自動控制04c根軌跡繪制的基本法則講課稿

自動控制04c根軌跡繪制的基本法則當時，可得所以根軌跡必終于開環(huán)零點。實際系統(tǒng)中，，因此有條根軌跡的終點將在無窮遠處。的確，當時，具有有限值的零點為有限零點，處于無窮遠處的零點叫無限零點,則根軌跡必終于開環(huán)零點。這時，開環(huán)零點數(shù)和開環(huán)極點數(shù)相等。法則2根軌跡的連續(xù)性與對稱性：根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線。

法則3根軌跡的漸近線：當開環(huán)有限極點數(shù)大于有限零點數(shù)m時,有條根軌跡分支沿著與實軸交角為交點為的一組漸近線趨向無窮遠處，且有

和證明：漸近線就是s值很大時的根軌跡，因此漸近線也一定對稱于實軸。將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成多項式比值形式，得式中

，當時，上式可近似為令得漸近線方程

→根據(jù)二項式定理

當時，近似有

→→

，

→

舉例說明例1設控制系統(tǒng)如圖4-5所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

試根據(jù)已介紹的基本法則，確定繪制根軌跡的有關數(shù)據(jù)。解：將開環(huán)零點、極點標注在s平面的直角坐標系上，以“×”表示開環(huán)極點，以“○”表示開環(huán)零點。在根軌跡繪制過程中，由于需要對相角和模值進行圖解測量，所以橫坐標與縱坐標必須采用相同的比例尺。

由法則1，根軌跡起于的極點，和，終于的有限零點以及無窮遠處。由法則2，根軌跡的分支數(shù)有4條，它們是連續(xù)的且對稱于實軸。

由法則3，有條根軌跡漸近線，它們的交點為各漸近線與實軸的交角分別為以上交角可用量角器s平面上繪出，或者用

算出各漸近線與虛軸的交點來決定。

法則4根軌跡在實軸上的分布實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。共軛復數(shù)的開環(huán)零點、極點對確定實軸上的根軌跡無影響。

證明：如下圖所示，成對出現(xiàn)的開環(huán)共軛復數(shù)零點或極點對實軸上任一試探點s1構成的兩向量的相角之和在任何情況下都等于0或360o，即s1左方實軸上任一開環(huán)零點或極點對該點構成的向量的相角為0o

s1右方實軸上任一開環(huán)零點或極點對該點構成的向量的相角為180o

180o的奇數(shù)滿足根軌跡方程的相角條件。故實軸上的點若在根軌跡上，其右方實軸上的開環(huán)零點和極點綜合必為奇數(shù)。

舉例說明例2設系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

試求實軸上的根軌跡。

解系統(tǒng)的開環(huán)零點為，開環(huán)極點為-1，-5，-20以及原點（兩重根）。如圖所示。

區(qū)間[-20，-5]右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為5，區(qū)間[-1，-0.5]右方的開環(huán)零點數(shù)和極點數(shù)總和為3。故實軸上根軌跡在上述區(qū)間內(nèi)。當K*從零變到無窮大時，根軌跡可能出現(xiàn)先會合后分離，這樣的點稱分離點。分離點對應閉環(huán)重極點，也就是閉環(huán)特征式的重根。顯然，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)極點之間一定有分離點，因為任何一條根軌跡不可能開始于一個開環(huán)極點終止于另一個開環(huán)極點。同理，位于實軸上的兩個相鄰的開環(huán)零點之間也一定有分離點。當然，分離點也可以是復數(shù)，兩個相鄰的開環(huán)復極點（或零點）之間可能有分離點，對實際系統(tǒng)，依據(jù)規(guī)則1到4一般就能確定有無分離點。法則5根軌跡的分離點和分離角分離點的概念：若干根軌跡在復平面上的某一點相遇后又分開，稱該點為分離點；分離角定義為根軌跡進入分離點的切線方向與離開分離點的切線方向之間的夾角。

