概率論與數(shù)理統(tǒng)計1.4

§1.4條件概率一條件概率二乘法公式三全概率公式四貝葉斯公式一條件概率描述隨機試驗的概率模型是概率模型是由隨機試驗的“一定條件”來決定的。在知到事件A己發(fā)生的信息后，樣本空間就由Ω縮小為A，概率測度就由無條件概率P(·)變?yōu)闂l件概率P(·|A)。這個“一定條件”就是關(guān)于隨機試驗的先驗信息。條件概率是概率論中一個重要而實用的概念。它所考慮的是在事件

A已經(jīng)出現(xiàn)的條件下事件B出現(xiàn)的概率。

一批同型號產(chǎn)品由甲、乙兩廠生產(chǎn)，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)如下表：例1廠別甲廠乙廠合計數(shù)量等級合格品次品合計從這批產(chǎn)品中隨意地取一件，則這件產(chǎn)品是次品的概率為：在已知取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的條件下，則它是次品的概率為：

P(B)=

P(AB)=B=“取出的產(chǎn)品為次品”A=“取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”

P(A)=AB=“取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的次品”若Ω中有n個樣本點,A中有m個樣本點,AB中有k個樣本點，則

P(B|A)=—k

m古典概型中條件概率的計算公式在幾何概型中，在古典概型和幾何概型這兩類等可能概率模型中總有ΩAB為在事件A已發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率.

P(B|A)=———P(AB)

P(A)

設(shè)A、B是某隨機試驗中的兩個事件，且稱條件概率的定義容易驗證，條件概率P(●|A)符合概率定義中的三個條件1○

非負性：對于每一事件B，有P(B|A)≥0；2○規(guī)范性：對于必然事件Ω，有P(Ω|A)=1；3○

可列可加性：設(shè)B1，B2，…是兩兩互不相容的事件，則有ΩAB例1.19解已知第二次取到的是黑球的條件下，第一次取到的是黑球的概率與已知第一次取到的是黑球的條件下，第二次取到的是黑球的概率相同.P(B|A)與P(B)的大小的比較1.AB=，P(B|A)=4.若AB≠且無包含關(guān)系，則P(AB)的大小決定

P(B|A)與P(B)的大小關(guān)系。比如對P(A)=0.5,P(B)=0.42.若3.若ΩAB0≤P(B)說明在有些問題中，事件A與事件B之間存在因果關(guān)系。若條件A是引起事件B的原因，此時條件概率P(B|A)表示原因A引起結(jié)果B的概率。若條件A是由事件B引起的結(jié)果，此時條件概率P(B|A)表示結(jié)果A由原因B引起的概率。二、乘法公式由條件概率的計算公式(P(A)>0)

我們得這就是兩個事件的乘法公式．兩個事件的乘法公式P(B|A)是指在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，P(AB)則是指A、B同時發(fā)生的概率?！癆發(fā)生”在P(B|A)中是作為條件，在P(AB)中是作為結(jié)果。多個事件的乘法公式則有這就是n個事件的乘法公式．例1.20某批產(chǎn)品中，甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品占60%，已知甲廠的產(chǎn)品的次品率為10%，從這批產(chǎn)品中隨機地抽取一件，求該件產(chǎn)品是甲產(chǎn)生產(chǎn)的次品的概率。例1.21一袋中有10個球，其中3個黑球、7個白球，先后兩次從中隨意各取一球(不放回)，求兩次取到的都是黑球的概率。三、全概率公式設(shè)隨機事件滿足：全概率公式的使用1“全”概率P(B)被分解成許多部分之和，其理論和實際意義在于，在較復(fù)雜情況下，直接計算P(B)不容易，但B總是伴隨著某個Ai出現(xiàn)，適當(dāng)?shù)貥?gòu)造這一組Ai往往可以簡化計算。例1.22一袋中有10個球，其中3個黑球、7個白球，先后兩次從中隨意各取一球(不放回)，求第二次取到的是黑球的概率。全概率公式的使用2我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，則我們可用全概率公式計算結(jié)果發(fā)生的概率。把A1，A2，…，An看成該過程的若干個原因,例1.23人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，比如利率的變化?，F(xiàn)在假設(shè)人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%。根據(jù)經(jīng)驗，人們估計，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%，求該支股票價格上漲的概率。四、貝葉斯(Bayes)公式設(shè)隨機事件滿足條件概率定義乘法公式則對任一概率在于0的事件B，有全概率公式ThomasBayesBorn:1702inLondon,England

Died:17Apr.1761inTunbridgeWells,Kent,England貝葉斯公式的使用我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，如果在試驗中，出現(xiàn)了事件B，要求由第k個原因引起事件B的概率，則用貝葉斯公式。把A1，A2，…，An看成該過程的若干個原因,先驗概率后驗概率例1.24一袋中有10個球，其中3個黑球、7個白球，先后兩次從中隨意各取一球(不放回)，求已知第二次取到的是黑球的條件下，第一次取到的是黑球的的概率。