大學物理4振動和波動

2005年秋季學期第2章波動Wave陳信義編

1.§2.1機械波的形成和特征§2.2行波簡諧波§2.4波動方程波速色散§2.3物體的彈性變形§2.6惠更斯原理§2.5波的能量§2.7波的疊加駐波△§2.8聲波地震波水波§2.9多普勒效應§2.10復波群速度△§2.11孤子目錄【演示實驗】橫波模型、縱波模型、細彈簧縱波、激光倍頻，馬達激勵弦駐波、氣體火焰駐波、多普勒效應（掄蜂鳴器）、超聲噴泉2.振動或擾動在空間以一定速度的傳播稱為波動,簡稱為波(wave)。機械振動或擾動在介質(zhì)中的傳播稱為機械波，如聲波、水波和地震波等。變化電場和變化磁場在空間的傳播稱為電磁波，例如無線電波、光波和X射線等。機械波只能在介質(zhì)中傳播，例如聲波的傳播要有空氣作介質(zhì)，水波的傳播要有水作介質(zhì)。但是，電磁波（光）的傳播不需要介質(zhì)，它可以在真空中傳播。機械波和電磁波統(tǒng)稱為經(jīng)典波，它們代表的是某種實在的物理量的波動。3.雖然各類波的具體物理機制不同，但它們都具有疊加性，都能發(fā)生干涉和衍射現(xiàn)象，也就是說它們所具有的波動的普遍性質(zhì)。除了機械波和電磁波都能發(fā)生干涉和衍射現(xiàn)象外，實驗中發(fā)現(xiàn)，電子、質(zhì)子和中子這些微觀粒子也能發(fā)生干涉和衍射。因此，微觀粒子也具有波動性。簡諧振動在空間的傳播，稱為簡諧波，它是最簡單的波。我們以機械波中的簡諧波為例來介紹波動的普遍性質(zhì)。4.§2.1機械波的形成和特征一、機械波的形成····t=T/4··························t=T····················t=00481620············12········

···24··t=T/2·······

··························t=3T/4·················5.彈性介質(zhì)的質(zhì)元受外界擾動而發(fā)生振動時，因質(zhì)元之間的彈性聯(lián)系，會使振動傳播開去，這就形成了波動—機械波（mechanicalwave）波動是振動狀態(tài)的傳播，不是介質(zhì)的傳播。機械波形成的條件“上游”的質(zhì)元依次帶動“下游”的質(zhì)元振動。某時刻某質(zhì)元的振動狀態(tài)將在較晚的時刻于“下游”某處出現(xiàn)。

6.二、波的幾何描述波線（waveline）:表示波的傳播方向的射線（波射線）波面（wavesurface）:介質(zhì)振動相位相同的點組成的面（同相面）波陣面（wavefront）:某時刻波到達的各點所構(gòu)成的面（波前）球面波平面波波線波面7.三、波的分類按波的性質(zhì)機械波（mechanicalwave）電磁波（electromagneticwave）縱波（longitudinalwave）按波線與振動方向關系橫波（transversewave）氣體和液體中的聲波是縱波，而固體中的聲波既可以是縱波，也可以是橫波。水表面的波既非橫波又非縱波，水波中水質(zhì)元作縱向、橫向二維運動，即作圓運動?！狙菔緦嶒灐繖M、縱波模型，細彈簧縱波8.按波面形狀平面波（planewave）球面波（sphericalwave）柱面波（cylindricalwave）按復雜程度簡諧波（simpleharmonicwave）復波（compoundwave）按持續(xù)時間連續(xù)波（continuedwave）脈沖波（pulsatingwave）按是否傳播行波（travellingwave）駐波（standingwave）9.1、波速u：振動狀態(tài)（位相）傳播的速度。它由介質(zhì)的性質(zhì)決定，與波源情況無關。2、周期（period）T：一個完整的波通過波線上的某點所需的時間。它由波源決定（波源、觀測者均不動時）頻率（frequency）