實軸上分離點的位置可用重根法和極值法求得。

分離點的坐標d是如下方程的解，分離角為

（4-20）

必須說明的是，方程只是必要條件而非充分條件，也就是說它的解不一定是分離點，是否是分離點還要看其它規(guī)則。1）重根法

則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式可寫為

設且一般的，如果實軸上兩相鄰開環(huán)極點之間有根軌跡，則這兩相鄰極點之間必有分離點；如果實軸上相鄰開環(huán)零點（其中一個可為無窮遠零點）之間有根軌跡，則這兩相鄰零點之間必有分離點。如果實軸上根軌跡在開環(huán)零點與極點之間，則它們中可能有分離點，也可能沒有分離點。

聯(lián)立二式，消去K*，得：

從這個公式中解得的s就是所求的重根點，也就是分離點

2）極值法由圖4-8可知，就實軸根軌跡部分而言，當K*=0時，軌跡從－P1、－P2出發(fā)，隨著K*的增大，兩支會合于A點，此時的K*是最大值（因為K*再大，軌跡已離開實軸了）。同理，對－∞～－Z這段軌跡來說，分離點B對應著K*的最小值。因此可以用求極值的方法求取分離點。由得因而若令K*=0，既上式分子為0，其結果與重根法結果相同圖4-8分離點示意圖由重根法和極值法得求解分離點的另外一個公式：例3設控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求根軌跡在實軸上的分離點。解：1.用重根法本題中故代入有解之得本題的實軸根軌跡區(qū)間為和，故分離點只有一個。因s2不在根軌跡區(qū)間，所以分離點必落在s1處。例4已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制系統(tǒng)的根軌跡。

解

令開環(huán)傳遞函數(shù)的分母為零，得三個開環(huán)極點的值

1、根軌跡的起點和終點：起于三個開環(huán)極點終點均為無窮遠處。

2、根軌跡的分支數(shù)等于特征方程式的階次，即3支。

3、根軌跡的漸近線：有條漸近線，它們在實軸上的交點坐標為

各漸近線與實軸正方向的夾角分別是

根據(jù)公式

4、實軸上的根軌跡：（），（－1，0）。

5、根軌跡與實軸的分離點坐標

根據(jù)公式

從而得

→

→

→

由第4點知不是根軌跡上的點，故舍去。因此我們可最后畫出根軌跡如圖4-9所示。

圖4-9根軌跡圖圖4-10根軌跡的起始角與終止角法則6根軌跡的起始角與終止角:根軌跡離開開環(huán)復數(shù)極點處的切線方向與正實軸方向的夾角,稱為起始角,以表示，見圖4-10；根軌跡進入開環(huán)復數(shù)零點處的切線方向與正實軸方向的夾角，稱為終止角，以表示，見圖4-10在圖4-10所示的根軌跡上取一實驗點，使無限地靠近開環(huán)復數(shù)極點,即認為,則這時，依據(jù)相角條件有

=

→

→

同理可得

圖4-11終止角的求取歸納得求起始角和終止角的一般公式：

(4-23)，(4-24)

舉例說明

例5已知負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制系統(tǒng)的根軌跡。

解令，得開環(huán)極點；令開環(huán)傳遞函數(shù)的分子為零，得系統(tǒng)的開環(huán)零點1、根軌跡分支數(shù)為2；

2、二條根軌跡的起點分別為（）和，它們的終點為和無窮遠處。

3、根軌跡的漸近線：由于，所以系統(tǒng)只有一條漸近線，它就是負實軸。

4、實軸上的根軌跡：（）；

5、根軌跡與實軸分離點坐標

得

為根軌跡與實軸的分離點。

6、求起始角

=→

從而可畫出如圖4-12所示的根軌跡。

圖4-12法則7根軌跡與虛軸的交點：若根軌跡與虛軸相交，則交點上的值和值可用勞斯判據(jù)確定，也可令閉環(huán)特征方程中的然后分別令其實部和虛部為零而求得。

