線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性

第三章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性

本章主要介紹定性分析方法，即對(duì)決定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)行為和綜合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有重要意義的關(guān)鍵性質(zhì)（如可控性、可觀測(cè)性、穩(wěn)定性等）進(jìn)行定性研究。在線性系統(tǒng)的定性分析中，一個(gè)很重要的內(nèi)容是關(guān)于系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性分析。系統(tǒng)的可控、可觀測(cè)性是由卡爾曼于60年代首先提出的，事后被證明這是系統(tǒng)的兩個(gè)基本結(jié)構(gòu)屬性。本章首先給出可控性、可觀測(cè)性的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，然后導(dǎo)出判別線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性的各種準(zhǔn)則，這些判別準(zhǔn)則無(wú)論在理論分析中還是在實(shí)際應(yīng)用中都是很有用的。1整理課件3.1可控性和可觀測(cè)性的定義

3.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)（※）3.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)（※）3.4對(duì)偶原理第三章線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性2整理課件3.1可控性和可觀測(cè)性的定義一．可控性與可觀測(cè)性的物理概念

系統(tǒng)的可控性和可觀性，就是指系統(tǒng)內(nèi)的所有狀態(tài)是否可以由輸入影響和是否可由輸出反映。如果系統(tǒng)內(nèi)部的所有狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)都可由輸入來(lái)影響和控制而由任意的初始狀態(tài)達(dá)到原點(diǎn)，則稱系統(tǒng)是可控的，或者更確切的說(shuō)是狀態(tài)可控的，否則就稱系統(tǒng)為不完全可控的，或簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)不可控。如果系統(tǒng)內(nèi)部所有狀態(tài)變量的任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由輸出完全反映，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)可觀測(cè)的，否則就稱系統(tǒng)為不完全可觀測(cè)的，或簡(jiǎn)稱為系統(tǒng)不可觀測(cè)。3整理課件例3-1：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為結(jié)構(gòu)圖表明：通過(guò)控制量u可以控制狀態(tài)x1和x2，所以系統(tǒng)完全能控；但輸出y只能反映狀態(tài)變量x2，不能反映狀態(tài)變量x1，所以系統(tǒng)不完全能觀測(cè)。圖3-1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖4整理課件二．可控性定義1．狀態(tài)可控考慮n維線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程如果對(duì)取定初始時(shí)刻

的一個(gè)非零初始狀態(tài)x(t0)=x0，存在一個(gè)時(shí)刻和一個(gè)無(wú)約束的容許控制u(t)，，使?fàn)顟B(tài)由x(t0)=x0轉(zhuǎn)移到t1時(shí)的x(t1)=0

，則稱此x0是在時(shí)刻t0可控的.5整理課件2．系統(tǒng)可控如果狀態(tài)空間中的所有非零狀態(tài)都是在t0（）時(shí)刻可控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0是完全可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0可控。若系統(tǒng)在所有時(shí)刻都是可控的，則稱系統(tǒng)是一致可控的。考慮n維線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程6整理課件3．系統(tǒng)不完全可控

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)取定初始時(shí)刻，如果狀態(tài)空間中存在一個(gè)或一些非零狀態(tài)在時(shí)刻t0是不可控的，則稱系統(tǒng)在時(shí)刻t0是不完全可控的，也稱為系統(tǒng)是不可控的。7整理課件4．狀態(tài)可達(dá)與系統(tǒng)可達(dá)

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)若存在能將狀態(tài)x(t0)=0轉(zhuǎn)移到x(tf)=xf的控制作用，則稱狀態(tài)xf是t0時(shí)刻可達(dá)的。若xf對(duì)所有時(shí)刻都是可達(dá)的，則稱狀態(tài)xf為完全可達(dá)到或一致可達(dá)。若系統(tǒng)對(duì)于狀態(tài)空間中的每一個(gè)狀態(tài)都是時(shí)刻t0可達(dá)的，則稱該系統(tǒng)是t0時(shí)刻完全可達(dá)的，或簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是t0時(shí)刻可達(dá)的。8整理課件三．可觀測(cè)性定義1．系統(tǒng)完全可觀測(cè)

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)如果取定初始時(shí)刻，存在一個(gè)有限時(shí)刻,對(duì)于所有，系統(tǒng)的輸出y(t)能唯一確定狀態(tài)向量的初值x(t0)，則稱系統(tǒng)在[t0,t1]內(nèi)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱可觀測(cè)。如果對(duì)于一切t1>t0系統(tǒng)都是可觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)在[t0,∞)內(nèi)是完全可觀測(cè)的。9整理課件2．系統(tǒng)不可觀測(cè)