角頻率（angularfrequency）四、波的特征量不是質(zhì)元的振動速度！10.3、波長（wavelength）

波線上相鄰的振動狀態(tài)相同的兩質(zhì)元間的距離。它由波源和介質(zhì)共同決定波長表示波的空間周期性xu11.§2.2行波簡諧波設

為傳播的物理量，它沿x軸傳播，則某種物理量的擾動的傳播稱為行波。ξxxx+Δxt+Δt時刻ξxxft

時刻一、行波（travellingwave）為沿+x

向傳播的行波，u為波速。12.∴具有沿+x向傳播的性質(zhì)。同理，具有沿-x向傳播的性質(zhì)。行波的波函數(shù)：即描述行波傳播時，物理量隨位置和時間的變化。13.二、簡諧波（simpleharmonicwaveSHW）如果傳播的擾動是簡諧振動，則這樣的波稱為簡諧波（余弦波，單色波）。1、一維平面簡諧波的波函數(shù)在x=0處質(zhì)元振動方程為則應有波函數(shù)：因無吸收，故振幅A不變。以機械波的橫波為例，設平面波沿x方向以速度u傳播，介質(zhì)均勻、無限大，無吸收。14.波函數(shù)式中的，稱為波的位相。波在某點的相位反映該點質(zhì)元的“運動狀態(tài)”。所以，簡諧波的傳播也是介質(zhì)振動位相的傳播。相速度（相速）設t時刻x處的位相經(jīng)dt傳到（x+dx）處，則應有于是得到即，簡諧波的波速就是相速。15.2、一維簡諧波函數(shù)的另一種表示0x沿波傳播方向每增加的距離，位相落后2。說明：因此，x點比0點位相落后。16.

全反射壁

(l-x)lxy0=Acosωt入射反射S0【例】反射波在S處相位改變。如圖示，已知：y0=Acost，波長為，求：反射波函數(shù)y(x,t)解：全反射，A不變。波由0經(jīng)壁反射到x傳播了距離l+(lx)=2lx，相位落后了(2lx)/，在壁處反射相位改變了

，“+”表示沿

x方向傳播取+、均可17.3、波函數(shù)的意義（1）t=t0，yx給出t時刻空間各點位移分布。（2）x=x0，yt給出x點的振動函數(shù)。Tyt0振動曲線x

=x0xy0波動曲線t=t018.【例】yx0

已知一個向右傳播的波在x=0點的振動解：yt-TTA0A-A較0點相位落后/20yAx=0點初相位為－/2向+y方向運動t=0t>0試畫出該波在曲線如圖所示。t=0時的波形曲線。19.4、一維簡諧波波函數(shù)的復數(shù)表示表示單位距離內(nèi)位相的變化定義波數(shù)（wavenumber）：振動因子空間因子（復振幅）復數(shù)表達式：－：向右＋：向左波函數(shù)：：x=0點的位相【例】自由粒子波函數(shù)：20.△§2.3物體的彈性變形著重搞清線變、切變和體變的概念，以及與三種變化相應的材料的彈性模量。（自學書第2.3節(jié)）21.§2.4波動方程波速色散一、一維波動方程以任意一個沿x正方向傳播的行波為例比較可得波動方程，描述經(jīng)典波動過程的普遍方程。任何行波，包括平面簡諧波，都是它的解。，設u為波速22.波動方程雖由行波波函數(shù)得到，但其解并不限于行波。任何物理量，無論是位移，還是電場或磁場，只要它與坐標、時間的函數(shù)關系是波動方程的解，那么該物理量的運動形式就一定是波動。波動：運動函數(shù)滿足波動方程的運動。23.氣體中：

