數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編1精選ppt課程名稱(chēng)學(xué)時(shí)36數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模MathematicalModeling學(xué)分3課程類(lèi)別專(zhuān)業(yè)選修課先修課程微積分、線(xiàn)性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程簡(jiǎn)介本課程是計(jì)算機(jī)及管理專(zhuān)業(yè)的一門(mén)專(zhuān)業(yè)選修課。也是本科生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的輔導(dǎo)課程。數(shù)學(xué)模型是架于數(shù)學(xué)理論和實(shí)際問(wèn)題之間的橋梁。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段和途徑。本書(shū)介紹數(shù)學(xué)建模中常用的一些基本概念、理論和典型的數(shù)學(xué)模型，包括：數(shù)據(jù)擬合，網(wǎng)絡(luò)模型，優(yōu)化模型，離散模型、隨機(jī)模型，時(shí)間序列預(yù)報(bào)模型，回歸分析及其試驗(yàn)設(shè)計(jì)。通過(guò)數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模有關(guān)問(wèn)題的論述和模型實(shí)例的介紹，使學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力有所提高。教材及參考書(shū)目《數(shù)學(xué)模型》，姜啟源主編，高等教育出版社

課程簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編2精選ppt數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編第一章建立數(shù)學(xué)模型第二章初等模型第三章

簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型第五章微分方程模型第六章穩(wěn)定性模型第七章差分方程模型第八章離散模型第九章概率模型第十章統(tǒng)計(jì)回歸模型附錄:數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)3精選ppt周次節(jié)次教學(xué)內(nèi)容課時(shí)作業(yè)執(zhí)行情況1五5－61.1-1.5數(shù)學(xué)模型的介紹1.6數(shù)學(xué)模型的基本方法步驟、特點(diǎn)和分類(lèi)22五5－62.1公平的席位分配(討論課)2.2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途2.3雙層玻璃的功效23五5－62.7實(shí)物交換3.2生豬的出售時(shí)機(jī)24五5－63.3森林救火(討論課)3.4最優(yōu)價(jià)格25五5－63.6消費(fèi)者的選擇4.3汽車(chē)生產(chǎn)與原油采購(gòu)26五5－64.5飲料廠的生產(chǎn)與檢修5.1傳染病模型(討論課)27五5－65.2經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型5.6人口的預(yù)測(cè)和控制

28五5－66.1捕魚(yú)業(yè)的持續(xù)收獲6.2軍備競(jìng)賽(討論課)2

教學(xué)進(jìn)度數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編4精選ppt9五5－66.4種群的相互依存7.1市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型2

10五5－67.2減肥計(jì)劃-節(jié)食與運(yùn)動(dòng)8.3層次分析模型212五5－68.4效益的合理分配9.2報(bào)童的訣竅(討論課)213五5－69.5隨機(jī)人口模型9.6航空公司的預(yù)定票策略214五5－610.1牙膏的銷(xiāo)售量2評(píng)估周15五5－6Mtlab,Mathematcia數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)(上機(jī))216五5－6數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)(上機(jī))217五5－6數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)(上機(jī))218考試數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編5精選ppt數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編第一章建立數(shù)學(xué)模型1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義1.3數(shù)學(xué)建模示例1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟1.5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類(lèi)1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模6精選ppt玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型……~實(shí)物模型水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)……~物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……~符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1從現(xiàn)實(shí)對(duì)象到數(shù)學(xué)模型我們常見(jiàn)的模型第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編7精選ppt你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——“航行問(wèn)題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少?x=20y=5求解第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編8精選ppt航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡(jiǎn)化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號(hào)表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編9精選ppt數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)和數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程（包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等）數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編10精選ppt1.2數(shù)學(xué)建模的重要意義

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展；

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透。數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。

在一般工程技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模仍然大有用武之地；

在高新技術(shù)領(lǐng)域數(shù)學(xué)建模幾乎是必不可少的工具；

數(shù)學(xué)進(jìn)入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開(kāi)辟了許多處女地。第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編11精選ppt數(shù)學(xué)建模的具體應(yīng)用

分析與設(shè)計(jì)

