2021-2022學(xué)年江西省吉安市尚賢中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021-2022學(xué)年江西省吉安市尚賢中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)，下列關(guān)于的說(shuō)法正確的是（）（A）圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱

（B）圖象關(guān)于軸對(duì)稱（C）在區(qū)間單調(diào)遞增

（D）在單調(diào)遞減參考答案：C略2.已知集合（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.如圖程序框圖的算法思路源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中的“輾轉(zhuǎn)相除法”，執(zhí)行該程序框圖（圖中“mMODn”表示m除以n的余數(shù)），若輸入的m，n分別為495，135，則輸出的m=（）A．0 B．5 C．45 D．90參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量m的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：第一次執(zhí)行循環(huán)體，r=90，m=135，n=90，不滿足退出循環(huán)的條件；第二次執(zhí)行循環(huán)體，r=0，m=45，n=0，滿足退出循環(huán)的條件；故輸出的m值為45，故選：C4.已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，一1），則與向量的方向相反的單位向量是（）A、（－，）B、（－，）C、（，－）D、（，－）參考答案：A

【知識(shí)點(diǎn)】單位向量F1解析：=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5．∴與向量的方向相反的單位向量．故選：A．【思路點(diǎn)撥】利用與向量的方向相反的單位向量即可得出．5.已知函數(shù)f（x）=lgx+（a﹣2）x﹣2a+4（a＞0），若有且僅有兩個(gè)整數(shù)x1，x2使得f（x1）＞0，f（x2）＞0，則a的取值范圍是（）A．（0，2﹣lg3] B．（2﹣1g3，2﹣lg2] C．（2﹣lg2，2） D．（2﹣lg3，2]參考答案：A6.已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象A.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于直線對(duì)稱C.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱參考答案：B7.已知P是棱長(zhǎng)為1的正方體的表面上的動(dòng)點(diǎn)，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是

（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略8.下列函數(shù)在為減函數(shù)的是A.

B.

C.

D.參考答案：答案：D9.已知a,b是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，若滿足，則等于（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A10.A、B兩點(diǎn)在半徑為2的球面上,且以線段AB為直徑的小圓周長(zhǎng)為2π,則A、B兩點(diǎn)間的球面距離為A.π

B.2π

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.符號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，，定義函數(shù)．給出下列四個(gè)命題：①函數(shù)的定義域是R，值域?yàn)?；②方程有無(wú)數(shù)個(gè)解;③函數(shù)是周期函數(shù)；④函數(shù)是增函數(shù)．其中正確命題的序號(hào)有 .參考答案：12.已知變量滿足約束條件則的最小值為_(kāi)__________．參考答案：－213.若，則___________參考答案：解析:令x=1得…………①，令x=-1得…………②，由①②聯(lián)立，可得，

∴14.lg5lg2+lg22﹣lg2=

．參考答案：0考點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．解答： 解：lg5lg2+lg22﹣lg2=lg2（lg5+lg2）﹣lg2=lg2﹣lg2=0．故答案為：0．點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查．15.已知圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=1，則直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為