對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)如果取定初始時(shí)刻，存在一個(gè)有限時(shí)刻,對(duì)于所有，系統(tǒng)的輸出y(t)不能唯一確定所有狀態(tài)的初值xi(t0)，i=0,1,…,n，即至少有一個(gè)狀態(tài)的初值不能被y(t)確定，則稱系統(tǒng)在[t0,t1]內(nèi)是不完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱不可觀測(cè)。

10整理課件3.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)(※)一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)（※）1．格拉姆矩陣判據(jù)線性定常系統(tǒng)

完全可控的充分必要條件是：存在一個(gè)有限時(shí)刻t1>0，使如下定義的格拉姆矩陣：為非奇異。注意：在應(yīng)用該判據(jù)時(shí)需計(jì)算eAt，這在A的維數(shù)較高時(shí)并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。11整理課件證：充分性：已知W(0,t1)為非奇異，欲證系統(tǒng)為完全可控，采用構(gòu)造法來(lái)證明。對(duì)任一非零初始狀態(tài)x0可構(gòu)造控制u(t)為：

則u(t)作用下系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在t1時(shí)刻的結(jié)果:這表明：對(duì)任一取定的初始狀態(tài)x0≠0

，都存在有限時(shí)刻t1>0和控制u(t)，使?fàn)顟B(tài)由x0轉(zhuǎn)移到t1時(shí)刻的狀態(tài)x(t1)=0

，根據(jù)定義可知系統(tǒng)為完全可控。12整理課件必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證W(0,t1)非奇異。反設(shè)W(0,t1)為奇異，即存在某個(gè)非零向量，使其中||·||為范數(shù)，故其必為非負(fù)。欲使上式成立，必有13整理課件因系統(tǒng)完全可控，根據(jù)定義對(duì)此非零向量應(yīng)有0此結(jié)果與假設(shè)相矛盾，即W(0,t1)為奇異的反設(shè)不成立。因此，若系統(tǒng)完全可控，W(0,t1)必為非奇異。

14整理課件2．秩判據(jù)（※）1）凱萊-哈密爾頓定理：設(shè)n階矩陣A的特征多項(xiàng)式為則矩陣A滿足其特征方程，即2）推論1：矩陣A的k(k≥n)次冪可表示為A的(n-1)階多項(xiàng)式注：此推論可用以簡(jiǎn)化矩陣冪的計(jì)算。15整理課件3）推論2：矩陣指數(shù)函數(shù)可表示為A的(n-1)階多項(xiàng)式例3-4：已知，計(jì)算A100=?解：A的特征多項(xiàng)式為：由凱萊-哈密頓定理，得到16整理課件故根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法有所以：

17整理課件4）秩判據(jù)（※）線性定常系統(tǒng)

完全可控的充分必要條件是

其中:n為矩陣A的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可控性判別陣。注：秩判據(jù)是一種比較方便的判別方法。18整理課件證明：充分性：已知rankS=n，欲證系統(tǒng)完全可控，采用反證法。反設(shè)系統(tǒng)為不完全可控，則有：

為奇異，這意味著存在某個(gè)非零n維常向量α使將上式求導(dǎo)直到(n-1)次，再在所得結(jié)果中令t=0，則可得到:19整理課件由于α≠0，所以上式意味著S為行線性相關(guān)的，即rankS<n。這顯然與已知rankS=n相矛盾。因而反設(shè)不成立，系統(tǒng)應(yīng)為完全可控，充分性得證。必要性：已知系統(tǒng)完全可控，欲證rankS=n，采用反證法。反設(shè)rankS<n，這意味著S為行線性相關(guān)，因此必存在一個(gè)非零n維常向量α

使成立。20整理課件（由凱萊—哈密爾頓定理）21整理課件因?yàn)橐阎痢?