液體中：

（體積模量）—比熱比二、波速體變ppppV+

V24.固體中（切變模量）（楊氏模量）書表2.2：，地震波傳播……彈性繩上的橫波：l—繩的線密度F—繩的初始張力，橫波F切變FSll

FF線變縱波切應力切應變應力線應變25.三、色散（dispersion）

上面給出介質(zhì)中的波速，只與介質(zhì)的性質(zhì)有關，而與波的性質(zhì)無關。實際上，在有些介質(zhì)中，波速除了與介質(zhì)有關外，不同頻率簡諧波的波速也不同。能產(chǎn)生色散現(xiàn)象的介質(zhì)稱為色散介質(zhì)。不產(chǎn)生色散現(xiàn)象的介質(zhì)稱為無色散介質(zhì)。這種波速與波的頻率（波長）有關的現(xiàn)象稱為色散。26.100可見光X光反常色散區(qū)玻璃對光的色散曲線n玻璃（c/u）對X光來說，玻璃的折射率<1。27.四、真空中電磁波的波動方程真空中麥克斯韋方程組（1）（2）（3）（4）對方程2兩邊取旋度，并應用方程1、4，有28.（1）（2）（3）（4）對方程4兩邊取旋度，并應用2、3，有29.真空中電磁波的波動方程：滿足波動方程的量是場矢量。30.§2.5波的能量一、波的能量波在彈性介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)的質(zhì)元由于振動而具有動能，因發(fā)生形變還具有彈性勢能。介質(zhì)質(zhì)元能量是如何變化的？能量傳播的規(guī)律如何？以彈性棒中的簡諧橫波為例來分析：隨著擾動的傳播，質(zhì)元的能量也向前傳播。對于機械波來說，我們把波動引起的介質(zhì)的能量，稱為波的能量。31.yx0yx

y=Acos(t-x/u)0uxx+xy“質(zhì)元”形變勢能ΔWp，振動動能ΔWk切變模量?xFFyS32.∴又33.∴質(zhì)元總能量波動質(zhì)元：每個質(zhì)元都與周圍媒質(zhì)交換能量。能量密度（energydensity）：平均能量密度：振動系統(tǒng)：系統(tǒng)與外界無能量交換。34.適用于各種彈性波。能量的傳播：0x

yuAwu傳播能量“一堆一堆”地傳播。w處，；處，35.二、能流密度（energyfluxdensity）→能流波的傳播→能量傳播能流密度S—單位時間內(nèi)通過垂直于波線波的強度

Iu單位面積xuw—介質(zhì)“特性阻抗”方向單位面積波的能量。（平均能流密度）36.利用和能量守恒，可以證明，對無吸收介質(zhì)，有：平面波球面波柱面波

r場點到波源的距離37.三、波的吸收（absorptionofwave）波通過介質(zhì)時，一部分能量要被介質(zhì)吸收。機械能→熱運動能（不可逆）；造成吸收的因素：疏部、密部有溫差，發(fā)生熱交換，非彈性碰撞使分子機械能機械能→熱運動能（不可逆）；→分子內(nèi)能（不可逆）。(1)內(nèi)摩擦：(2)熱傳導：(3)分子碰撞：38.定義吸收系數(shù)對平面波：x+dxx0A0AA+dAx設=const.則∵39.空氣：鋼：空氣中低頻波可傳得很遠頻率很高時（超聲）

超聲波探傷：探測器鋼件超聲波若頻率40.§2.6惠更斯原理（Huygensprinciple）前面討論了波動的基本概念，其傳播方向、惠更斯原理給出的方法（惠更斯作圖法）現(xiàn)在討論與波的傳播特性有關的現(xiàn)象、原理和規(guī)律。是一種處理波傳播方向的普遍方法。頻率和振幅都有可能改變。由于某些原因，波在傳播中，41.發(fā)射子波（次級波）的波源（點源），就是波在該時刻的新的波面。的任一時刻，一、惠更斯原理（1690）1、原理的敘述介質(zhì)中任意波面上的各點，都可看作是其后這些子波面的包絡面（包跡）2、原理的應用已知t時刻的波面t+t時刻的波面，從而可進一步給出波的傳播方向。42.t+t時刻波面·····ut波傳播方向t時刻波面平面波t+t球面波例如，均勻各向同性介質(zhì)內(nèi)波的傳播：u···············t43.二、波的衍射（wavediffraction）衍射：波傳播過程中，當遇到障礙物時，能繞過障礙物邊緣而偏離直線傳播的現(xiàn)象?！と肷洳ㄑ苌洳ㄕ系K物···入射波衍射波障礙物a障礙物的線度越大衍射現(xiàn)象越不明顯，障礙物的線度越小衍射現(xiàn)象越明顯。相對于波長而言，44.水波通過窄縫時的衍射45.廣播和電視哪個更容易收到?更容易聽到男的還是女的說話的聲音？障礙物（聲音強度相同的情況下）46.三、波的反射和折射（reflection&refraction）

