空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系(優(yōu)質(zhì)課)教學(xué)提綱

空間圖形是豐富的，它由一些基本的圖形：點(diǎn)、線、面組成(zǔchénɡ).認(rèn)識清楚它們的位置關(guān)系，對于我們認(rèn)識空間圖形是很重要的.§4空間圖形的基本關(guān)系(guānxì)與公理第一頁，共44頁。觀察長方體，你能發(fā)現(xiàn)長方體的頂點(diǎn)、棱所在的直線(zhíxiàn)，以及側(cè)面、地面之間的關(guān)系嗎？長方體由上下、前后、左右六個(gè)面圍成，有些(yǒuxiē)面是平行的，有些(yǒuxiē)面是相交的；有些(yǒuxiē)棱所在的直線與面平行，有些(yǒuxiē)棱所在的直線與面相交；每條棱所在的直線都可以看作是某個(gè)面內(nèi)的直線等等.空間中的點(diǎn)、直線、平面之間有什么位置關(guān)系，是我們(wǒmen)接下來要討論的問題.第二頁，共44頁。常常把水平的平面畫成銳角(ruìjiǎo)為450，橫邊長等于其鄰邊長2倍的平行四邊形.如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面擋住，則這遮擋(zhēdǎng)的部分用虛線畫出來也可以不畫。.平面的概念(gàiniàn)與畫法幾何里的平面是無限延展的.表示①平面α、平面β、平面γ；②用表示平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母來表示，如平面ABCD或平面AC、平面BD.αβ第三頁，共44頁。1.空間點(diǎn)與直線(zhíxiàn)的位置關(guān)系有兩種：①點(diǎn)A在直線(zhíxiàn)上②點(diǎn)B在直線(zhíxiàn)外AB2.空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種：①點(diǎn)B在平面內(nèi)②點(diǎn)A在平面外記作：BA記作：記作：記作：第四頁，共44頁。3.空間直線與平面的位置關(guān)系(guānxì)有三種：直線a與平面α有無數(shù)多個(gè)公共點(diǎn)1、直線(zhíxiàn)在平面內(nèi)直線與平面只有(zhǐyǒu)一個(gè)公共點(diǎn)2、直線與平面相交Aα

a記作：直線a∩平面α=點(diǎn)A

直線與平面沒有公共點(diǎn)3、直線與平面平行αaα

a記作：

記作：第五頁，共44頁。（2）兩個(gè)平面(píngmiàn)相交---兩個(gè)平面(píngmiàn)不重合，并且有公共點(diǎn)4.空間平面(píngmiàn)與平面(píngmiàn)的位置關(guān)系有兩種：（1）兩個(gè)平面(píngmiàn)平行---沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面(píngmiàn)α記作：記作：第六頁，共44頁。5.空間兩條直線的位置(wèizhi)關(guān)系：①平行(píngxíng)直線——②相交(xiāngjiāo)直線——③異面直線——在同一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的兩條直線。在同一個(gè)平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線。不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)的兩條直線。γababα記作：a//bbβaO記作：第七頁，共44頁。點(diǎn)、線、面之間的位置(wèizhi)關(guān)系及語言表達(dá)點(diǎn)A在直線(zhíxiàn)a上A∈a點(diǎn)A不在直線(zhíxiàn)a上A∈a點(diǎn)A在平面α上A∈α點(diǎn)A不在平面α上A∈αAα文字語言表達(dá)圖形語言表達(dá)符號語言表達(dá)AaaAAα直線a在平面α內(nèi)αa直線a在平面α外αaαAab∩α＝A

a∥α小結(jié)第八頁，共44頁。1、如圖，用符號表示下列圖形(túxíng)中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系．a(chǎn)lABalPb（1）（2）2.觀察(guānchá)長方體中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第九頁，共44頁。(1)過一點(diǎn)可以(kěyǐ)做幾條直線？兩點(diǎn)呢？(2)過平面內(nèi)一點(diǎn)可以做幾個(gè)(jǐɡè)平面？兩點(diǎn)呢？三點(diǎn)呢？思考(sīkǎo)：back第十頁，共44頁。ABC公理1：

經(jīng)過不在同一直線(zhíxiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.①圖形(túxíng)語言：②符號語言：3.平面的基本(jīběn)性質(zhì)第十一頁，共44頁。推論(tuīlùn)1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.ABCa已知點(diǎn)Aa，求證過點(diǎn)A和直線(zhíxiàn)a可以確定一個(gè)平面.3.平面(píngmiàn)的基本性質(zhì)第十二頁，共44頁。推論2