，若上式成立，則格拉姆矩陣W(0,t1)為奇異，即系統(tǒng)為不完全可控，和已知條件相矛盾，所以反設(shè)不成立。于是有rankS=n，必要性得證。22整理課件例3-6：已知判斷其能控性。解：系統(tǒng)階次，確定出可控判別陣，所以系統(tǒng)為完全可控。

23整理課件例3-7：判斷下列系統(tǒng)的可控性解：矩陣S的第二行與第三行線性相關(guān)，故rankS=2＜3，系統(tǒng)不可控。24整理課件補(bǔ)充：可控性判別矩陣（※）：線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程其中：x為n維狀態(tài)向量；u為p維輸入向量；A和B分別為(n×n)和(n×p)常陣。該線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充要條件是：其中：注：該方法是秩判據(jù)的改進(jìn)，特別適用于多輸入系統(tǒng)，可減少不必要的計(jì)算。25整理課件例3-8：用可控性判別矩陣判別例3-7所示系統(tǒng)的可控性。

解：n=3,

系統(tǒng)輸入向量是2維的列向量，即p=2。顯見(jiàn)矩陣S3-2的第二行與第三行線性相關(guān)，故，系統(tǒng)不可控。26整理課件3．PBH秩判據(jù)（※）線性定常系統(tǒng)

完全可控的充分必要條件是：對(duì)矩陣A的所有特征值，

均成立，或等價(jià)地表示為注：當(dāng)系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)較高時(shí)，應(yīng)用秩判據(jù)可能不太方便，此時(shí)可考慮用PBH判據(jù)試一下。27整理課件證明：，為多項(xiàng)式矩陣，且對(duì)復(fù)數(shù)域上除λi以外的所有s都有det(sI-A)≠0，即rank[sI-A]=n，進(jìn)而有rank[sI-AB]=n，所以只要證明即可。必要性：系統(tǒng)完全可控，欲證上式成立，采用反證法。反設(shè)對(duì)某個(gè)λi

有rank[λiI–AB]<n，則意味著

[λiI–AB]為行線性相關(guān)。由此，必存在一個(gè)非零常向量α，使成立?？紤]到問(wèn)題的一般性，由上式可得到：28整理課件進(jìn)而可得:于是有因已知α≠0，所以欲使上式成立，必有這意味著系統(tǒng)不完全可控，顯然與已知條件相矛盾。因此，反設(shè)不成立，即rank[λiI–AB]=n成立。充分性：已知式rank[λiI–AB]=n成立，欲證系統(tǒng)完全可控。采用反證法：利用和上述相反的思路，即可證得充分性。29整理課件例3-9：已知線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為判斷系統(tǒng)的可控性。解：根據(jù)狀態(tài)方程可寫(xiě)出30整理課件特征方程：

解得A的特征值為：

1）當(dāng)時(shí)，有31整理課件2）當(dāng)時(shí)，有3）當(dāng)時(shí)，有所以系統(tǒng)是完全可控的。32整理課件4．PBH特征向量判據(jù)線性定常系統(tǒng)

完全可控的充分必要條件是：A不能有與B的所有列相正交的非零左特征向量。即對(duì)A的任一特征值λi，使同時(shí)滿足的特征向量。注：一般的說(shuō)，PHB特征向量判據(jù)主要用于理論分析中，特別是線性系統(tǒng)的復(fù)頻域分析中。33整理課件證明：必要性：已知系統(tǒng)完全可控，反設(shè)存在一個(gè)向量α≠0，使式成立，則有由于α≠0

，所以上式意味著S為行線性相關(guān)的，即rankS<n，即系統(tǒng)為不完全可控。與已知條件相矛盾，因而反設(shè)不成立，必要性得證。充分性：對(duì)充分性的證明也用反證法，可按與以上相反的思路來(lái)進(jìn)行，具體推證過(guò)程略去。34整理課件5．約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)1）對(duì)角規(guī)范型系統(tǒng)(無(wú)重特征值)可控性判別（※）

當(dāng)矩陣A的特征值為兩兩相異時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：其對(duì)角線規(guī)范型中，不包含元素全為零的行。35整理課件例3-12：已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為判斷系統(tǒng)的可控性。解：由于此規(guī)范型中不包含元素全為零的行，故系統(tǒng)完全可控。36整理課件2）約當(dāng)規(guī)范型系統(tǒng)（有重特征值）可控性判別

當(dāng)系統(tǒng)矩陣A有重特征值時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可控的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型中，中與同一特征值的各約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的各子塊的最后一行組成的矩陣是行線性無(wú)關(guān)的。37整理課件例3-13：已知約當(dāng)規(guī)范型系統(tǒng)如下：試判斷其可控性。解：，，均行線性無(wú)關(guān)，所以：系統(tǒng)完全可控。38整理課件例3-14：證明如下系統(tǒng)總是完全可控的。證明：，故完全可控。

該題說(shuō)明：可控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)完全可控。39整理課件二、輸出可控性1．輸出可控性定義

