2001年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文史財(cái)經(jīng)類)

絕密★啟用前2001年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試數(shù)學(xué)(文史財(cái)經(jīng)類)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至8頁。共150分，考試時(shí)間120分鐘第Ⅰ卷(選擇題共60分)注意事項(xiàng):1．答第Ⅰ卷前,考生務(wù)勢(shì)必自己的姓名、準(zhǔn)考據(jù)號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。2．每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案，不可以答在試題卷上。3．考試結(jié)束，監(jiān)考人將本試卷和答題卡一并回收。參照公式：三角函數(shù)的積化和差公式正棱臺(tái)、圓臺(tái)的側(cè)面積公式sincos1[sin()sin()]S臺(tái)側(cè)1(cc)l22cossin1)sin(此中c′、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，l表示斜[sin()]2高或母線長(zhǎng).coscos1[cos()cos(臺(tái)體的體積公式)]12V臺(tái)體sss)h(ssinsin1[cos()cos()]32此中s′、s分別表示上、下底面的面積，h表示高.一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1）tg300°+ctg405°的值為（A）1+3（B）1－3（C）―1―3（D）－1+3（2）過點(diǎn)A（1，―1）、B（―1，1）且圓心在直線x+y―2=0上的圓的方程是（A）(x3)2(y1)24（B）（C）(x1)2(y1)24（D）

(x3)2(y1)24(x1)2(y1)24（3）若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為3，則這個(gè)圓錐的全面積是（A）3π（B）33π（C）6π（D）9π（4）若定義在區(qū)間（―1，0）內(nèi)的函數(shù)f(x)log2(x1)滿足f(x)0,則a的取值范圍是（A）(0,1)（B）(0,1)（C）(1,)（D）(0,)222（5）已知復(fù)數(shù)z26i,則arg1是z（B）11（C）（D）56633（6）函數(shù)y211(x0)的反函數(shù)是（A）ylog21,x(1,2)（B）ylog21,x(1,2)x1x1（C）ylog21,x1,2（D）y1,x1,2xlog21x1（7）若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F1（1，0），F(xiàn)2（3，0），則其離心率為（A）3（B）2（C）1（D）14324（8）若04,sincosa,sincosb,則（A）ab（B）ab（C）ab1（D）ab2（9）在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB2BB1,則AB1與C1B所成的角的大小為（A）60°（B）90°（C）105°（D）75°（10）設(shè)f(x),g(x)都是單一函數(shù)，有以下四個(gè)命題：①若f(x)單一遞加,g(x)單一遞加,則f(x)g(x)單一遞加;②若f(x)單一遞加,g(x)單一遞減,則f(x)g(x)單一遞加;③若f(x)單一遞加,g(x)單一遞加,則f(x)g(x)單一遞減;④若f(x)單一遞減,g(x)單一遞減,則f(x)g(x)單一遞減;此中,正確的命題是（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④11）一間平房的屋頂猶如圖三種不一樣的蓋法：①單向傾斜;②雙向傾斜;③四向傾斜三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3①α,則②③若屋頂斜面與水平面所成的角都是（A）P3＞P2＞P1（B）P3＞P2＝P1（C）P3＝P2＞P1（D）P3＝P2＝P1（12）如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線注明的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)能夠經(jīng)過的最大信息量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳達(dá)信息，信息能夠分開沿不一樣的路線同時(shí)傳達(dá)，則單位時(shí)間內(nèi)傳達(dá)的最大信息量為（A）26（B）（C）20（D）19第Ⅱ卷(非選擇題共90分)注意事項(xiàng):1．第Ⅱ卷共6頁,用鋼筆或圓珠筆挺接答在試題卷中。2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚。題號(hào)二三總分181920211722分?jǐn)?shù)得分評(píng)卷人二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分，把答案填在題中橫線上。（13）(1x1)10的二項(xiàng)睜開式中x3的系數(shù)為.2（14）雙曲線x2y21的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線上，若PF1⊥PF2,則點(diǎn)P到x916軸的距離為.（15）設(shè)|an|是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和，若|Sn|是等差數(shù)列，則q=.（15）圓周上有2n個(gè)均分點(diǎn)（n>1）,以此中三個(gè)點(diǎn)為極點(diǎn)的直角三角形的個(gè)數(shù)為.三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。得分評(píng)卷人（17）（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)為a,4,3a,前n項(xiàng)和為SS=2550（Ⅰ）求a及k的值;（Ⅱ）求lin111()nS1S2S得分評(píng)卷人（18）（本小題滿分12分）如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=1.S2（Ⅰ）求四棱錐S—ABCD的體積；B（Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.CAD得分評(píng)卷人（19）（本小題滿分12分）已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積。得分評(píng)卷人（20）（本小題滿分12分）設(shè)拋物線y22pxp0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C(在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸,證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.得分評(píng)卷人（21）（本小題滿分12分）設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2，畫面的寬與高的比為λ（λ<1），畫面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，如何確立畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最??？得分評(píng)卷人（22）（本小題滿分14分）設(shè)（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象對(duì)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)隨意x1,x2∈[0，1]2都有f(x1x2)f(x1)f(x2).（Ⅰ）設(shè)f(1)2,求f(1),f(1);24（Ⅱ）證明f(x)是周期函數(shù)。絕密★啟用前2001年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試數(shù)學(xué)試題(文史財(cái)經(jīng)類)參照解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明:一、本解答指出了每題要觀察的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參照，如果考生的解法與本解答不一樣，可依據(jù)試題的主要觀察內(nèi)容比較評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，假如后繼部分的解答末改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超出該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；假如后繼部分的解答有校嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分。三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。一、選擇題：此題觀察基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每題5分，滿分60分。（1）B（2）C（3）A（4）A（5）D（6）A（7）C（8）A（9）B（10）C（11）D（12）D二、填空：此題觀察基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每題4分，滿分16分。（13）15（14）16（15）1（16）2n(n－1)5三、解答題（17）本小題觀察數(shù)列乞降以及極限的基本看法和運(yùn)算，觀察綜合分析的能力，滿分12分。解：（Ⅰ）設(shè)該等差數(shù)列為|an|，則a1=a,a2=4,a3=3a,S1=2550.由已知有a+3a=2×4,解得首項(xiàng)a1=a=2,公差d=a2－a1=22分代入公式S=k·a+k(k1)·d得112k·2+k(k1)·2=2550，2整理得k2+k－2550=0,解得k=50,k=－51(舍去).∴a=2,k=50.6分（Ⅱ）由Sn=n·a1+n(n1)·d得Sn=n(n+1),2∴11++111++1S1S2Sn1223n(n1)(11)(11)++（11)1223nn1119分n1∴l(xiāng)im(111)lim(11)1.12nS1S2Snnn1分（18）本小題觀察線面關(guān)系和棱錐體積計(jì)算，觀察空間想象能力和邏輯推理能力，滿分12分。解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面積是M底面=1(BC10.532分2AD)AB1,24∴四棱錐S—ABCD的體積是SV=1SAM底面B3CA113D34E=1.4（Ⅱ）延伸BA、CD訂交于點(diǎn)E，連接SE，則SE是所求二面角的棱。6分AD∥BC,BC=2AD,EA=AB=SA,∴SE⊥SB，SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SE是SC在面SEB上的射影，∴SC⊥SE，因此∠BSC是所求二面角的平面角.10分∵SB222,BC1,,SAABBCSBtgBSCBC2.SB2即所求二面角的正切值為

