2021-2022學(xué)年江西省吉安市井岡山學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年江西省吉安市井岡山學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)==，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.設(shè)函數(shù),若存在區(qū)間,使在上的值域是,則的取值范圍是(

) A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知全集為，集合，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C4.在中，“”是“是鈍角三角形”的（）.A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A5.設(shè)集合，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不是充分條件也不是必要條件參考答案：A6.若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解,則a的取值范圍是

(

)A.

B.C.

D.參考答案：A略7.下列各組集合中，表示同一集合的是（

）A.， B.，C.， D.，參考答案：B【分析】根據(jù)集合相等的要求，對四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)中，，，集合、都是點(diǎn)集，但集合里的元素是點(diǎn)，集合里的元素是點(diǎn)，所以集合、不是同一集合；B選項(xiàng)中，集合、都是數(shù)集，并且它們的元素都相同，所以時(shí)同一集合；C選項(xiàng)中，集合是點(diǎn)集、集合是數(shù)集，所以集合、不是同一集合；D選項(xiàng)中，集合數(shù)集、集合是點(diǎn)集，集合、不是同一集合.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查相同集合的判斷，屬于簡單題.8.若命題：，，則該命題的否定是（

）A.， B.，C.， D.，參考答案：C【分析】根據(jù)全稱與存在性命題互為否定的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)全稱與存在性命題的關(guān)系，可得命題：，，則該命題的否定是“，”.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有一個(gè)量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題和存在性命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9.若函數(shù)f（x）=（x2﹣cx+5）ex在區(qū)間[，4]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是（）A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，4] C．（﹣∞，8] D．[﹣2，4]參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．分析：若函數(shù)f（x）=（x2﹣cx+5）ex在區(qū)間[，4]上單調(diào)遞增，則f′（x）=[x2+（2﹣c）x+（5﹣c）]ex≥0在區(qū)間[，4]上恒成立，即c≤在區(qū)間[，4]上恒成立，令g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的最小值，可得答案．解：若函數(shù)f（x）=（x2﹣cx+5）ex在區(qū)間[，4]上單調(diào)遞增，則f′（x）=[x2+（2﹣c）x+（5﹣c）]ex≥0在區(qū)間[，4]上恒成立，即x2+（2﹣c）x+（5﹣c）≥0在區(qū)間[，4]上恒成立，即c≤在區(qū)間[，4]上恒成立，令g（x）=，則g′（x）=，令g′（x）=0，則x=1，或﹣3，當(dāng)x∈[，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（1，4]時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；故當(dāng)x=1時(shí)，g（x）取最小值4，故c∈（﹣∞，4]，故選：B【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，恒成立問題，難度中檔．10.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)滿足其中，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B試題分析：由題意知，因此，，得，令，得或，由圖知，令，得或，，，故答案為B考點(diǎn)：1、函數(shù)的圖象；2、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點(diǎn)A（1，3），則b的值為．參考答案：3【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題．【分析】由于切點(diǎn)在直線與曲線上，將切點(diǎn)的坐標(biāo)代入兩個(gè)方程，得到關(guān)于a，b，k的方程，再求出在點(diǎn)（1，3）處的切線的斜率的值，即利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再列出一個(gè)等式，最后解方程組即可得．從而問題解決．【解答】解：∵直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點(diǎn)A（1，3），∴…①又∵y=x3+ax+b，∴y'=3x2+ax，當(dāng)x=1時(shí)，y'=3+a得切線的斜率為3+a，所以k=3+a；…②∴由①②得：b=3．故答案為：3．【點(diǎn)評】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．12.現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200g,需將它制成工業(yè)生產(chǎn)上需要的含鹽5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食鹽水,設(shè)需要加入4%的食鹽水xg,則x的取值范圍是

參考答案：(100,400)13.定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在上的解析式為，則參考答案：略14.數(shù)列的前項(xiàng)和，則使得的最大整數(shù)的值是.參考答案：415.對于同一平面的單位向量若與的夾角為則的最大值是

.參考答案：方法一：在半徑為的圓中，以圓心為起點(diǎn)構(gòu)造單位向量，并滿足，分別考察向量，和的幾何意義，利用平幾知識可得最大值為.方法二：，注意到，都是相互獨(dú)立的單位向量，所以的最小值為，所以最大值為.方法三：，仿方法一可得的最小值為.16.若二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______________.參考答案：17.已知實(shí)數(shù)滿足，若的最大值為3＋9，最小值為3－3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是＿＿＿＿參考答案：[-1,1]三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(14分)如圖,在直三棱柱中,，分別是的中點(diǎn)，且.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：平面.參考答案：證明:(Ⅰ)連接交于,連接.∵分別是的中點(diǎn)，∴∥且=,∴四邊形是矩形.∴是的中點(diǎn)…………(3分)又∵是的中點(diǎn),∴∥…………(5分)則由,,得∥…(7分)(注:利用面面平行來證明的,類似給分)(Ⅱ)∵在直三棱柱中，⊥底面,∴⊥.又∵,即⊥,∴⊥面………(9分)而面,∴⊥…………(12分)又,∴平面………(14分)19.（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

設(shè)函數(shù)，（Ⅰ）若,求的解集;（Ⅱ）若對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）若，則可化為……1分

法1：即或………3分

解得…………4分

所以的解集為……………5分法2：即……………3分解得……………4分

所以的解集為………………5分法3：即………………………3分即解得…………………4分

所以的解集為………………5分（Ⅱ）法1：對恒成立即對恒成立……7分又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增…8分

所以解得…………9分所以實(shí)數(shù)的取值范圍為…………10分

法2：對恒成立即對恒成立等價(jià)于對恒成立………7分即對恒成立………………8分所以…………9分所以實(shí)數(shù)的取值范圍為………………10分注：如如下所示的解答過程，則扣2分。對恒成立即對恒成立等價(jià)于在上單調(diào)遞增

所以解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為20.（本小題滿分12分）已知等比數(shù)列中，，公比。（Ⅰ）數(shù)列的前項(xiàng)和，求；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。參考答案：解：（Ⅰ）等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比………（1分）

=………（5分）（Ⅱ）

=………（6分）

………（9分）

=………（11分）所以數(shù)列的通項(xiàng)公式………（12分21.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：（t為參數(shù)，），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：.（1）試將曲線C1與C2化為直角坐標(biāo)系xOy中的普通方程，并指出兩曲線有公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，兩曲線相交于A、B兩點(diǎn)，求.參考答案：（1）曲線：，消去參數(shù)可得普通方程為.由，得.故曲線：化為平面直角坐標(biāo)系中的普通方程為.當(dāng)兩曲線有公共點(diǎn)時(shí)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，曲線：，即，聯(lián)立方程，消去，得兩曲線交點(diǎn)，所在直線方程為.曲線的圓心到直線的距離為，所以.22.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率e=，過點(diǎn)A（0，﹣b）和B（a，0）的直線與原點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)F1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F2作直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，求△PQF1的內(nèi)切圓半徑r的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（1）設(shè)出直線的方程，利用直線的截距式寫出直線的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a，b，c的等式，再利用橢圓的離心率公式得到關(guān)于a，b，c的方程組，求出a，b，c的值即得到橢圓的方程．（2）設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到關(guān)于交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，寫出△PQF1的面積并求出最大值，再將面