預(yù)報(bào)與決策

控制與優(yōu)化

規(guī)劃與管理數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)知識(shí)經(jīng)濟(jì)如虎添翼第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編12精選ppt1.3數(shù)學(xué)建模示例1.3.1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問(wèn)題分析模型假設(shè)通常~三只腳著地放穩(wěn)~四只腳著地四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面點(diǎn)接觸，四腳連線(xiàn)呈正方形;地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面;地面相對(duì)平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時(shí)著地。第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編13精選ppt模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)椅子位置利用正方形(椅腳連線(xiàn))的對(duì)稱(chēng)性xBADCOD′C′B′A′用(對(duì)角線(xiàn)與x軸的夾角)表示椅子位置四只腳著地距離是的函數(shù)四個(gè)距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個(gè)距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)正方形對(duì)稱(chēng)性第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編14精選ppt用數(shù)學(xué)語(yǔ)言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來(lái)f(),g()是連續(xù)函數(shù)對(duì)任意,f(),g()至少一個(gè)為0數(shù)學(xué)問(wèn)題已知：f(),g()是連續(xù)函數(shù);對(duì)任意，f()?g()=0;且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面椅子在任意位置至少三只腳著地第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編15精選ppt模型求解給出一種簡(jiǎn)單、粗糙的證明方法將椅子旋轉(zhuǎn)900，對(duì)角線(xiàn)AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續(xù)性知

h為連續(xù)函數(shù),據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì),必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因?yàn)閒()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評(píng)注和思考建模的關(guān)鍵~假設(shè)條件的本質(zhì)與非本質(zhì)考察四腳呈長(zhǎng)方形的椅子和f(),g()的確定第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編16精選ppt背景年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)1.3.3如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編17精選ppt指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r是常數(shù)今年人口x0,年增長(zhǎng)率rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編18精選ppt指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編19精選ppt阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編20精選pptdx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線(xiàn),x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編21精選ppt參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專(zhuān)家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編22精選ppt模型檢驗(yàn)用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較實(shí)際為281.4(百萬(wàn))模型應(yīng)用——預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù)Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編23精選ppt數(shù)學(xué)建模的基本方法機(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律將對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí)。以下建模主要指機(jī)理分析。二者結(jié)合用機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測(cè)試分析確定模型參數(shù)1.4數(shù)學(xué)建模的方法和步驟第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編24精選ppt數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型準(zhǔn)備了解實(shí)際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對(duì)象特征形成一個(gè)比較清晰的‘問(wèn)題’第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編25精選ppt模型假設(shè)針對(duì)問(wèn)題特點(diǎn)和建模目的作出合理的、簡(jiǎn)化的假設(shè)在合理與簡(jiǎn)化之間作出折中模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言、符號(hào)描述問(wèn)題發(fā)揮想像力使用類(lèi)比法盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)建模的一般步驟第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編26精選ppt模型求解各種數(shù)學(xué)方法、軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計(jì)分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型分析模型檢驗(yàn)與實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性模型應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的一般步驟第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編27精選ppt數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答表述求解解釋驗(yàn)證(歸納)(演繹)表述求解解釋驗(yàn)證根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答實(shí)踐現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界理論實(shí)踐第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編28精選ppt1.5數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)和分類(lèi)模型的逼真性和可行性模型的漸進(jìn)性模型的強(qiáng)健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的條理性模型的技藝性模型的局限性

數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編29精選ppt數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)……數(shù)學(xué)方法初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)……表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機(jī)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)線(xiàn)性和非線(xiàn)性離散和連續(xù)第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編30精選ppt1.6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模與其說(shuō)是一門(mén)技術(shù)，不如說(shuō)是一門(mén)藝術(shù)技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無(wú)法歸納成普遍適用的準(zhǔn)則想像力洞察力判斷力

學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人作過(guò)的模型

親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際題目第一章建立數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編31精選ppt

第二章初等模型2.1公平的席位分配2.2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途2.3雙層玻璃窗的功效2.7實(shí)物交換數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編32精選ppt2.1公平的席位分配系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.5乙6331.5丙3417.0總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.8156.6153.57021.00021問(wèn)題三個(gè)系學(xué)生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表會(huì)議共20席，按比例分配，三個(gè)系分別為10，6，4席?，F(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103,63,34,問(wèn)20席如何分配。若增加為21席，又如何分配。比例加慣例對(duì)丙系公平嗎系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4總和200100.020.020系別學(xué)生比例20席的分配人數(shù)（%）比例結(jié)果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44總和200100.020.02021席的分配比例結(jié)果10.815116.61573.570321.00021第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編33精選ppt“公平”分配方法衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo)人數(shù)席位A方p1

n1B方p2n2當(dāng)p1/n1=p2/n2

時(shí)，分配公平

p1/n1–p2/n2~對(duì)A的絕對(duì)不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低!雖二者的絕對(duì)不公平度相同若p1/n1>p2/n2，對(duì)不公平A

p1/n1–p2/n2=5第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編34精選ppt公平分配方案應(yīng)使rA