2.122分（19）本小題觀察三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)以及運(yùn)用三角形面積公式及余弦定理解三角形的方法，觀察運(yùn)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力，滿分12分。解：如圖，連接BD，則有四邊形ABCD的面積SSABDSCDB1ABADsinA2∵A+C=180°,∴sinA=sinC.S1(ABADBCCD)sinA21(2464)sinA16sin.2A由余弦定理，在△ABD中,

BCCDsinC.2ABD6分CBD2=AB2+AD2―2AB·AdcosA=22+42―2×2×4cosA=20―16cosA,在△CDB中,BD22222=CB+CD―2CB·CdcosC=6+4―2×6×4cosC=52―48cosC,9分20―16cosA=52―48cosC,∵cosC=―cosA,64cosA=―32,cosA=―1,2A=120°∴S=16sin120°=8310分（20）本小題觀察拋物線的看法和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力，滿分12分。y證明：由于拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F(p,0),A2因此經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為xmyp;4分Ox2F代入拋物線方程得CBy22pmyp20.若記A(x1,y1),B(x2,y2)則y1,y2是該方程的兩個(gè)根，因此y1y2p2.8分由于BC∥x軸,且點(diǎn)C在準(zhǔn)線xp上，因此點(diǎn)C的坐標(biāo)為(p,y2)，故直線CO的22斜率為ky22py1,py1x12即k也是直線OA的斜率，因此直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O12分（21）本小題主要觀察成立函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)最小值的方法和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)質(zhì)問題的能力，滿分12分。解：設(shè)畫面高為xcm，寬為2xcm則x=4840.設(shè)紙張面積為S，有S=（x+16）(x+10)=x2+(16+10)x+160,3分將x=2210代入上式，得S=5000+4410(5).6分當(dāng)85,即5(5時(shí)S獲得最小值.8分8此時(shí)，高：x484088cm,寬：58855cm,x8答：畫面高為88cm，寬為55cm時(shí)，能使所用紙張面積最小。12分（22）本小題主要觀察函數(shù)的看法、圖象，函數(shù)的奇偶性和周期性等基礎(chǔ)知識(shí)，觀察運(yùn)算能力和邏輯思想能力，滿分14分。（Ⅰ）解:由f(x1x2)f(x1)f(x2),x1,x2[0,1]知f(x)f(x)2f(x)0,x[0,1].2分22∵f(1)f(11)f(1)f(1)[f(1）]2，22