數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)論文指導(dǎo) 初等模型分配問題

初等數(shù)學(xué)模型問題一：公平的席位分配問題公平的席位分配是人類社會(huì)中相當(dāng)普遍的一類權(quán)益分配問題，這個(gè)問題來源于美國眾議院議員在各州的名額分配問題。精選課件席位分配問題某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，問三系各有多少個(gè)席位？按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則表示某單位的席位數(shù)表示某單位的人數(shù)表示總?cè)藬?shù)表示總席位數(shù)1問題的提出精選課件20個(gè)席位的分配結(jié)果現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。10641064現(xiàn)象1

丙系雖少了6人，但席位仍為4個(gè)。（不公平！）精選課件為了在表決提案時(shí)可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個(gè)席位。21個(gè)席位的分配結(jié)果1173現(xiàn)象2

總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平！）慣例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？精選課件2建模分析目標(biāo)：建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)來衡量。精選課件一般地，當(dāng)席位分配公平精選課件但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來判斷。此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。C,D的不公平程度大為改善！精選課件2）相對(duì)不公平表示每個(gè)席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。則A吃虧,或?qū)是不公平的。定義“相對(duì)不公平”對(duì)A的相對(duì)不公平值；同理，可定義對(duì)B的相對(duì)不公平值為：精選課件對(duì)B的相對(duì)不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo)制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3建模模型1若A、B兩方已占有席位數(shù)為用相對(duì)不公平值討論當(dāng)席位增加1個(gè)時(shí)，應(yīng)該給A還是B方。不失一般性，有下面三種情形。精選課件情形1說明即使給A單位增加1席，仍對(duì)A不公平，所增這一席必須給A單位。情形2說明當(dāng)對(duì)A不公平時(shí)，給A單位增加1席，對(duì)B又不公平。計(jì)算對(duì)B的相對(duì)不公平值情形3說明當(dāng)對(duì)A不公平時(shí)，給B單位增加1席，對(duì)A不公平。計(jì)算對(duì)A的相對(duì)不公平值精選課件則這一席位給A單位，否則給B單位。結(jié)論：當(dāng)（*）成立時(shí)，增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給A單位，反之，應(yīng)分配給B單位。精選課件記則增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給Q值較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為Q值方法。若A、B兩方已占有席位數(shù)為4推廣有m方分配席位的情況設(shè)方人數(shù)為，已占有個(gè)席位，當(dāng)總席位增加1席時(shí)，計(jì)算則1席應(yīng)分給Q值最大的一方。從開始，即每方至少應(yīng)得到以1席，（如果有一方1席也分不到，則把它排除在外。）精選課件設(shè)有k個(gè)部門，每個(gè)部門的人數(shù)分別

為

,總?cè)藬?shù)N，待分配的席位為m，理想化的席位分配結(jié)果為,記

顯然，若全為整數(shù)時(shí)，應(yīng)有

當(dāng)不全為整數(shù)時(shí)，需要確定同時(shí)滿足下列公理的公平分配方案：模型2精選課件公理1、

，即

取

，其中

，

，

表示

的整數(shù)部分。公理2、，即總席位增加時(shí)，各個(gè)部門的席位數(shù)不會(huì)減少。公理1顯然滿足Young公理的公理IV（公平分?jǐn)傂裕?，公?顯然滿足Young公理的公理I（人口單調(diào)性）和公理III（名額單調(diào)性）精選課件設(shè)總?cè)藬?shù)為n，總席位數(shù)為m，第個(gè)部門的人數(shù)為，令稱其為對(duì)第個(gè)部門的絕對(duì)不公平值。令稱其為對(duì)第個(gè)部門的相對(duì)不公平值，或稱為相對(duì)尾數(shù)。精選課件由于人口數(shù)是整數(shù)，為使分配公平，需所有的

越小越好，所以公平的分配方案應(yīng)該是最大的

達(dá)到最小，亦即所有的達(dá)到最小。為方便起見，首先考慮只有兩個(gè)部門的情況，并且

，

和

不全是整數(shù)（實(shí)際上，它們同為整數(shù)或小數(shù)）。記，即為的小數(shù)部分。精選課件 定理、滿足公理1、2的分配方案為：(1)若

，且

，則取，（即“比例加慣例”的方法）。(2)若

，則取得結(jié)果同上.

(3)若

，則取精選課件按照定理，對(duì)三個(gè)部門，設(shè)全不為零（若有一個(gè)為零，實(shí)則按兩個(gè)部門進(jìn)行分配），可以做以下公平的分配精選課件當(dāng)時(shí)；按比例取整后，多余的席位分配給小數(shù)部分較大的部門（比例加慣例的方法）。當(dāng)時(shí)；按比例取整后，若多余一個(gè)席位，則分配給第一個(gè)部門，若多余兩個(gè)席位，則分配給第一個(gè)部門及第二、三部門中小數(shù)部分較大的部門。精選課件當(dāng)時(shí)

；按比例取整后，若多余一個(gè)席位，則分配給第一、二部門中小數(shù)部分較大的部門，若多余兩個(gè)席位，則分配給第一部門和第二部門。當(dāng)時(shí)

；按比例取整后，若多余一個(gè)席位，則分配給第一部門；若多余兩個(gè)席位，則分配給第一部門和第二部門。精選課件一般地，對(duì)個(gè)部門，設(shè)不全為零，且，則當(dāng)時(shí)，將剩余的個(gè)席位分配給第一至第個(gè)部門，當(dāng)時(shí)，將剩余的個(gè)席位分配給第一至第-1個(gè)部門及(較大的一個(gè)部門。精選課件X-表示相對(duì)尾數(shù)法分配結(jié)果，B-表示比例加慣例分配結(jié)果，Q-表示Q-值法分配結(jié)果，H-表示d’Hondt法（文[1]）分配結(jié)果精選課件5舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個(gè)席位，如何分配？按Q值方法：精選課件練習(xí)學(xué)校共1000學(xué)生，235人住在A樓，333人住在B樓，432住在C樓。學(xué)生要組織一個(gè)10人委員會(huì)，試用慣例分配方法，d’Hondt方法和Q值方法分配各