△1.波的反射（書P74）2.波的折射：用惠更斯作圖法導出折射定律u2t媒質(zhì)1、折射率n1媒質(zhì)2、折射率n2i法線B入射波A··E·Cu1u1t··FDu2折射波傳播方向r——折射定律光波得到47.光密介質(zhì)光疏介質(zhì)時，折射角r>入射角

i。全反射的一個重要應用是光導纖維（光纖），irn1(大)n2(小)i=iC

r=90n1(大)n2(小)當入射i>臨界角iC

時，將無折射光—全反射。iC

—臨界角它是現(xiàn)代光通信技術(shù)的重要器件。48.光導纖維49.光纜電纜圖中的細光纜和粗電纜的通信容量相同我國電信的主干線可達300公里。也只有幾十公里。而且損耗小。光纖通信容量大，在不加中繼站的情況下，光纜傳輸距離而同軸電纜只幾公里，微波早已全部為光纜。50.近10年發(fā)展起來的導管X光學也應用了全反射現(xiàn)象。對X光來說，玻璃對真空的折射率<1，故X光從真空或空氣射向玻璃時會發(fā)生全反射。X光以大于臨界角入射到內(nèi)表面光滑的玻璃就可以沿著彎曲的導管傳播。管內(nèi)，應用毛細的X管束可制成X光透鏡。聚焦提高光束功率密度將發(fā)散光變?yōu)槠叫泄?1.一、波的疊加原理(superpositionprinciple)§2.7波的疊加駐波若幾列波同時在介質(zhì)中傳播，則它們各以原有的振幅、波長和頻率沿原方向獨立地傳播，彼此互不影響（獨立傳播原理）；波的疊加原理是干涉、衍射的基本依據(jù)。在幾列波相遇處，質(zhì)元的位移等于各列波單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和（波的疊加原理）。1、疊加原理成立的條件：

波強度較小，波動方程是線性的。52.波強度過大時，介質(zhì)形變與彈力的關系不再呈線性，波動方程非線性，疊加原理不成立。2、光學的非線性現(xiàn)象EB入射到介質(zhì)中的光波引起振動：53.強光通過介質(zhì)時,介質(zhì)出現(xiàn)非線性,引起：光學整流、倍頻、混頻等效應

弱光：E0<<原子內(nèi)部電子受到的電場強度（～1010V/m）。普通光源的光屬弱光(E0～103V/m)強光：激光的E0可超過109V/m弱光通過介質(zhì)時，介質(zhì)的電極化強度與電場呈線性關系：54.強光通過介質(zhì)會怎樣？線性項光學整流倍頻

例如，紅寶石激光器發(fā)出的紅光通過石英晶體轉(zhuǎn)變成倍頻紫外光（1961年）。55.放在兩反射鏡間的YAG棒，在光泵激勵下發(fā)射1.06微米波長的紅外激光。它通過按特定方向切割的碘酸鋰晶體時，出射的除了1.06微米的激光外，還有波長為0.53微米（為入射光波長的一半，即其頻率的一倍）的綠光?！狙菔緦嶒灐考す獗额l56.