證明：若根軌跡與虛軸相交，則表示閉環(huán)系統(tǒng)存在純虛根，這意味著的數(shù)值使閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此，令勞斯表第一列中包含的項為零，即可確定根軌跡與虛軸交點上的值。此

外，因為一對純虛根是數(shù)值相同但符號相異的根，所以利用勞斯表中行的系數(shù)構成輔助方程，必可解出純虛根的數(shù)值，這一數(shù)值就是根軌跡與虛軸相交的值。如果根軌跡與正虛軸（或負虛軸）有一個以上的交點，應采用勞斯表中大于2的偶次方行的系數(shù)構造輔助方程。確定根軌跡與虛軸交點處參數(shù)的另一種方法，是將代入閉環(huán)特征方程，得到

令上述方程的實部和虛部分別為零，有

和

從而可求得

值和值。

解

控制系統(tǒng)的特征方程是

例6求例3系統(tǒng)根軌跡與虛軸交點的坐標及臨界參數(shù)值Kc將代入上式，得

→

→根軌跡與虛軸的交點坐標為

將的值代入實部方程得

當時，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。

法則8根之和。系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程在n＞m的一般情況下可以有不同形式的表示式中si為閉環(huán)特征根。

當n－m≥2時，開環(huán)n個極點之和總是等于閉環(huán)特征方程n個根之和。

所以當開環(huán)增益K增大時，若閉環(huán)某些根在s平面上向左移動，則另一部分根必向右移動。此法則用于判斷根軌跡的走向。

二、閉環(huán)極點的確定。設控制系統(tǒng)特征方程式n個根為，則有→

對于穩(wěn)定的控制系統(tǒng)有

例7已知例3所示系統(tǒng)的根軌跡與虛軸相交時兩個閉環(huán)極點為，試確定與之對應的第三個閉環(huán)極點及臨界增益Kc

解

已知系統(tǒng)的特征方程為

根據(jù)方程根的和與系數(shù)的關系

可得

→

三、放大倍數(shù)的求?。?/p>

根軌跡增益與開環(huán)放大倍數(shù)的關系

0型系統(tǒng)：Ⅰ型系統(tǒng)：

Ⅱ型系統(tǒng)：

例8求例3所示系統(tǒng)的臨界開環(huán)放大倍數(shù)

解

已知：它對應Ⅰ型系統(tǒng),又

則

例9負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試繪制系統(tǒng)的根軌跡。

解

令可解得開環(huán)極點為

，，

1、根軌跡的分支數(shù)為4；

2、四條根軌跡的起點分別為終止于無窮遠處；

3、根軌跡的漸近線：根軌跡有四條漸近線，它們在實軸上的交點坐標是

漸近線與實軸正方向的夾角分別為

4、實軸上的根軌跡：（）；

5、根軌跡與實軸的分離點坐標

得

6、根軌跡的起始角

=7、根軌跡與虛軸的交點

根據(jù)公式

得方程組

得

及

該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)，則

根據(jù)如上分析和計算，可繪出系統(tǒng)的根軌跡如圖4-12.

8、閉環(huán)極點的確定

系統(tǒng)的特征方程為

得

圖4-12根軌跡圖在研究控制系統(tǒng)時，常常會碰到一種情況，就是系統(tǒng)僅具有兩個開環(huán)極點和一個開環(huán)零點。這時根軌跡有可能是直線，亦有可能是圓弧?？梢宰C明，若根軌跡離開實軸，必然是沿著圓弧移動。

四、某些特殊控制系統(tǒng)根軌跡的繪制

證明：設控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

零、極點的分布如右圖所示

取一試探點s，若s點在根軌跡上，則應滿足相角條件，即用代入上式，得

若幅角改用反正切表示，則

所以

式子左邊利用反三角函數(shù)的恒等式關系，得

兩邊取正切后可得

化簡上式得

式子兩邊加上項，則有

→

上式是圓的方程，