數(shù)學分析 第十章 無窮級數(shù)

第十章無窮級數(shù)精選課件§1無窮級數(shù)的基本概念1.無窮級數(shù)的概念精選課件2.無窮級數(shù)的收斂與發(fā)散給定級數(shù),將前項之和稱為的前項部分和,或簡稱部分和.精選課件定義.若的部分和序列,當時,有極限,則稱級數(shù)收斂,記稱為級數(shù)的和;否則稱發(fā)散.精選課件3.收斂的必要條件精選課件4.Cauchy收斂原理定理1.2.收斂的充要條件是:當時,對任意的自然數(shù),.精選課件例3.證明:發(fā)散.精選課件5.收斂級數(shù)的性質(zhì)定理1.3.若收斂,則收斂.注.反之不成立.精選課件定理1.4.若和都收斂,和分別為,則對任意實數(shù),也收斂,和為.精選課件思考.若收斂,發(fā)散,能否推出發(fā)散?若發(fā)散,也發(fā)散,能否推出發(fā)散?精選課件定理1.5.若存在,使得,則與同時收斂或同時發(fā)散.注.改動一個級數(shù)的有限項值,不改變級數(shù)的斂散性.精選課件定理1.6.若收斂,則在保持項的次序不變的條件下,任意加括號所形成的級數(shù)也收斂,且其和不變.注.收斂的級數(shù)可以任意加括號,但不能去括號.精選課件注.給定,生成級數(shù),得到它的部分和序列.給定,一定可以找到級數(shù),使得是的部分和序列.精選課件例6.討論等比級數(shù)的斂散性.精選課件§2正項級數(shù)通項非負的級數(shù)稱為正項級數(shù).設是正項級數(shù),.單調(diào)上升.要么有上界,要么.精選課件1.正項級數(shù)收斂的充要條件精選課件2.比較判別法定理2.1.設和是正項級數(shù),且,使得.則(1)如果收斂,那么收斂;(2)如果發(fā)散,那么發(fā)散.精選課件例2.證明:當時,發(fā)散;當時,收斂.精選課件思考題.證明:設是正項級數(shù),且單調(diào)下降則收斂的充要條件是:收斂.精選課件例3.討論下列級數(shù)的收斂性(1)(2)精選課件定理2.2.(比較判別法的極限形式)設和是正項級數(shù),且,又設.則有下列結(jié)論(1)當時,與同時收斂或同時發(fā)散;(2)當時,如果收斂,那么收斂;(3)當時,如果發(fā)散,那么發(fā)散.精選課件例4.討論的收斂性.精選課件3.Cauchy判別法定理2.3.設為正項級數(shù).(1)若存在自然數(shù)及,使得只要，則收斂;(2)若存在自然數(shù),使得只要,則發(fā)散.精選課件定理2.4.(Cauchy判別法的極限形式)設為正項級數(shù),且.則(1)當時,收斂;(2)當時,發(fā)散;(3)當時,不能由此法判別收斂性.精選課件例7.討論的收斂性.精選課件4.d’Alembert判別法定理2.5.設為正項級數(shù),且.(1)若存在自然數(shù)及,使得只要，則收斂;(2)若存在自然數(shù),使得只要,則發(fā)散.精選課件定理2.6.(d’Alembert判別法的極限形式)設為正項級數(shù),且,又設,.則(1)當時,收斂;(2)當時,發(fā)散;(3)當或時,不能由此法判別收斂性.精選課件推論.設為正項級數(shù),且,又設.則(1)當時,收斂;(2)當時,發(fā)散;(3)當時,不能由此法判別收斂性.精選課件例9.設,討論的收斂性.精選課件注.Cauchy判別法比d’Alembert判別法適用范圍廣.精選課件5.Raabe判別法定理2.7.設為正項級數(shù),且,又設.則(1)當時,收斂;(2)當時,發(fā)散;精選課件引理2.1.設,則存在,使得當時,精選課件5.Raabe判別法定理2.7.設為正項級數(shù),且,又設.則(1)當時,收斂;(2)當時,發(fā)散;精選課件注.當時,不能由此法判別收斂性.例如精選課件6.積分判別法定理2.8.設是正項級數(shù).若存在上連續(xù)非負單調(diào)遞減函數(shù),滿足則收斂的充要條件是:有界.精選課件§3任意項級數(shù)1.交錯級數(shù)

精選課件定理3.1.(Leibniz判別法)若滿足(1)(2)則(1)收斂,(2)余和的符號與第一項的符號相同,且精選課件注.滿足定理3.1中條件(1),(2)的級數(shù),稱為Leibniz型級數(shù).精選課件2.絕對收斂與條件收斂定義.若收斂,則稱絕對收斂.若收斂,但發(fā)散,則稱條件收斂.精選課件3.Abel判別法與Dirichlet判別法設有兩組數(shù)和.令則有Abel變換式注.Abel變換式也稱作分部求和式.精選課件引理3.1.(Abel引理)若單調(diào),又的部分和式有界,即,使得則精選課件定理3.2.(Dirichlet判別法)若(1)單調(diào),且;(2)的部分和有界,即,使得

則收斂.注.Leibniz判別法是Dirichlet判別法的特例.精選課件定理3.3.(Abel判別法)若(1)單調(diào),且有界,即,使得(2)收斂,則收斂.注.Abel判別法可由Dirichlet判別法推出.

精選課件例3.若單調(diào)趨于,證明(1),收斂.,都收斂.精選課件4.絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)的性質(zhì)給定.定義顯然和都是正項級數(shù),并有精選課件注.若收斂,則要么和同時收斂,要么和同時發(fā)散.精選課件命題3.1.(1)絕對收斂的充要條件是:和同時收斂,(2)若條件收斂,則和同時發(fā)散.精選課件定義.給定級數(shù).設是一一對應,即既是單射又是滿射.令,并令

稱為的一個重排級數(shù)或更序級數(shù).精選課件例5.給定,討論它的一個重排級數(shù)精選課件定理3.4.若絕對收斂,則它的任何一個重排級數(shù)也絕對收斂,且重排不改變原級數(shù)的和.精選課件定理3.5.(Riemann定理)若條件收斂,則,都存在的一個重排,使得收斂,且精選課件5.級數(shù)的乘法(1)正方形法(2)對角線法精選課件(1)正方形法精選課件(2)對角線法精選課件定理3.6.若與都絕對收斂,,,則由組成的級數(shù),以任意方式排列都絕對收斂,且和為.精選課件注.對按對角線法排列所得級數(shù),適當加上括號,得到級數(shù)其中,稱為和的Cauchy乘積.精選課件例7.求精選課件§4無窮乘積1.概念給定序列,稱作無窮乘積.它的前次之積稱作部分乘積.精選課件定義.設是的部分乘積.若有極限,且極限值,則稱收斂.記若無極限,或,則稱發(fā)散.精選課件注.為便于無窮乘積與對應級數(shù)的同一性,將也稱作發(fā)散.精選課件例3.討論收斂性.精選課件2.無窮乘積的性質(zhì)無窮乘積具有下列性質(zhì)(1)若收斂,則.(2)若收斂,則余積.精選課件(3)若和收斂,則和都收斂,并有精選課件注.由性質(zhì)(1),若收斂,則