大一微積分考前復(fù)習(xí)4

總復(fù)習(xí)四注意:4.1總結(jié)羅爾中值定理那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)必定(至少)存在一點(diǎn),使(i)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(ii)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);(iii)f(a)=f(b).1、熟記羅爾定理、拉格朗日中定理，柯西中值定理的條件和結(jié)論設(shè)函數(shù)f(x)

滿足：拉格朗日中值定理(i)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(ii)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).那么在開區(qū)間內(nèi)(至少)存在一點(diǎn),使得推論1設(shè)在區(qū)間i上的導(dǎo)函數(shù),則是一個常值函數(shù).(柯西中值定理)設(shè)函數(shù),在區(qū)間上滿足:(1)f(x),g(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);則在開區(qū)間內(nèi)必定(至少)存在一點(diǎn),使得柯西中值定理(2)f(x),g(x)在開區(qū)間(a,b)上可導(dǎo);rolle定理lagrange中值定理cauchy中值定理1.羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；2.證明函數(shù)方程或方程的根的存在性，可以考慮應(yīng)用羅爾定理.3.應(yīng)用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以證明一些不等式

(ii)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)可導(dǎo)

(iii)f(1)f(1)e1

因此函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,1]上滿足羅爾定理的所有條件的所有條件？如滿足就求出定理中的數(shù)值

例1、在區(qū)間[1,1]上是否滿足羅爾定理

解(i)作為初等函數(shù)

在其定義區(qū)間[1,1]上是連續(xù)

0

得0

由洛必達(dá)法則2、熟練掌握用羅必達(dá)法則求極限的方法。

(1)解

例2、羅必達(dá)法則則求下列極限

(2)解因為并且所以e

(3)解因為并且所以e01

3、熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判別法，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

例3、求下列函數(shù)yx

42x22

的增減區(qū)間

x(,1)(1,0)(0,1)(1,)yy↘↗↘↗函數(shù)在區(qū)間(,1)和(0,1)內(nèi)是單調(diào)減少的

在區(qū)間(1,0)和(1,)內(nèi)是單調(diào)增加的

令y0

得函數(shù)的駐點(diǎn)x1

x0

x1

列表得解y4x34x4x(x1)(x1)

4、熟練掌握函數(shù)極值和最值的求法。解令y0

得函數(shù)的駐點(diǎn)

x5

不可導(dǎo)點(diǎn)為x1

列表得x(

1)15(5

)y不存在00y↘0↗↘0↗

y(1)y(5)0為極小值

為極大值

例4、求下列函數(shù)的極值例5、

利用二階導(dǎo)數(shù)

判斷函數(shù)的極值。

y(x3)2(x2)

解y2(x3)(x2)(x3)2(x3)(3x7)

y6x16

令y0

得函數(shù)的駐點(diǎn)x3

x7/3

因為y(7/3)20

所以y(7/3)=4/27是函數(shù)的極大值

因為y(3)20

所以y(3)0是函數(shù)的極小值

例6、求函數(shù)yx42x25在[2,2]上的最大值與最小值

解y4x34x4x(x1)(x1)

令y0

得函數(shù)的駐點(diǎn)為x0

x1

x1

計算函數(shù)在駐點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值

y(2)13

y(1)4

y(0)5

y(1)4

y(2)13

經(jīng)比較得y(1)y(1)4是函數(shù)的最小值

y(2)y(2)13是函數(shù)的最大值

5、會求曲線的凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)和漸近線例9、

確定函數(shù)的凹向及拐點(diǎn)令y0

得x0

解，

x0y000y(拐點(diǎn))0(拐點(diǎn))(拐點(diǎn))函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)是下凹

在區(qū)間和內(nèi)是上凹的

點(diǎn)和是拐點(diǎn)

解：(1)定義域：(2)對稱性：函數(shù)非奇非偶，不對稱于軸、原點(diǎn).曲線過點(diǎn)(和(4)單調(diào)區(qū)間、極值、凹向和拐點(diǎn)：令,得令,得當(dāng)時，和都不存在.例10、

作函數(shù)的圖形.(3)截距：令x01－－－0+不存在－－0＋＋＋不存在＋－1不存在列表討論如下：

(5)漸近線：是曲線的垂直漸近線.是曲線的水平漸近線.(6)適當(dāng)補(bǔ)點(diǎn)：取，得，取，得(7)根據(jù)以上結(jié)果作出函數(shù)圖形.如圖所示.0xy1231234例11、選擇題

(a)函數(shù)yx25x6在[2,3]上是連續(xù)的

在(2,3)內(nèi)是可導(dǎo)

且y(2)y(3)0

1

下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理的有()(a)yx25x6[2,3]

(b)

[0,2]

(c)yxex[0,1]

(d)

[0,5]

在閉區(qū)間[0,2]上不是處處連續(xù)的

(b)函數(shù)

(c)函數(shù)yxex在[0,1]上是連續(xù)的

在(0,1)內(nèi)是可導(dǎo)的

在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值不等

在開區(qū)間(0,5)內(nèi)是連續(xù)的(d)函數(shù)但在閉區(qū)間[0,5]上不連續(xù)

答

a

2、

下列求極限問題不能用羅彼塔法則的有()

(c)

(d)答

a

c

(b)(a)

分子的極限不(a)因為不能用羅彼塔法則

存在

所以

(b)因為

所以能用羅彼塔法則

所以能用羅彼塔法則

分子分母的極限都不(c)因為不能用羅彼塔法則

存在

所以

(d)因為3、

函數(shù)yx312x1在定義域內(nèi)()

(a)單調(diào)增加

(b)單調(diào)減少

(c)圖形上凹

(d)圖形下凹

答

a

因為y3x2120

所以函數(shù)在定義內(nèi)是單調(diào)增加的

而不是單調(diào)減少的

因為y6x

當(dāng)x0時y0

當(dāng)x0時y0

所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有確定的凹向

4、

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0處取得極大值

則必有()

(a)f(x0)0

(b)f(x0)0

(c)f(x0)0且f(x0)0

(d)f(x0)0或不存在

答

d

(a)函數(shù)f(x)在極值點(diǎn)xx0處未必可導(dǎo)

只有當(dāng)f(x)在極值點(diǎn)xx0處可導(dǎo)時

才有f(x0)0

(b)只有當(dāng)f(x)在極值點(diǎn)xx0處有二階導(dǎo)數(shù)時

才有

f(x0)0

(c)只有當(dāng)f(x)在極值點(diǎn)xx0處有二階導(dǎo)數(shù)時

才有

f(x0)0且f(x0)0

(d)函數(shù)f(x)在極值點(diǎn)xx0處或者可導(dǎo)(此時f(x0)0)

或者不可導(dǎo)

5

條件f(x0)0是f(x)的圖形在點(diǎn)xx0處有拐點(diǎn)的()條件

(a)必要

(b)充分

(c)充分必要

(d)(a)、(b)、(c)都