,rB

盡量小設(shè)A,B已分別有n1,n2席，若增加1席，問(wèn)應(yīng)分給A,還是B不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí)p1/n1>p2/n2，即對(duì)A不公平~對(duì)A的相對(duì)不公平度將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量類(lèi)似地定義rB(n1,n2)將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定義第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編35精選ppt1）若p1/(n1+1)>p2/n2，則這席應(yīng)給A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，應(yīng)計(jì)算rB(n1+1,n2)應(yīng)計(jì)算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給應(yīng)討論以下幾種情況初始p1/n1>p2/n2

問(wèn)：p1/n1<p2/(n2+1)

是否會(huì)出現(xiàn)？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),則這席應(yīng)給B第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編36精選ppt當(dāng)rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),該席給ArA,rB的定義該席給A否則,該席給B定義該席給Q值較大的一方推廣到m方分配席位該席給Q值最大的一方Q

值方法計(jì)算，第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編37精選ppt三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席給丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配結(jié)果公平嗎？Q1最大，第20席給甲系第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編38精選ppt進(jìn)一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準(zhǔn)則已知:m方人數(shù)分別為p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qi第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編39精選ppt

qi=Npi/P不全為整數(shù)時(shí)，ni

應(yīng)滿(mǎn)足的準(zhǔn)則：記[qi]–=floor(qi)~向qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時(shí)，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿(mǎn)足1），但不滿(mǎn)足2）Q值方法滿(mǎn)足2）,但不滿(mǎn)足1）。令人遺憾！第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編40精選ppt問(wèn)題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450，問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？要求不僅回答問(wèn)題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系。思考計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？2.2

錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途經(jīng)試驗(yàn)，一盤(pán)標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編41精選ppt錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理主動(dòng)輪壓輪0000左輪盤(pán)右輪盤(pán)磁頭計(jì)數(shù)器錄像帶錄像帶運(yùn)動(dòng)方向錄像帶運(yùn)動(dòng)右輪盤(pán)半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)變慢問(wèn)題分析觀察計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編42精選ppt模型假設(shè)

錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)

v

；

計(jì)數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤(pán)半徑記作r

；

時(shí)間

t=0時(shí)讀數(shù)n=0.建模目的建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設(shè)v,k,w,r為已知參數(shù)）第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編43精選ppt模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤(pán)轉(zhuǎn)第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長(zhǎng)度等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt,所以第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編44精選ppt2.考察右輪盤(pán)面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度，即3.考察t到t+dt錄像帶在右輪盤(pán)纏繞的長(zhǎng)度，有模型建立第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編45精選ppt思考3種建模方法得到同一結(jié)果但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋。模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測(cè)量或調(diào)查，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法。思考第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編46精選ppt參數(shù)估計(jì)另一種確定參數(shù)的方法——測(cè)試分析將模型改記作只需估計(jì)a,b理論上，已知t=184,n=6061,再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編47精選ppt模型檢驗(yàn)應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回答提出的問(wèn)題：由模型算得n=4450時(shí)t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節(jié)目。揭示了“t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì)a,b即可。第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編48精選ppt2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問(wèn)題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.3雙層玻璃窗的功效第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編49精選pptdd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編50精選ppt記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k1/k2=16建模第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編51精選ppthQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過(guò)天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會(huì)如此之大第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編52精選ppt問(wèn)題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿(mǎn)足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2.7實(shí)物交換第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編53精選pptxyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無(wú)差別曲線(xiàn)分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿(mǎn)意程度，即p1,p2對(duì)甲是無(wú)差別的，MN將所有與p1,p2無(wú)差別的點(diǎn)連接起來(lái)，得到一條無(wú)差別曲線(xiàn)MN,線(xiàn)上各點(diǎn)的滿(mǎn)意度相同,線(xiàn)的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點(diǎn)滿(mǎn)意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線(xiàn)M1N1上。于是形成一族無(wú)差別曲線(xiàn)（無(wú)數(shù)條）。第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編54精選pptp1.p2.c1y0xf(x,y)=c1無(wú)差別曲線(xiàn)族的性質(zhì)：