相干條件：（1）頻率相同；（2）振動方向相同；（3）相位差恒定。兩列波干涉的一般規(guī)律留在后面光的干涉中再去分析。這里只研究一種特殊的、常見的干涉現(xiàn)象—駐波（standingwave）波疊加時，在空間出現(xiàn)穩(wěn)定的振動加強和減弱的分布叫波的干涉。二、波的干涉現(xiàn)象57.三、駐波就形成駐波，能夠傳播的波叫行波（travellingwave）1、駐波的形成和描述兩列相干的行波沿相反方向傳播而疊加時，它是一種常見的重要干涉現(xiàn)象?！狙菔緦嶒灐肯荫v波（橫駐波）氣體火焰駐波（縱駐波）58.駐波不傳播，各點做簡諧振動，振幅隨位置不同而不同。設兩列行波分別沿x軸的正向和反向傳播，在x=0處兩波的初相均為0：絕對值為振幅振動駐波的波函數(shù)：從波函數(shù)上看，為什么不傳播？59.2At=0y0x0t=T/8xx0t=T/20xt=T/4波節(jié)波腹/4-/4x02A-2A振動范圍/2xt=3T/8060.是一個線性的齊次方程，所以如果y1和y2是波動方程的解，那么它們的疊加y1+y2也一定是方程的解(波的疊加原理)。駐波是兩列行波的疊加，而行波是波動方程的解，所以駐波也是波動方程的解。由于波動方程波動方程雖由行波波函數(shù)得到，但其解并不限于行波。任何物理量，無論是位移，還是電場或磁場，只要它與坐標、時間的函數(shù)關系是波動方程的解，那么該物理量的運動形式就一定是波動，它可以是行波，也可以是駐波。61.各處不等，出現(xiàn)了波腹（振幅最大處）和波節(jié)。測波節(jié)間距可得行波波長。相鄰波節(jié)間距/2，（1）振幅：（2）位相：不傳播。駐波是分段的振動。兩相鄰波節(jié)間為一段，2、駐波的特點同一段振動相位相同；相鄰段振動相位相反。x00x62.波節(jié)（波腹）的兩邊，不發(fā)生能量交換。駐波相鄰的波節(jié)和波腹之間的/4區(qū)域，實際上構(gòu)成一個獨立的振動體系，它與外界不交換能量。能量只在/4區(qū)域內(nèi)流動。波節(jié)靜止波幅附近無形變總能流密度為但質(zhì)元間仍有能量交換。（3）能量：平均沒有能量的傳播，63.能量由波節(jié)向波腹流動瞬時位移為0，能量由波腹向波節(jié)流動勢能→動能動能最大。勢能為0，動能→勢能EpEpEkEpEpEk參考材料：“駐波能量流動特性”64.3、的情形：設嚴格的駐波行波仍可叫“駐波”，不過波節(jié)處有振動。4、駐波的界面情況0駐波z2z1x—特性阻抗界面上總是波節(jié)界面上總是波腹波疏波密介質(zhì)波密波疏介質(zhì)65.波腹位相不變波疏介質(zhì)波密介質(zhì)x駐波入射波和反射波的波形波節(jié)駐波位相突變波疏介質(zhì)波密介質(zhì)x“半波損失”half-waveloss

（z?。▃大）（z?。▃大）66.為什么會發(fā)生位相突變？0透射波y2反射波y1入射波y1z2z1x入射波反射波透射波適當選擇時間零點，各波波函數(shù)為67.（2）界面兩側(cè)應力相等（牛頓第三定律）（1）界面兩側(cè)質(zhì)元位移相同（接觸）[y1+y1]x=0=[y2]x=0（縱波）機械波垂直界面入射，有界面關系：

將y和E=u2代入界面關系，得：68.反射波和入射波引起界面質(zhì)點的振動同相。和同號，(波密波疏介質(zhì))：若反射波和入射波引起界面質(zhì)點的振動反相，位相突變。和反號，(波疏波密介質(zhì))：若透射波和入射波引起界面質(zhì)點的振動總是同相。和總是同號，69.平面駐波：提琴全息振型平面駐波“魚洗”之謎【演示實驗】魚洗（六教A區(qū)500號演示大廳）70.四、簡正模式

