知圓，直線，點在直線上運動，直線分別于圓切于點.則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．最短時，弦長為C．最短時，弦直線方程為D．直線過定點【答案】ABD【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，根據(jù)切線長與圓心到定點距離和半徑之間關(guān)系，即切線長可知當(dāng)時，最小，可確定四邊形面積最小值，同時利用面積橋可求得，由此可知AB正確；設(shè)，可知方程為：，由可求得點坐標(biāo)，由此可得方程，知C正確；將代入方程，根據(jù)直線過定點的求法可知D正確.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，對于AB，四邊形的面積，則當(dāng)最短時，四邊形的面積最小，點到直線的距離，，此時，A正確；又，此時，B正確；對于C，設(shè)，，，則過作圓的切線，切線方程為：；過作圓的切線，切線方程為：，又為兩切線交點，，則兩點坐標(biāo)滿足方程：，即方程為：；當(dāng)最小時，，直線方程為：，由得：，即，方程為：，即，C錯誤；對于D，由C知：方程為：；又，即，方程可整理為：，由得：，過定點，D正確.故選：ABD.【點睛】結(jié)論點睛：過圓上一點作圓的切線，則切線方程為：；過圓外一點作圓的兩條切線，切點弦所在直線方程為：.三、填空題13．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為___________.【答案】##【分析】設(shè)，進而根據(jù)求出，然后根據(jù)平面向量夾角公式求得答案.【詳解】由題意，設(shè)，又，設(shè)與的夾角為，所以，所以.故答案為：.14．過點作圓的切線，切線方程是___________.【答案】或.【分析】先求出圓心和半徑，再分切線斜率存在和不存在兩種情況討論，利用圓心到直線的距離等于半徑求解即可.【詳解】因為，所以點在圓外，因為圓方程化為，所以圓心，半徑，當(dāng)切線斜率不存在時，，圓心到直線的距離為，滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，所以，得，所以切線為，則，綜上：切線方程為或.故答案為：或.15．如圖，邊長為3的正方形ABCD，F(xiàn)，H，E，G分別為AD，BC的三等分點，把四邊形ABEF，DCGH分別沿EF，GH折起來，使得AB，DC重合形成一個幾何體，則此幾何體的外接球的表面積為________．【答案】【分析】先計算出直棱柱底面外接圓直徑，結(jié)合直棱柱的高，利用公式，計算出外接球的半徑，再利用球的表面積公式可得出答案．【詳解】解：由已知條件可知，折后的幾何體為直三棱柱，且底面為等邊三角形，底面外接圓的直徑，直三棱柱的高為，設(shè)幾何體的外接球的半徑為，則，因此折疊后的外接球的表面積為，故答案為：．16．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，點在直線上，若過點存在直線與圓交于A，B兩點，且點A為中點，則點的橫坐標(biāo)的取值范圍是___________.【答案】.【分析】設(shè)點，，求出A的坐標(biāo)，代入圓，利用輔助角公式，即可確定點橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】解：設(shè)點，，因為點A為中點，所以A點坐標(biāo)為，，又點A在圓上，從而，整理得，從而，于是由，解得.故答案為：.四、解答題17．已知三個頂點的坐標(biāo)分別為，，.(1)求邊中線所在直線的方程；(2)求的面積.【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)已知條件，先求出線段的中點坐標(biāo)，再結(jié)合直線的兩點式公式，即可求解.（2）先求出，再結(jié)合點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】（1），，線段的中點坐標(biāo)為，又，邊中線所在直線的方程為，即；（2），，，，，則，直線的方程為，即，點到直線的距離為，的面積.18．如圖所示，在三棱柱中，為正方形，是菱形，平面平面．（1）求證：平面；（2）求證：.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）要證明線面平行，需先證明線線平行，結(jié)合題意易證明；（2）要證明線線平行，需先證明線面平行，即證明平面.【詳解】（1）是菱形，，平面，平面，平面.（2）連接，四邊形是菱形，，平面平面，且平面平面，，平面，且平面，，且，平面，又平面,.【點睛】本題考查線面平行和線線垂直的證明，意在考查空間想象能力和推理證明，屬于基礎(chǔ)題型.19．已知直線.(1)證明：直線過定點；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍；(3)若直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，的面積為，求的最小值并求此時直線的方程.【答案】(1)證明見解析(2)；(3)最小值為4，.【分析】（1）直線，即，列出方程組即可求解.（2）根據(jù)已知條件，推出斜率與截距的不等式組即可求解.（3）根據(jù)直線的方程，分別求出直線在軸，軸上的截距，再結(jié)合三角形的面積公式，以及基本不等式的公式即可求解.【詳解】（1）直線，即，聯(lián)立，解得，故直線過定點；（2）直線，即，直線不經(jīng)過第四象限，，解得，故的取值范圍是；（3）如圖所示直線交軸負(fù)半軸于，交軸正半軸于，則，直線中，令，解得，令，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.的最小值為4，此時的直線方程為.20．在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的圓的圓心C在第一象限，直線截圓C所得的弦長為，直線平分圓的周長.(1)求圓C的方程；(2)已知，，若P在圓C上，求的最小值，及此時點P的坐標(biāo).【答案】(1)(2)20，【分析】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再結(jié)合垂徑定理，即可求解.（2）設(shè)，則，當(dāng)OP最小時，取最小值，即可求解.【詳解】（1）∵直線平分圓的周長，∴直線過圓心，設(shè)圓心為，，又∵半徑為2的圓的圓心C在第一象限，直線截圓C所得的弦長為，∴圓心到直線的距離，解得，∴圓心，半徑為2，∴圓心C的方程為.（2）設(shè)，則，當(dāng)OP最小時，取最小值，∵，∴，，∴，此時點P的坐標(biāo)為.21．甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為的方框表示第場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手，第場比賽的勝者稱為“勝者”，負(fù)者稱為“負(fù)者”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為，而乙?丙?丁相互之間勝負(fù)的可能性相同.(1)求乙獲連負(fù)兩場的概率；(2)求甲獲得冠軍的概率；(3)求乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）乙獲連負(fù)兩場，所以1、4均負(fù)，由獨立事件概率公式，即可得出答案；（2）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：1勝3勝6勝，1負(fù)4勝5勝6勝，1勝3負(fù)5勝6勝，由此求出甲獲得冠軍的概率；（3）分成三類進行討論，若乙的決賽對手是甲，若乙的決賽對手是丙，若乙的決賽對手是丁，從而能求出乙進入決賽，且乙與其決賽對手是第二次相遇的概率.【詳解】（1）根據(jù)題意，乙獲連負(fù)兩場，所以1、4均負(fù)，所以乙獲連負(fù)兩場的概率為.（2）甲獲得冠軍，則甲參加的比賽結(jié)果有三種情況：1勝3勝6勝；1負(fù)4勝5勝6勝；1勝3負(fù)5勝6勝，所以甲獲得冠軍的概率為.（3）若乙的決賽對手是甲，則兩人參加的比賽結(jié)果有兩種情況：甲1勝3勝，乙1負(fù)4勝5勝；甲1負(fù)4勝5勝，乙1勝3勝，所以甲與乙在決賽相遇的概率為：，若乙的決賽對手是丙，則兩人只可能