單調(diào)減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點(diǎn))

互不相交在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的y換取較少的x;在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的x換取較少的y。甲的無(wú)差別曲線(xiàn)族記作f(x,y)=c1c1~滿(mǎn)意度（f~等滿(mǎn)意度曲線(xiàn)）第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編55精選pptxyOg(x,y)=c2c2乙的無(wú)差別曲線(xiàn)族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無(wú)差別曲線(xiàn)族g=c2

(坐標(biāo)系x’O’y’,且反向）甲的無(wú)差別曲線(xiàn)族f=c1ABp

P’

雙方滿(mǎn)意的交換方案必在AB（交換路徑）上因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p’,(雙方)滿(mǎn)意度低于AB上的點(diǎn)p兩族曲線(xiàn)切點(diǎn)連線(xiàn)記作AB第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編56精選pptABp交換方案的進(jìn)一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路徑AB雙方的無(wú)差別曲線(xiàn)族等價(jià)交換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點(diǎn)的連線(xiàn)CDAB與CD的交點(diǎn)p設(shè)X單價(jià)a,Y單價(jià)b,則等價(jià)交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x第二章初等模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編57精選ppt第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型3.2生豬的出售時(shí)機(jī)3.3森林救火3.4最優(yōu)價(jià)格3.6消費(fèi)者均衡數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編58精選ppt

現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題

靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))

建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編59精選ppt3.2生豬的出售時(shí)機(jī)飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)可使80千克重的生豬體重增加2公斤。問(wèn)題市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售。如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編60精選ppt求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤(rùn)20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價(jià)格p=8-gt銷(xiāo)售收入R=pw資金投入C=4t利潤(rùn)Q=R-C=pw-C估計(jì)r=2，若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編61精選ppt敏感性分析研究r,g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響估計(jì)r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對(duì)r的（相對(duì)）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時(shí)間推遲3%。rt第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編62精選ppt敏感性分析估計(jì)r=2，g=0.1研究r,g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響設(shè)r=2不變t對(duì)g的（相對(duì)）敏感度生豬價(jià)格每天的降低量g增加1%，出售時(shí)間提前3%。gt第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編63精選ppt強(qiáng)健性分析保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售由S(t,r)=3建議過(guò)一周后(t=7)重新估計(jì),再作計(jì)算。研究r,g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),則（30%）每天利潤(rùn)的增值每天投入的資金第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編64精選ppt3.3森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問(wèn)題分析問(wèn)題記隊(duì)員人數(shù)x,失火時(shí)刻t=0,開(kāi)始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,時(shí)刻t森林燒毀面積B(t).

損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù),由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編65精選ppt

關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問(wèn)題分析失火時(shí)刻t=0,開(kāi)始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,畫(huà)出時(shí)刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編66精選ppt模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費(fèi)）1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢(shì)蔓延速度）2）t1tt2,降為-x

(為隊(duì)員的平均滅火速度）4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2,一次性費(fèi)用c3假設(shè)1）的解釋rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編67精選ppt模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編68精選ppt模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,,為已知參數(shù)第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編69精選ppt模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計(jì),

c2x

c1,t1,

x

c3,x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費(fèi),c2~每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi),c3~每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用,t1~開(kāi)始救火時(shí)刻,~火勢(shì)蔓延速度,~每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.為什么?

,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊(duì)員數(shù)量x第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編70精選ppt3.4最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷(xiāo)平衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大假設(shè)1）產(chǎn)量等于銷(xiāo)量，記作x2）收入與銷(xiāo)量x成正比，系數(shù)p即價(jià)格3）支出與產(chǎn)量x成正比，系數(shù)q即成本4）銷(xiāo)量x依賴(lài)于價(jià)格p,x(p)是減函數(shù)建模與求解收入支出利潤(rùn)進(jìn)一步設(shè)求p使U(p)最大第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編71精選ppt使利潤(rùn)U(p)最大的最優(yōu)價(jià)格p*滿(mǎn)足最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到建模與求解邊際收入邊際支出第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編72精選ppt結(jié)果解釋

q/2~成本的一半

b~價(jià)格上升1單位時(shí)銷(xiāo)量的下降幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）

