導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明方法的知識

第四講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及

不等式的證明方法

12-3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用方法一.方法指導(dǎo)1.導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性態(tài)方面的應(yīng)用(P88,3;P90,4)(1)增減性若則

f(x)在I上遞增;若則

f(x)在I上遞減.(2)極值點第一充分條件(f(x)在連續(xù))左正右負,在兩側(cè),為極大值點;左負右正,為極小值點.2第二充分條件若則為極小值點;若則為極大值點.推廣的充分條件

(P102定理)若且則為極小值點;則為極大值點.提示:利用泰勒公式正負號由決定.3(3)凹凸性若在I上則凹;若在I上則凸.(4)漸近線若則有水平漸近線若則有垂直漸近線若則有斜漸近線4(5)函數(shù)作圖(P90,4(1))2.導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用(P91,5;P92,6)(1)建立目標函數(shù)及其轉(zhuǎn)化一般因變量取為目標變量,自變量的選取應(yīng)使目標函數(shù)盡可能簡單.(2)最值的判別問題3.導(dǎo)數(shù)的其他應(yīng)用幾何應(yīng)用(P87,1);相關(guān)變化率(P88,2);研究方程的實根問題存在性:利用零點定理或羅爾定理唯一性:利用單調(diào)性或用反證法5二.實例分析例1.證明函數(shù)在上單調(diào)增加.(P95例4)證:當x>0時,故因此在上單調(diào)增加.6例2.

已知函數(shù)求當a變動時函數(shù)f(x)的拐點的軌跡方程.解:令得即易知通過此點變號.將此點代入y=

f(x),得故拐點軌跡的參數(shù)方程為7故拐點軌跡的參數(shù)方程為消去參數(shù)a,得一般方程此即所求拐點軌跡方程.8例3.

設(shè)對一切實數(shù)x滿足方程證明f(x)在取極值必為極小值.(P97例8)證:設(shè)f(x)在取極值,則必有由方程可知當時,故必為極小值.當時,9例4.

求數(shù)列的最大項.(P97例9)證:設(shè)用對數(shù)求導(dǎo)法得令得因為在只有唯一的極大點因此在處也取最大值.又因且故為數(shù)列中的最大項.極大值10例5.

求函數(shù)解:因為在區(qū)間上的最小值。，令得駐點又所以故為函數(shù)的極小值點，又因為當時，；當時，，因此為函數(shù)在上的最小值，最小值為11例6.

已知平面曲線L的方程為考慮把L圍在內(nèi)部且各邊平行于坐標軸的矩形,試求這些矩形中面積的最小值.解:由L的方程可知,曲線關(guān)于軸對稱,與軸交點為(0,0),(2,0).其顯式方程為由于曲線是光滑的,因此面積最小的矩形應(yīng)外切于曲線.現(xiàn)在的關(guān)鍵是求曲線的最高點與最低點.令解方程組12得顯然,在處取最大值;在處取最小值;故包圍L的矩形中面積最小值為13例7.

設(shè)在上可導(dǎo),且證明f(x)

至多只有一個零點.(P95例5)證:設(shè)則故在上單調(diào)遞增,從而至多只有一個零點.又因因此也至多只有一個零點.14例8證:因為所以方程設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且若證明方程內(nèi)有唯一實根.所以單調(diào)增加，方程在內(nèi)必有唯一實根，下面僅證明實根在內(nèi)，又因為內(nèi)有唯一實根.15例9.