若在有限時(shí)間間隔[t0,t1]內(nèi)，存在無(wú)約束分段連續(xù)控制函數(shù)u(t)，，能使任意初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任意最終輸出y(t1)

，則稱此系統(tǒng)是輸出完全可控，簡(jiǎn)稱輸出可控。

40整理課件2．輸出可控性判據(jù)設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：則輸出可控的充要條件是：輸出可控性矩陣的秩等于輸出變量的維數(shù)q，即注意：狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個(gè)不同的概念，二者沒(méi)有什么必然聯(lián)系。41整理課件判斷系統(tǒng)的狀態(tài)可控性和輸出可控性。例3-15：已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為解：1）系統(tǒng)的狀態(tài)可控性矩陣為，狀態(tài)不完全可控

2）系統(tǒng)的輸出可控性矩陣為,系統(tǒng)輸出可控。42整理課件三線性時(shí)變系統(tǒng)的能控性判據(jù)1格拉姆矩陣判據(jù)線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻為完全能控的充要條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻，使如下定義的格拉姆矩陣非奇異。43整理課件2秩判據(jù)線性時(shí)變系統(tǒng)在時(shí)刻為完全能控的充分條件是，存在一個(gè)有限時(shí)刻，使下式成立44整理課件3.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)(※)一．線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)1.格拉姆矩陣判據(jù)

線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是，存在有限時(shí)刻t1＞0，使如下定義的格拉姆矩陣為非奇異。注意：在應(yīng)用該判據(jù)時(shí)需計(jì)算eAt，這在A的維數(shù)較高時(shí)并非易事，所以此判據(jù)主要用于理論分析中。45整理課件2.秩判據(jù)（※）

線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是:或其中：n是系統(tǒng)的維數(shù)，稱為系統(tǒng)的可觀測(cè)性判別陣，簡(jiǎn)稱可觀測(cè)性陣。46整理課件例3-16：判斷下列系統(tǒng)的可觀性：(1)

解：(1)

系統(tǒng)不完全可觀測(cè)(2)

(2)系統(tǒng)完全可觀測(cè)47整理課件例3-17：證明如下系統(tǒng)總是完全可觀測(cè)的。證明：系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。

該題說(shuō)明：可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。48整理課件補(bǔ)充：可觀測(cè)性判別矩陣（※）線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程其中：x為n維狀態(tài)向量；y為q維輸出向量；A和C分別為(n×n)和(q×n)常陣。該線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充要條件是：其中：

適用于多輸出系統(tǒng)49整理課件例3-18：判斷例3-16所示系統(tǒng)2）的可觀性。解：系統(tǒng)輸出向量是2維的列向量，即q=2。故，系統(tǒng)完全可觀測(cè)。50整理課件3.PBH秩判據(jù)（※）

線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：對(duì)矩陣A的所有特征值，均有成立。或等價(jià)地表示為51整理課件4.PBH特征向量判據(jù)

線性定常系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：A沒(méi)有與C的所有行相正交的非零右特征向量。即對(duì)A的任一特征值，使同時(shí)滿足的特征向量。注：PHB特征向量判據(jù)主要用于理論分析中。52整理課件5.約當(dāng)規(guī)范型判據(jù)1）對(duì)角規(guī)范型系統(tǒng)(無(wú)重特征值)可觀測(cè)性判別（※）

當(dāng)矩陣A的特征值為兩兩相異時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：其對(duì)角線規(guī)范型中，不包含元素全為零的列。53整理課件例3-19：已知線性定常系統(tǒng)的對(duì)角線規(guī)范型為判斷系統(tǒng)的可觀測(cè)性。解：由于此規(guī)范型中不包含元素全為零的列，故系統(tǒng)完全可觀測(cè)。54整理課件2）約當(dāng)規(guī)范型系統(tǒng)(有重特征值)可觀測(cè)性判別

當(dāng)系統(tǒng)矩陣A有重特征值時(shí)，線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全可觀測(cè)的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約當(dāng)規(guī)范型中，中與同一特征值的各約當(dāng)塊對(duì)應(yīng)的各子塊的第一列組成的矩陣是列線性無(wú)關(guān)的。55整理課件例3-20：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)如下：試判斷其可觀測(cè)性。解：

所以：系統(tǒng)完全可觀測(cè)。是列線性無(wú)關(guān)的；是列線性無(wú)關(guān)的；56整理課件二．子系統(tǒng)組合的可控性和可觀測(cè)性（補(bǔ)充）

完全可控且完全可觀測(cè)的子系統(tǒng)組合后不一定保持