a~絕對(duì)需求(

p很小時(shí)的需求)b

p*

ap*思考：如何得到參數(shù)a,b?第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編73精選pptq2U(q1,q2)=cq103.6消費(fèi)者均衡問(wèn)題消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度用無(wú)差別曲線(xiàn)族表示，問(wèn)他如何分配一定數(shù)量的錢(qián)，購(gòu)買(mǎi)這兩種商品，以達(dá)到最大的滿(mǎn)意度。設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2,消費(fèi)者的無(wú)差別曲線(xiàn)族(單調(diào)減、下凸、不相交），記作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~效用函數(shù)已知甲乙價(jià)格p1,p2,有錢(qián)s，試分配s,購(gòu)買(mǎi)甲乙數(shù)量q1,q2,使U(q1,q2)最大.第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編74精選ppts/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10模型及求解已知價(jià)格p1,p2,錢(qián)s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大幾何解釋直線(xiàn)MN:最優(yōu)解Q:MN與l2切點(diǎn)斜率·MQN··第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編75精選ppt結(jié)果解釋——邊際效用消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價(jià)格之比時(shí)達(dá)到。效用函數(shù)U(q1,q2)應(yīng)滿(mǎn)足的條件A.U(q1,q2)=c

所確定的函數(shù)q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸解釋B的實(shí)際意義第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編76精選ppt效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比。

U(q1,q2)中參數(shù),分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度。第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編77精選ppt購(gòu)買(mǎi)兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān)。

U(q1,q2)中參數(shù),

分別表示對(duì)甲乙的偏愛(ài)程度。思考：如何推廣到m(>2)種商品的情況效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式第三章簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編78精選ppt第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

4.3

汽車(chē)生產(chǎn)與原油采購(gòu)4.5飲料廠的生產(chǎn)與檢修數(shù)學(xué)模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編79精選ppt數(shù)學(xué)規(guī)劃模型

實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)化模型x~決策變量f(x)~目標(biāo)函數(shù)gi(x)0~約束條件多元函數(shù)條件極值決策變量個(gè)數(shù)n和約束條件個(gè)數(shù)m較大最優(yōu)解在可行域的邊界上取得數(shù)學(xué)規(guī)劃線(xiàn)性規(guī)劃非線(xiàn)性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃重點(diǎn)在模型的建立和結(jié)果的分析第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編80精選ppt如果生產(chǎn)某一類(lèi)型汽車(chē)，則至少要生產(chǎn)80輛，那么最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃應(yīng)作何改變？例1汽車(chē)廠生產(chǎn)計(jì)劃汽車(chē)廠生產(chǎn)三種類(lèi)型的汽車(chē)，已知各類(lèi)型每輛車(chē)對(duì)鋼材、勞動(dòng)時(shí)間的需求，利潤(rùn)及工廠每月的現(xiàn)有量。小型中型大型現(xiàn)有量鋼材（噸）1.535600勞動(dòng)時(shí)間（小時(shí)）28025040060000利潤(rùn)（萬(wàn)元）234制訂月生產(chǎn)計(jì)劃，使工廠的利潤(rùn)最大。4.3

汽車(chē)生產(chǎn)與原油采購(gòu)第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編81精選ppt設(shè)每月生產(chǎn)小、中、大型汽車(chē)的數(shù)量分別為x1,x2,x3汽車(chē)廠生產(chǎn)計(jì)劃模型建立

小型中型大型現(xiàn)有量鋼材1.535600時(shí)間28025040060000利潤(rùn)234線(xiàn)性規(guī)劃模型(LP)第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編82精選ppt模型求解

3）模型中增加條件：x1,x2,x3

均為整數(shù)，重新求解。

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X164.5161290.000000

X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226結(jié)果為小數(shù)，怎么辦？1）舍去小數(shù)：取x1=64，x2=167，算出目標(biāo)函數(shù)值z(mì)=629，與LP最優(yōu)值632.2581相差不大。2）試探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，計(jì)算函數(shù)值z(mì)，通過(guò)比較可能得到更優(yōu)的解。但必須檢驗(yàn)它們是否滿(mǎn)足約束條件。為什么？第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編83精選pptIP可用LINDO直接求解整數(shù)規(guī)劃(IntegerProgramming,簡(jiǎn)記IP)“gin3”表示“前3個(gè)變量為整數(shù)”，等價(jià)于：ginx1ginx2ginx3IP的最優(yōu)解x1=64，x2=168，x3=0，最優(yōu)值z(mì)=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3<600280x1+250x2+400x3<60000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解