（normalmode）波在一定邊界內(nèi)傳播時就會形成各種駐波。如兩端固定的弦，L或—系統(tǒng)的固有頻率F—弦中的張力l

—弦的線密度波速形成駐波必須滿足以下條件：71.基頻n=1二次諧頻n=2三次諧頻n=3每種可能的穩(wěn)定振動方式稱作系統(tǒng)的一個簡正模式。兩端固定的弦：72.Ln=1,3…L=nn=1,3…L=n三次諧頻n=3n=3

三次諧頻邊界情況不同，簡正模式也不同：Ln=1

基頻1n基頻n=173.末端封閉的笛中的駐波末端開放的笛中的駐波【演示】圓環(huán)簡正模式氫原子中電子駐波74.一般地說，對于一個駐波體系存在無限多個本征頻率和簡正模式。在這一體系中形成的任何實際的振動，都可以看成是各種簡正模式的線性疊加，其中每一種簡正模式的位相和所占比例的大小，則由初始擾動的性質(zhì)決定。當周期性驅(qū)動力的頻率與駐波體系的某一簡正頻率相同時，就會使該頻率駐波的振幅變得最大，這種現(xiàn)象也稱為共振。利用共振方法可以測量空氣中的聲速。75.水槽插入兩端開口玻璃管，音叉置于管上端，音叉頻率為，管中空氣柱長度l通過水面高低調(diào)節(jié)。水面由管頂端下降到l=a時，聲強第一次達到最大;下降到l=d+a和l=2d+a時，聲強第二、三次最大。聲強出現(xiàn)極大，表示音叉頻率與管內(nèi)空氣柱固有頻率相同而發(fā)生共振。76.設＝1080Hz，d=15.3cm，則空氣中聲速為77.§2.8聲波*地震波*水波聲壓：（可正、可負）（soundpressure）聲壓振幅：聲強：（intensityofsound）標準聲強：這個聲強人能夠勉強聽到，稱為聞閾。對聲波，要求清楚如下概念：=1KHz（），78.聲強級：（soundintensitylevel）正常說話~60dB，噪聲>90dB，炮聲~120dB。每條曲線描繪的是相同響度下不同頻率的聲強級。聲響曲線聽覺界限頻率HzdB聲強級79.dBHz聲閾頻率語音范圍疼痛界限音樂范圍聽覺界限聲強級聲音范圍80.超聲波：>20KHz的聲波要求了解其應用：加濕器（演示實驗）聲致發(fā)光超聲探傷聲納（海底地形）超聲焊接、切割、手術(shù)B超【演示實驗】超聲噴泉81.聲致發(fā)光（清華物理系安宇）82.由于波源和觀察者的運動，而使觀測的頻率不同于波源頻率的現(xiàn)象?！?.9多普勒效應(Dopplereffect)一、機械波的多普勒效應設運動在波源S和觀測者R的連線方向上，以二者相向運動的方向為速度的正方向。vS

>0vR>0SR（相對介質(zhì)）（相對介質(zhì)）（波源頻率）（觀測頻率）【演示實驗】掄蜂鳴器u（波速）83.vS=0vRuvR

>0(R接近S)，vR

<0(R遠離S)，（1）vS

=0，vR

≠0單位時間內(nèi)接收波的個數(shù)：S··R·84.vS

S···RR（2）vR

=0，vS≠00RuTSvS

>0,vS

<0,vSTS·SR85.水波的多普勒效應（波源向右運動）86.（3）vR

≠

0，vS

≠0當vR

=vS

時，無相對運動：速度vR、vS

是相對介質(zhì)而言，并以相向為正。vS=0，vR≠0：vS≠0，vR＝0：87.【例】一靜止聲源S頻率S=300Hz，聲速u=330m/s，觀察者R以速度vR=60m/s向右運動，反射壁以v=100m/s的速度亦向右運動。解：R收到的聲源發(fā)射波的頻率：反射壁收到的聲源發(fā)射波的頻率：

求：R測得的拍頻B

=?

vvRRS*uSR收到的反射壁反射波的頻率：88.