經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)(yīɡè)平面.推論(tuīlùn)3

經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.baαabα推論(tuīlùn)1經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.ABCa注3：公理2及其三個(gè)推論是確定平面以及判斷兩個(gè)平面重合的依據(jù)，是證明點(diǎn)、線共面的依據(jù)，也是作截面、輔助平面的依據(jù).ABC公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.3.平面的基本性質(zhì)第十三頁，共44頁。思考(sīkǎo)：(1)不共面的四點(diǎn)可以確定多少(duōshǎo)個(gè)平面?(2)共點(diǎn)的三條直線可以確定多少(duōshǎo)個(gè)平面?4個(gè)1個(gè)或3個(gè)第十四頁，共44頁。①圖形(túxíng)語言：AB公理(gōnglǐ)2：若一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，

則這條直線在此平面內(nèi).②符號語言：3.平面的基本(jīběn)性質(zhì)第十五頁，共44頁。思考：兩個(gè)平面會(huì)不會(huì)(bùhuì)只有一個(gè)公共點(diǎn)呢？不會(huì)！因?yàn)槠矫媸菬o限(wúxiàn)延展的.因此，兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，必然有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，并且這些公共點(diǎn)在一條直線上.3.平面的基本(jīběn)性質(zhì)第十六頁，共44頁。P公理3：若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，

則它們有且只有(zhǐyǒu)一條過該點(diǎn)的公共直線.①圖形(túxíng)語言：②符號語言：③該公理(gōnglǐ)反映了平面與平面的位置關(guān)系：3.平面的基本性質(zhì)第十七頁，共44頁。3.填空:_________________的三點(diǎn)確定一個(gè)平面;兩條或直線確定一個(gè)平面;有一個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)(liǎnɡɡè)平面交于的一條直線.不在同一(tóngyī)直線上平行(píngxíng)相交唯一4.下列命題正確的是()

A.經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面

B.經(jīng)過一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面

C.四邊形確定一個(gè)平面

D.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面D第十八頁，共44頁。5.判斷下列命題是否正確:(1)平面α與平面β相交,它們只有有限個(gè)公共點(diǎn).(2)經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.(3)經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.(4)如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn),那么(nàme)這兩個(gè)平面重合.×√√√練習(xí)(liànxí)back第十九頁，共44頁。abced我們知道,在同一平面內(nèi),如果兩條直線都和第三條直線平行(píngxíng),那么這兩條直線互相平行(píngxíng).在空間這一規(guī)律是否還成立呢?觀察(guānchá):將一張紙如圖進(jìn)行折疊,則各折痕及邊a,b,c,d,e,…之間有何關(guān)系？a∥b∥c∥d∥e∥…3.平面的基本(jīběn)性質(zhì)第二十頁，共44頁。符號(fúhào)表示:caabcc(4)公理(gōnglǐ)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.aα①平行(píngxíng)具有傳遞性；注4：②該公理是判斷空間兩條直線平行的方法之一.即要證明兩條直線平行，一般利用第三條直線作為聯(lián)系兩直線的中間環(huán)節(jié).3.平面的基本性質(zhì)第二十一頁，共44頁。例在正方體ABCD—A1B1C1D1中，直線(zhíxiàn)AB與C1D1，AD1與BC1是什么位置關(guān)系？為什么？解：C1ABCDA1B1D11）∵AB∥A1B1，C1D1∥A1B1，

∴AB∥C1D1

2）∵AB∥C1D1，且AB=C1D1∴ABC1D1為平行四邊形故AD1∥BC1

練習(xí)：上例中，AA1與CC1，AC與A1C1的位置是什么(shénme)關(guān)系？第二十二頁，共44頁。例已知ABCD是四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)平面內(nèi)的空間四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別(fēnbié)是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，連結(jié)EF，F(xiàn)G，GH，HE，求證：EFGH是一個(gè)平行四邊形.問1:若上例加上條件(tiáojiàn)AC=BD，則四邊形EFGH是一個(gè)什么圖形？“見中點(diǎn)找中點(diǎn)”構(gòu)造三角形的中位線是證明(zhèngmíng)平行的常用方法．∵EH是△ABD的中位線，∴EH∥FG且EH=FG．∴EFGH是一個(gè)平行四邊形．證明：連結(jié)BD，同理，F(xiàn)G∥BD且FG=BD．