設(shè)

x>0時,方程存在唯一實根,求k的取值范圍.解:設(shè)則1)當時,因所以又因此時在有唯一的零點.2)當時,令得為最小值.令得時原方程在x>0內(nèi)有唯一實根.遞減.16例10

設(shè)在上證明f(x)=0在證:將在處展成一階泰勒公式因此根據(jù)連續(xù)函數(shù)零點定理可知使上有且僅有一個實根.又因時故這說明

f(x)在上單調(diào)遞減,因此

f(x)=0在上有且僅有一個實根.17例11

求方程(2011考研）不同實根的個數(shù)，其中為參數(shù)。解設(shè)則是上的奇函數(shù)，且當時，在內(nèi)單調(diào)減少，方程只有一個實根當時，內(nèi)，單調(diào)增加；內(nèi)單調(diào)減少，是在內(nèi)的最大值。所以在在18例11

求方程(2011考研）不同實根的個數(shù)，其中為參數(shù)。解由于所以又因為所以存在，使得由是奇函數(shù)及其單調(diào)性可知，當時，方程有且僅有三個不同的實根192-4不等式的證明方法一.方法指導(dǎo)1.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法(P104,2)(1)利用導(dǎo)數(shù)定義;(2)利用函數(shù)的單調(diào)性;(3)利用函數(shù)的極值和最值;(4)利用函數(shù)的凹凸性;(5)利用微分中值定理;(6)利用泰勒公式.202.證明不等式的常用技巧(1)注意選擇適當?shù)妮o助函數(shù)和對應(yīng)區(qū)間;(2)注意適當?shù)姆糯蠛涂s小技巧;(3)注意幾個常用不等式:(算術(shù)平均≥幾何平均)(P115例15)213.關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式定理定理設(shè)函數(shù)在上具有n階導(dǎo)數(shù),且:則當時(P103定理)證:令則利用在處的n-1階泰勒公式得因此時思考:若定理中區(qū)間改為,問結(jié)論如何?22二.實例分析證:（利用單調(diào)性）令即的大小.即比較的大小.嚴格單調(diào)減少.則例1.比較23例2證明不等式證:設(shè)即當時，則有24例3.設(shè)且在上存在,并單調(diào)遞減,證明對一切有(P113,例12)證:設(shè)則令得即25例4.設(shè)證明證:設(shè)則故所證不等式成立.當x>a時單調(diào)上升。26例5.

證明:當時,證:通過簡單變形,問題轉(zhuǎn)化為證設(shè)則故當時,即所以原不等式成立.27例6證明證:利用“形似”構(gòu)造輔助函數(shù)則又故28例7設(shè)且證:證明(P107例2)29例8

證明(1)對任意正整數(shù)n都有(2011考研）（2）設(shè)證明收斂。證明數(shù)列（1）根據(jù)拉格朗日中值定理，存在使得所以（2）當時，由（1）知且所以數(shù)列單調(diào)下降且有界，故收斂。30例9證明不等式證設(shè)則從而單調(diào)增加。又因為當時，由于所以2012考研當時，當時，31例9證明不等式證設(shè)當單調(diào)增加。又因為時，當時，所以則是函數(shù)在內(nèi)的最小值。時，即從而當32例10設(shè)在證:將上有三階導(dǎo)數(shù),且求證至少存在一點在兩式相減,得使處展成二階泰勒公式:令,則33法1由利用極值推廣判別法可知為唯一的極小值點,故也是最小值,因此當時即例11證明當x>0時,34例11證明當x>0時,證:令則法2.由在處的二階泰勒公式,得在x故所證不等式成立.與1之間)35法3故當時即36例12設(shè)在內(nèi)證:令證明對任給(P114例14)有利用一階泰勒公式,有各式相加,注意即所證不等式成立.37推論:設(shè)則(P115例15)提示:取對數(shù),歸結(jié)為證明令則利用例10可推出結(jié)論.證明對任給有例13設(shè)在內(nèi)38例14設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證明存在一點使證:由一階泰勒公式得(P84例12)(界于a,x之間)(界于x,b之間)兩式相減,并令得39記則有40例15

設(shè)在內(nèi)證明:有證:令則對有令得令得即原不等式成立.(同濟(上)P183題19)41例16設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證明對任意總有證:由一階泰勒公式得(P119題22)下式減去上式,得42例17設(shè)且證:原式證明(P112例11)令它們在[x,