IP結(jié)果輸出第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編84精選ppt其中3個(gè)子模型應(yīng)去掉，然后逐一求解，比較目標(biāo)函數(shù)值，再加上整數(shù)約束，得最優(yōu)解：方法1：分解為8個(gè)LP子模型汽車(chē)廠生產(chǎn)計(jì)劃若生產(chǎn)某類(lèi)汽車(chē)，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。x1,x2,,x3=0或80x1=80，x2=150，x3=0，最優(yōu)值z(mì)=610第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編85精選pptLINDO中對(duì)0-1變量的限定：inty1inty2inty3方法2：引入0-1變量，化為整數(shù)規(guī)劃

M為大的正數(shù)，可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X180.000000-2.000000

X2150.000000-3.000000

X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000若生產(chǎn)某類(lèi)汽車(chē)，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80最優(yōu)解同前

第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編86精選pptNLP雖然可用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件求解(如LINGO,MATLAB)，但是其結(jié)果常依賴(lài)于初值的選擇。方法3：化為非線(xiàn)性規(guī)劃

非線(xiàn)性規(guī)劃（Non-LinearProgramming，簡(jiǎn)記NLP）

實(shí)踐表明，本例僅當(dāng)初值非常接近上面方法算出的最優(yōu)解時(shí)，才能得到正確的結(jié)果。

若生產(chǎn)某類(lèi)汽車(chē)，則至少生產(chǎn)80輛，求生產(chǎn)計(jì)劃。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編87精選ppt應(yīng)如何安排原油的采購(gòu)和加工

？

例2原油采購(gòu)與加工市場(chǎng)上可買(mǎi)到不超過(guò)1500噸的原油A：

購(gòu)買(mǎi)量不超過(guò)500噸時(shí)的單價(jià)為10000元/噸；購(gòu)買(mǎi)量超過(guò)500噸但不超過(guò)1000噸時(shí)，超過(guò)500噸的部分8000元/噸；購(gòu)買(mǎi)量超過(guò)1000噸時(shí)，超過(guò)1000噸的部分6000元/噸。售價(jià)4800元/噸售價(jià)5600元/噸庫(kù)存500噸庫(kù)存1000噸汽油甲(A50%)原油A原油B汽油乙(A60%)第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編88精選ppt決策變量

目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題分析利潤(rùn)：銷(xiāo)售汽油的收入-購(gòu)買(mǎi)原油A的支出難點(diǎn)：原油A的購(gòu)價(jià)與購(gòu)買(mǎi)量的關(guān)系較復(fù)雜甲(A50%)AB乙(A60%)購(gòu)買(mǎi)xx11x12x21x224.8千元/噸5.6千元/噸原油A的購(gòu)買(mǎi)量,原油A,B生產(chǎn)汽油甲,乙的數(shù)量c(x)~購(gòu)買(mǎi)原油A的支出利潤(rùn)(千元)c(x)如何表述？第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編89精選ppt原油供應(yīng)

約束條件

x

500噸單價(jià)為10千元/噸；

500噸x1000噸，超過(guò)500噸的8千元/噸；1000噸x1500噸，超過(guò)1000噸的6千元/噸。目標(biāo)函數(shù)購(gòu)買(mǎi)xABx11x12x21x22庫(kù)存500噸庫(kù)存1000噸第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編90精選ppt目標(biāo)函數(shù)中c(x)不是線(xiàn)性函數(shù)，是非線(xiàn)性規(guī)劃；對(duì)于用分段函數(shù)定義的c(x)，一般的非線(xiàn)性規(guī)劃軟件也難以輸入和求解；想辦法將模型化簡(jiǎn)，用現(xiàn)成的軟件求解。

汽油含原油A的比例限制約束條件甲(A50%)AB乙(A60%)x11x12x21x22第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編91精選pptx1,x2,x3~以?xún)r(jià)格10,8,6(千元/噸)采購(gòu)A的噸數(shù)目標(biāo)函數(shù)

只有當(dāng)以10千元/噸的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)x1=500(噸)時(shí)，才能以8千元/噸的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)x2方法1

非線(xiàn)性規(guī)劃模型，可以用LINGO求解模型求解x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

500噸

x1000噸，超過(guò)500噸的8千元/噸增加約束x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編92精選ppt方法1：LINGO求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12<x+500;x21+x22<1000;x11-x21>0;2*x12-3*x22>0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1<500;x2<500;x3<500;x>0;x11>0;x12>0;x21>0;x22>0;x1>0;x2>0;x3>0;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到的是局部最優(yōu)解，還能得到更好的解嗎？