．參考答案：（﹣1，1），（1，1）【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】計(jì)算題；方程思想；分析法；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】求出圓的普通方程，直線的普通方程，然后聯(lián)立方程組求解即可．【解答】解：圓C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），則圓的普通方程為：x2+（y﹣1）2=1，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=1，普通方程為：y=1．則，解得或，∴直線l與圓C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為（﹣1，1），（1，1）．故答案為：（﹣1，1），（1，1）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的參數(shù)方程以及直線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力．16.已知某算法的程序框圖如圖所示，則輸出的S的值是 ____.參考答案：略17.若數(shù)列的前項(xiàng)和，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為 參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知?jiǎng)訄AP過(guò)定點(diǎn)A（﹣3，0），且與圓B：（x﹣3）2+y2=64相切，點(diǎn)P的軌跡為曲線C；設(shè)Q為曲線C上（不在x軸上）的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作OQ的平行線交曲線C于M，N兩點(diǎn)．（Ⅰ）求曲線C的方程；（Ⅱ）是否存在常數(shù)λ，使?=λ2總成立，若存在，求λ；若不存在，說(shuō)明理由；（Ⅲ）求△MNQ的面積S的最大值．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；軌跡方程．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A（﹣3，0）和B（3，0）距離之和等于定圓B的半徑，由此能求出曲線C的方程．（Ⅱ）設(shè)直線OQ：x=my，直線MN：x=my﹣3，M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），聯(lián)立方程組，得：（7m2+16）y2﹣42my﹣49=0，由此能求出存在符合條件的常數(shù)λ．（Ⅲ）由MN∥OQ，知S=S△MNQ=S△MNO=|OA|?|y1﹣y2|=|y1﹣y2|，由此利用均值不等式能求出最大值．解答： 解：（Ⅰ）∵動(dòng)圓P過(guò)定點(diǎn)A（﹣3，0），且與圓B：（x﹣3）2+y2=64相切，∴點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A（﹣3，0）和B（3，0）距離之和等于定圓B的半徑，∴|PA|+|PB|=8，∴點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，半長(zhǎng)軸為4的橢圓，∴曲線C的方程為：．（Ⅱ）∵Q不在x軸上，∴設(shè)直線OQ：x=my，∵過(guò)點(diǎn)A作OQ的平行線交曲線C于M，N兩點(diǎn)，∴直線MN：x=my﹣3，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），則，，聯(lián)立方程組，消去x，得：（7m2+16）y2﹣42my﹣49=0，∴y1+y2=，，x1x2=（my1﹣3）（my2﹣3）=m2y1y2﹣3m（y1+y2）+9，x1+x2=m（y1+y2）﹣6，∴=（x1+3）?（x2+3）+y1y=x1x2+3（x1+x2）+9+y1y2=（m2+1）y1y2=﹣，聯(lián)立方程組，消去x，得，y3為其一根，∴=（m2+1）=，∵?=λ，∴﹣49=112λ，解得，∴存在符合條件的常數(shù)λ，．（Ⅲ）由（Ⅱ）知（7m2+16）y2﹣42my﹣49=0，y1+y2=，，∵M(jìn)N∥OQ，∴S=S△MNQ=S△MNO=|OA|?|y1﹣y2|=|y1﹣y2|=?=?==≤2．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴所求最大值為2．點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的直線是副產(chǎn)品存在，考查最大值的求法，是中檔題．19.[選修4－5：不等式選講]（10分）設(shè)函數(shù)f(x)=5－|x+a|－|x－2|．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)≥0的解集；（2）若f(x)≤1，求a的取值范圍．參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，可得的解集為．（2）等價(jià)于．而，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故等價(jià)于．由可得或，所以a的取值范圍是．20.（本小題滿分12分）已知，，函數(shù),其中,若相鄰兩對(duì)稱軸間的距離大于等于(Ⅰ)求的取值范圍；(Ⅱ)在△ABC中,分別是角的對(duì)邊,,當(dāng)最大時(shí),,求△ABC的面積．參考答案：(2)由(1)知的最大值為,

而,所以,即由余弦定理得,所以,又聯(lián)立解得

所以21.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側(cè)棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且．（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

參考答案：證法一：設(shè)O為AB的中點(diǎn)，連結(jié)A1O，

∵AF=AB，O為AB的中點(diǎn)

∴F為AO的中點(diǎn)，又E為AA1的中點(diǎn)

∴EF∥A1O

又∵D為A1B1的中點(diǎn)，O為AB的中點(diǎn)

∴A1D=OB

又A1D∥OB

∴四邊形A1DBO為平行四邊形

∴A1O∥BD

又EF∥A1O

∴EF∥BD

又EF平面DBC1，BD平面DBC1

∴EF∥平面DBC1

（6分）證法二：建立如圖所示的坐標(biāo)系。（坐標(biāo)系建立僅為參考）∵AB=BC=CA=AA1=2，D、E分別為A1B1、AA1的中點(diǎn)，AF=ABE（-1，0，1），F(xiàn)，B（1，0，0），D（0，0，2），C1（0，）設(shè)平面平面DBC1的法向量為

,,

令z=1,則y=0,x=2

∴

又EF平面BDC1

∴EF∥平面BDC1

（6分）（2）設(shè)面EBC1的法向量為

，

令x=1,則z=2，y=-

∴cos＜＞=由圖知二面角E－BC1－D為銳二面角，所以二面角的余弦值為

（12分）略22.（14分）如圖，矩形中，，，為上的點(diǎn)，且，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求三棱錐的體積．參考答案：解析：（Ⅰ）證明：平面，．

∴平面，則．

……(2分)又平面，則．∴平面．

………………(4分)（Ⅱ）證明：依題意可知：是中點(diǎn)．平面，則，而．∴是中點(diǎn)．

…