∴EH∥BD且EH=BD．ABDEFGHC菱形第二十三頁，共44頁?！耙娭悬c(diǎn)找中點(diǎn)”構(gòu)造三角形的中位線是證明(zhèngmíng)平行的常用方法．EFGback第二十四頁，共44頁。4.點(diǎn)線共面問題(wèntí)(1)證明的主要依據(jù)：公理1；公理2及其三個(gè)推論.(2)證明的常用方法：①納入平面法：先由部分元素(yuánsù)確定一個(gè)平面，再證明其余有關(guān)的點(diǎn)、線在此平面內(nèi)；②輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素(yuánsù)確定平面，最后證明平面、重合.第二十五頁，共44頁。例證明兩兩相交且不同點(diǎn)的三條直線(zhíxiàn)必在同一個(gè)平面內(nèi).ABC已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C求證(qiúzhèng)：直線AB，BC，AC共面.證明(zhèngmíng)：因?yàn)锳B∩AC=A，所以直線AB，AC確定一個(gè)平面.（推論2）因?yàn)锽∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈，故BC.（公理1）因此直線AB，BC，CA共面.確定一個(gè)面，再證明其余線在該面內(nèi).4.點(diǎn)線共面問題第二十六頁，共44頁。4.點(diǎn)線共面問題(wèntí)第二十七頁，共44頁。證明：一條直線(zhíxiàn)與兩條平行直線(zhíxiàn)都相交，則這三條直線(zhíxiàn)共面.已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B.求證(qiúzhèng)：直線a，b，c共面.證明(zhèngmíng)：因?yàn)閍//b，所以直線a，b確定一個(gè)平面.（推論3）因?yàn)锳∈a，B∈b，所以A∈，B∈.又因?yàn)锳∈c，B∈c.故AB.（公理1）因此直線a，b，c共面.4.點(diǎn)線共面問題第二十八頁，共44頁。思考已知一條(yītiáo)直線與三條平行直線都相交，證明這四條直線共面.已知：a//b//c，a∩l=A，b∩l=B,c∩l=C.求證(qiúzhèng)：直線l與a，b，c共面.證明(zhèngmíng)：∵a//b，∴直線a，b確定一個(gè)平面.（推論3）∵l∩a=A，

l

∩b=B，∴A∈，B∈.又A∈l，B∈l，故l.同理，直線b，c確定一個(gè)平面，且l.∴平面與都過兩相交直線b，l.又∵兩相交直線確定一個(gè)唯一的平面.∴與重合.故l與a，b，c共面.證明兩個(gè)平面重合是證明直線在平面內(nèi)問題的重要方法.4.點(diǎn)線共面問題第二十九頁，共44頁。練已知a，b，a∩b=A，P∈b，PQ//a.求證(qiúzhèng)：PQ.4.點(diǎn)線共面問題(wèntí)第三十頁，共44頁。(1)證明的主要依據(jù)是公理3：如果兩個(gè)(liǎnɡɡè)平面相交，則這兩個(gè)(liǎnɡɡè)平面的公共點(diǎn)共線；如果兩個(gè)(liǎnɡɡè)平面相交，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線和另一平面的交點(diǎn)必在這兩個(gè)(liǎnɡɡè)平面的交線上.(2)證明的常用方法：①首先找出兩個(gè)(liǎnɡɡè)平面，再證這三個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)(liǎnɡɡè)平面的公共點(diǎn)；②選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一個(gè)點(diǎn)也在其上（一般地，這條直線看作某兩個(gè)(liǎnɡɡè)平面的交線，往證第三個(gè)點(diǎn)也是兩個(gè)(liǎnɡɡè)面的公共點(diǎn)）；③證明三線共點(diǎn)問題：先證明兩條直線交于一個(gè)點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)（轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在線上的問題）5.證明三點(diǎn)共線、三線(sānxiàn)共點(diǎn)的問題第三十一頁，共44頁。例1已知三角形ABC的三條邊AB、BC、AC與平面α分別交于P、Q、R.求證(qiúzhèng)：P、Q、R共線.BAQRCP證明(zhèngmíng)：同理Q、R也為公共(gōnggòng)點(diǎn)，所以P、Q、R共線.要證明各點(diǎn)共線，只要證明他們是兩個(gè)相交平面的公共點(diǎn).5.證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的問題第三十二頁，共44頁?？臻g四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB和CB上的點(diǎn)，G，H分別是CD和AD上的點(diǎn)，且EH與FG相交于K.求證：EH，BD，F(xiàn)G三條(sāntiáo)直線相交于同一點(diǎn).分析：已知EH∩FG=K，要證EH，BD，F(xiàn)G共點(diǎn).即要證明B，D，K三點(diǎn)(sāndiǎn)共線.而BD是面ABD和面(hémiàn)CBD的交線.所以往證K∈面ABD∩面CBD.而顯然，由EH∈面ABD，K∈EH，可得K∈面ABD.同理，由FG∈面CBD，K∈FG，可得K∈面CBD.5.證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)的問題第三十三頁，共44頁。FE第三十四頁，共44頁。√√√××第三十五頁，共44頁。ABCDA1B1C1D1OABCDA1B1C1D1EF找兩平面的兩個(gè)公共點(diǎn)例幾何體中的截面問題(wèntí)（兩平面的交線問題(wèntí)）第三十六頁，共44頁。Q即交線為QN例幾何體中的截面(jiémiàn)問題（兩平面的交線問題）拓展(tuòzhǎn)第三十七頁，共44頁。正方體截面形狀(xíngzhuàn)小結(jié)形狀特殊情形三角形銳角三角形等腰