數(shù)列的極限(一個(gè)引例)

第一章山東交通學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室第二節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的定義二、收斂數(shù)列的性質(zhì)“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”

——莊周1.引例：截丈問(wèn)題第一天截剩下的部分第二天截剩下的部分第n天截剩下的部分一、數(shù)列極限的定義稱為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列。其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，按自然數(shù)稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng))。如一般項(xiàng)這個(gè)引例反映了數(shù)列的某種特性：對(duì)數(shù)列無(wú)限的接近這個(gè)常數(shù)a，a稱為其極限，如果存在某個(gè)常數(shù)a，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，2.數(shù)列的定義編號(hào)依次排列的一列數(shù)數(shù)列記為否則稱為發(fā)散數(shù)列。則稱這個(gè)數(shù)列為收斂數(shù)列，如一般項(xiàng)一般項(xiàng)一般項(xiàng)一般項(xiàng)收斂到01發(fā)散發(fā)散收斂數(shù)列的特性：無(wú)限地接近某個(gè)常數(shù)a隨n的無(wú)限增大，3.數(shù)列的變化趨勢(shì)——極限觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)播放播放觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)觀察數(shù)列時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)通過(guò)對(duì)演示的觀察，得當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限接近于1。問(wèn)題：無(wú)限接近意味什么？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.兩個(gè)數(shù)a和b之間的接近程度可以用兩數(shù)之差的絕對(duì)值來(lái)度量，越小，a與b越接近.給定由只要有給定由只要有給定由只要有給定只要有定義：設(shè)為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a，對(duì)于任意記或都成立，或者稱數(shù)列收斂于a.給定的正數(shù)(不論它多么小)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)，則稱a是數(shù)列的極限，使時(shí)，證明欲使即使只要因此，取則時(shí),有故證明數(shù)列的極限為1.

例1已知思考：取可不可以？成立成立，即可。成立。注意（1）的作用在于衡量與a的接近程度，只要求（2）一經(jīng)給出，暫看作是固定的，由其決定N

（3）也可用代替，<號(hào)也可換成號(hào)，

N

的相應(yīng)性（1）N與相關(guān)的，越小，N越大，但N不是的函數(shù)（2）重要的是N的存在性，找到即可，但N不唯一幾何解釋最多只有有限項(xiàng)落在該鄰域之外不能說(shuō)由無(wú)限項(xiàng)在該鄰域內(nèi)，如的任意性數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：證明欲使只要即則當(dāng)時(shí),就有也可由取證明例2

已知取故證明步驟：（3）不等式右端取整作為N，可放大求解出n滿足的不等式（1）求解證明例3

證明欲使只要即則當(dāng)時(shí),就有取解不等式（2）證明等比數(shù)列證明欲使只要?jiǎng)t當(dāng)n>N

時(shí),有故亦即例4設(shè)的極限為0.即因此，取1.收斂數(shù)列極限的唯一性證明：（反證法）及且取假設(shè)時(shí)，時(shí)，取滿足的不等式矛盾，所以假設(shè)不真。定理1收斂數(shù)列的極限唯一。即時(shí)，即時(shí)，時(shí)，二、收斂數(shù)列的性質(zhì)2.收斂數(shù)列的有界性有界性否則無(wú)界。有界，無(wú)界定理2

收斂數(shù)列一定有界。證明設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有有取則有所以數(shù)列有界。使對(duì)一切有界成立，則如注意收斂必有界，發(fā)散不一定無(wú)界無(wú)界必發(fā)散，有界不一定收斂，雖有界但不收斂數(shù)列3.收斂數(shù)列的保號(hào)性如果且則當(dāng)時(shí)，定理3且則推論：如果從某項(xiàng)起且極限是a。定理4

如果數(shù)列收斂于a，則其任一子數(shù)列也收斂，注意如果數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列收斂于不同極限，發(fā)散。則證明數(shù)列發(fā)散的方法：a.定義c.找到的一個(gè)發(fā)散子列d.找到的兩個(gè)有不同4.收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系子列：在數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持其在原數(shù)列中的如都是其子列先后次序，這樣得到的數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列(或子列)。b.無(wú)界必發(fā)散極限的子列1.數(shù)列極限的“–N

”定義及應(yīng)用2.收斂數(shù)列的性質(zhì):唯一性;有界性;保號(hào)性;任一子數(shù)列收斂于同一極限小結(jié)