用庫(kù)存的500噸原油A、500噸原油B生產(chǎn)汽油甲，不購(gòu)買(mǎi)新的原油A，利潤(rùn)為4,800千元。

第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編93精選ppty1,y2,y3=1~以?xún)r(jià)格10,8,6(千元/噸)采購(gòu)A增加約束方法2

0-1線(xiàn)性規(guī)劃模型，可用LINDO求解y1,y2,y3=0或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000購(gòu)買(mǎi)1000噸原油A，與庫(kù)存的500噸原油A和1000噸原油B一起，生產(chǎn)汽油乙，利潤(rùn)為5,000千元。x1,x2,x3~以?xún)r(jià)格10,8,6(千元/噸)采購(gòu)A的噸數(shù)y=0x=0x>0y=1優(yōu)于方法1的結(jié)果第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編94精選pptb1b2

b3

b4方法3

b1

xb2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z20,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2

xb3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3

0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).b3

xb4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4

0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接處理處理分段線(xiàn)性函數(shù)c(x)第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編95精選pptIP模型，LINDO求解，得到的結(jié)果與方法2相同.處理分段線(xiàn)性函數(shù)，方法3更具一般性bkxbk+1yk=1,否則,yk=0方法3

bkxbk+1,x=zkbk+zk+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+10,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x1200090005000050010001500b1b2

b3

b4對(duì)于k=1,2,3第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編96精選ppt4.5飲料廠的生產(chǎn)與檢修單階段生產(chǎn)計(jì)劃多階段生產(chǎn)計(jì)劃生產(chǎn)批量問(wèn)題企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃考慮與產(chǎn)量無(wú)關(guān)的固定費(fèi)用給優(yōu)化模型求解帶來(lái)新的困難外部需求和內(nèi)部資源隨時(shí)間變化第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編97精選ppt安排生產(chǎn)計(jì)劃,滿(mǎn)足每周的需求,使4周總費(fèi)用最小。存貯費(fèi):每周每千箱飲料0.2千元。例1飲料廠的生產(chǎn)與檢修計(jì)劃在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當(dāng)周15千箱生產(chǎn)能力，能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱，檢修應(yīng)排在哪一周?

周次需求量(千箱)生產(chǎn)能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5合計(jì)100135

某種飲料4周的需求量、生產(chǎn)能力和成本第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編98精選ppt問(wèn)題分析除第4周外每周的生產(chǎn)能力超過(guò)每周的需求；生產(chǎn)成本逐周上升；前幾周應(yīng)多生產(chǎn)一些。周次需求能力11530225403354542520合計(jì)100135成本5.05.15.45.5

飲料廠在第1周開(kāi)始時(shí)沒(méi)有庫(kù)存；從費(fèi)用最小考慮,第4周末不能有庫(kù)存；周末有庫(kù)存時(shí)需支出一周的存貯費(fèi)；每周末的庫(kù)存量等于下周初的庫(kù)存量。模型假設(shè)

第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編99精選ppt目標(biāo)函數(shù)約束條件產(chǎn)量、庫(kù)存與需求平衡決策變量

能力限制非負(fù)限制模型建立x1~x4：第1~4周的生產(chǎn)量y1~y3：第1~3周末庫(kù)存量周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5存貯費(fèi):0.2(千元/周?千箱)第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編100精選ppt模型求解

4周生產(chǎn)計(jì)劃的總費(fèi)用為528(千元)最優(yōu)解：x1~x4：15，40，25，20；

y1~y3：

0，15，5.周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5產(chǎn)量15402520庫(kù)存01550LINDO求解第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編101精選ppt檢修計(jì)劃0-1變量wt：wt=1~檢修安排在第t周(t=1,2,3,4）在4周內(nèi)安排一次設(shè)備檢修，占用當(dāng)周15千箱生產(chǎn)能力，能使檢修后每周增產(chǎn)5千箱，檢修應(yīng)排在哪一周?

檢修安排在任一周均可周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5約束條件能力限制產(chǎn)量、庫(kù)存與需求平衡條件不變第四章數(shù)學(xué)規(guī)劃模型《數(shù)學(xué)模型》姜啟源主編102精選ppt增加約束條件：檢修1次檢修計(jì)劃目標(biāo)函數(shù)不變0-1變量wt：wt=1~檢修安排在第t周(t=1,2,3,4）LINDO求解總費(fèi)用由528千元降為527千元檢修所