大學物理學趙近芳 第5章答案

習題五5-1振動和波動有什么區(qū)別和聯系?平面簡諧波動方程和簡諧振動方程有什么不同?又有什么聯系?振動曲線和波形曲線有什么不同?解:(1)振動是指一個孤立的系統(也可是介質中的一個質元)在某固定平衡位置附近所做的往復運動，系統離開平衡位置的位移是時間的周期性函數，即可表示為；波動是振動在連續(xù)介質中的傳播過程，此時介質中所有質元都在各自的平衡位置附近作振動，因此介質中任一質元離開平衡位置的位移既是坐標位置，又是時間的函數，即．(2)在諧振動方程中只有一個獨立的變量時間，它描述的是介質中一個質元偏離平衡位置的位中有兩個獨立變量，即坐標位置和時間，它描述的移隨時間變化的規(guī)律；平面諧波方程是介質中所有質元偏離平衡位置的位移隨坐標和時間變化的規(guī)律．當諧波方程中的坐標位置給定后，即可得到該點的振動方程，而波源持續(xù)不斷地振動又是產生波動的必要條件之一．(3)振動曲線描述的是一個質點的位移隨時間變化的規(guī)律，因此，其縱軸為，橫軸為；波動描述的是介質中所有質元的位移隨位置，隨時間變化的規(guī)律，其縱軸為，橫軸為．曲線每一幅圖只能給出某一時刻質元的位移隨坐標位置變化的規(guī)律，即只能給出某一時刻的波形圖，不同時刻的波動曲線就是不同時刻的波形圖．5-2波動方程=cos［()+］中的表示什么?如果改寫為=cos()，又是什么意思?如果和均增加，但相應的［()+］的值不變，由此能從波動方程說明什么?解:波動方程中的表示了介質中坐標位置為的質元的振動落后于原點的時間；則表示處質元比原點落后的振動位相；設時刻的波動方程為則時刻的波動方程為其表示在時刻，位置處的振動狀態(tài)，經過后傳播到處．所以在中，當，均增加時，距離，說明的值不會變化，而這正好說明了經過時間，波形即向前傳播了的描述的是一列行進中的波，故謂之行波方程．5-3波在介質中傳播時，為什么介質元的動能和勢能具有相同的位相，而彈簧振子的動能和勢能卻沒有這樣的特點?解:我們在討論波動能量時，實際上討論的是介質中某個小體積元內所有質元的能量．波動動能當然是指質元振動動能，其與振動速度平方成正比，波動勢能則是指介質的形變勢能．形變勢能由介質的相對形變量(即應變量)決定．如果取波動方程為的平方成正比．由波動曲線圖(題5-3圖)可知，在波峰，波谷處，波動動能有極小(此處振動速度為零)，而在該處的應變也為極小(該處)，所以在波峰，波谷處波動勢能也為極小；，則相對形變量(即應變量)為.波動勢能則是與在平衡位置處波動動能為極大(該處振動速度的極大)，而在該處的應變也是最大(該處是曲線的拐點)，當然波動勢能也為最大．這就說明了在介質中波動動能與波動勢能是同步變化的，即具有相同的量值．題5-3圖對于一個孤立的諧振動系統，是一個孤立的保守系統，機械能守恒，即振子的動能與勢能之和保持為一個常數，而動能與勢能在不斷地轉換，所以動能和勢能不可能同步變化．5-4波動方程中，坐標軸原點是否一定要選在波源處?=0時刻是否一定是波源開始振動的時刻?波動方程寫成=cos()時，波源一定在坐標原點處嗎?在什么前提下波動方程才能寫成這種形式?解:由于坐標原點和開始計時時刻的選全完取是一種主觀行為，所以在波動方程中，坐標原點不一定要選在波源處，同樣，的時刻也不一定是波源開始振動的時刻；當波動方程寫成時，坐標原點也不一定是選在波源所在處的．因為在此處對于波源的含義已做了拓展，即在寫波動方程時，我們可以把介質中某一已知點的振動視為波源，只要把振動方程為已知的點選為坐標原點，即可得題示的波動方程．5-5在駐波的兩相鄰波節(jié)間的同一半波長上，描述各質點振動的什么物理量不同，什么物理量相同?解:取駐波方程為，則可知，在相鄰兩波節(jié)中的同一半波長上，描述各質點的振幅是不相同的，各質點的振幅是隨位置按余弦規(guī)律變化的，即振幅變化規(guī)律可表示為．而在這同一半波長上，各質點的振動位相則是相同的，即以相鄰兩波節(jié)的介質為一段，同一段介質內各質點都有相同的振動位相，而相鄰兩段介質內的質點振動位相則相反．5-6波源向著觀察者運動和觀察者向波源運動都會產生頻率增高的多普勒效應，這兩種情況有何區(qū)別?解:波源向著觀察者運動時，波面將被擠壓，波在介質中的波長，將被壓縮變短，(如題5-6圖所示)，因而觀察者在單位時間內接收到的完整數目()會增多，所以接收頻率增高；而觀察者向著波源運動時，波面形狀不變，但觀察者測到的波速增大，即，因而單位時間內通過觀察者完整波的數目也會增多，即接收頻率也將增高．簡單地說，前者是通過壓縮波面(縮短波長)使頻率增高，后者則是觀察者的運動使得單位時間內通過的波面數增加而升高頻率．題5-6圖多普勒效應5-7一平面簡諧波沿軸負向傳播，波長=1.0m，原點處質點的振動頻率為=2.0Hz，振幅＝0.1m，且在=0時恰好通過平衡位置向軸負向運動，求此平面波的波動方程．解:由題知時原點處質點的振動狀態(tài)為則有，故知原點的振動初相為,取波動方程為5-8已知波源在原點的一列平面簡諧波，波動方程為=cos()，其中，，為正值恒量．求：(1)波的振幅、波速、頻率、周期與波長；(2)寫出傳播方向上距離波源為處一點的振動方程；(3)任一時刻，在波的傳播方向上相距為的兩點的位相差．解:(1)已知平面簡諧波的波動方程()將上式與波動方程的標準形式比較，可知：波振幅為，頻率，波長，波速，波動周期．(2)將代入波動方程即可得到該點的振動方程(3)因任一時刻同一波線上兩點之間的位相差為將，及代入上式，即得．5-9沿繩子傳播的平面簡諧波的波動方程為=(10(1)波的波速、頻率和波長