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第三章微分學(xué)的基本定理§3.1

微分1o線性近似設(shè)y=f(x)在x0處可導(dǎo),則有記則L(x)是曲線在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線,從上式得

說明：稱為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0附近的線性近似(即在點(diǎn)x0

附近以直代曲)(1)線性近似的幾何意義：存在>0,使當(dāng)時(shí),有（總習(xí)題5）例

計(jì)算sin290的近似值

取f(x)=sinx,

解(2)過點(diǎn)(x0,f(x0))的切線y=L(x)是y=f(x)在點(diǎn)x0任意一條直線局部的最佳的線性近似

,即對(duì)于過點(diǎn)(x0,f(x0))的

則利用線性近似公式,有2o微分若y=f(x)在x0處可導(dǎo),

則即定義

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義,

如果增量y=f(x0+x)-f(x0)可以表示為其中A是不依賴于x的常數(shù),則稱f(x)在點(diǎn)x0處可微,并稱Ax

為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處對(duì)應(yīng)于自變量增量x的微分,記作dy,即定理(可微的充要條件)

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可微的充要條件是f(x)在x0處可導(dǎo),且證明

只需證必要性

若f(x)在點(diǎn)x0處可微，則對(duì)x，有在x0處可導(dǎo),且說明：(1)(2)若取f(x)=x,則dx

=x

即自變量的微分即為自變量的增量，從而微分

即

y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)即為微分dy與自變量的微分

dx

之比微分的幾何意義:x0

x0+xy微分的四則運(yùn)算法則：復(fù)合函數(shù)的微分(一階微分形式的不變性)設(shè)y=f(u),u=(x)都為可微函數(shù),考察復(fù)合函數(shù)y=f((x))的微分即有(一階微分形式的不變性)此式說明：(1)不論u

是自變量還是中間變量,函數(shù)微分dy

的形式完全相同(2)dy

與du

之比表示y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)(a)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則:(b)反函數(shù)求導(dǎo)法則:(c)參數(shù)方程的求導(dǎo)公式:例

設(shè),求dy

及解(一階微分形式的不變性)

將方程中的y

看作y(x),則方程成為恒等式,

解得例求由方程所確定的隱函數(shù)的微分dy

解在方程兩邊取微分,

有

由于取微分有例設(shè)曲線既可用參數(shù)式x=x(t),y=y(t)表示,又可用極坐標(biāo)r=r()表示,求證：解微分在誤差估計(jì)中的應(yīng)用：設(shè)

y=f(x),產(chǎn)生的絕對(duì)誤差：相對(duì)誤差：若用

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