機械優(yōu)化設計的基本問題

會計學1機械優(yōu)化設計的基本問題2教學目的、要求1．熟悉優(yōu)化設計的基本概念2．掌握數值計算的迭代過程和終止準則教學重點1．優(yōu)化的數學模型表示方法2．數值計算法的迭代過程3．梯度準則第1頁/共42頁3第2頁/共42頁4

優(yōu)化設計是在現(xiàn)代計算機廣泛應用的基礎上發(fā)展起來的一項新技術。是根據最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或“自動探索”方式，在計算機上進行的半自動或自動設計，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設計方案的一種現(xiàn)代設計方法。

§1-1緒論1.優(yōu)化、優(yōu)化設計和機械優(yōu)化設計的含義例如，古代人類在生產和生活活動中經過無數次摸索認識到，在使用同樣數量和質量材料的條件下，圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強度也最大?！皟?yōu)化”yōuhuà[optimalize]采取一定措施使變得優(yōu)秀所謂優(yōu)化,

是指在一定條件下力求獲得最優(yōu)結果的思想與觀念。金山詞霸的解釋國家知識基礎設施（NationalKnowledgeInfrastructure，CNKI）的解釋第3頁/共42頁5機械優(yōu)化設計

就是把機械設計與優(yōu)化設計理論及方法相結合，借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預期目標的最優(yōu)設計方案和最佳設計參數。優(yōu)化設計流程

常規(guī)設計流程二者有何區(qū)別？前者是找到可行解決方案，后者是找到最好的方案。第4頁/共42頁62.優(yōu)化設計的發(fā)展概況

1.古希臘時期歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。

2.十七、十八世紀

微積分的建立給出了求函數極值的一些準則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎。

3.19~20世紀初進展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法。

4.二戰(zhàn)軍事上的需要產生了運籌學，并使優(yōu)化技術首先應用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，如轟炸機最佳俯沖軌跡的設計等。

第5頁/共42頁75.50年代末

數學規(guī)劃方法被首次用于結構最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設計中求優(yōu)方法的理論基礎。線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內容。6.60年代初

最優(yōu)化設計是在數學規(guī)劃方法的基礎上發(fā)展起來的，是6O年代初電子計算機引入結構設計領域后逐步形成的一種有效的設計方法。使設計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設計方法所不能解決的比較復雜的最優(yōu)化設計問題。大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，在許多科學技術領域中得到應用。第6頁/共42頁8

7.近幾十年來

最優(yōu)化設計方法已陸續(xù)用到各工程設計領域。(建筑結構、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車)

其中在機械設計方面的應用雖尚處于早期階段，但也已經取得了豐碩的成果。第7頁/共42頁9機械優(yōu)化設計應用實例

美國波音飛機公司對大型機翼用138個設計變量進行結構優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用10個變量進行優(yōu)化設計，使成本降低約10%。例如，工廠在安排生產計劃時，首先要考慮在現(xiàn)有原材料、設備、人力等資源條件下，如何安排生產，使產品的產值最高，或產生的利潤最大；又如，在多級火箭發(fā)射過程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引導車輛的流向，盡量減少各個交叉路口的阻塞和等待時間、提高各條道路的車輛通行速度，在現(xiàn)有道路條件下取得最大的道路通行能力。LPD17級兩棲船塢運輸艦首艦"圣安東尼奧"號第8頁/共42頁10體積小如何合理分配傳動比節(jié)能曲柄均方根扭矩最小第9頁/共42頁11

優(yōu)化設計的優(yōu)點1.保證產品具有優(yōu)良的性能2.減輕自重或體積，降低產品成本3.使設計者從大量繁瑣和重復的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設計，并大大提高設計效率。第10頁/共42頁12

基礎：（1）最優(yōu)化數學理論（2）現(xiàn)代計算技術內容：（1）將工程實際問題數學化；（建立優(yōu)化設計數學模型）（2）用最優(yōu)化計算方法在計算機上求解數學模型。優(yōu)化設計是一種現(xiàn)代設計方法，是很好的工具。3.本課程的任務第11頁/共42頁13本課程的主要目的和任務：①了解和基本掌握機械優(yōu)化設計的基本知識；②擴大視野，并初步具有應用機械優(yōu)化設計的基本理論和基本方法解決簡單工程實際問題的素質。第12頁/共42頁14§1-2優(yōu)化設計問題的示例

已知：制造一體積為100m3，長度不小于5m，不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長x1，寬x2，高x3，使箱盒用料最省。分析：（1）箱盒的表面積的表達式；（2）設計參數確定：長x1，寬x2，高x3

；（3）設計約束條件： （a）體積要求； （b）長度要求；

x1x2x3箱盒的優(yōu)化設計第13頁/共42頁15數學模型設計變量：設計目標：約束條件：第14頁/共42頁16

某工廠生產A和B兩種產品，A產品單位價格為PA

萬元，B產品單位價格為PB

萬元。每生產一個單位A產品需消耗煤aC

噸，電aE度，人工aL

個人日；每生產一個單位B產品需消耗煤bC

噸，電bE

度，人工bL個人日?，F(xiàn)有可利用生產資源煤C噸，電E度，勞動力L個人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產值最大。分析：（1）產值的表達式；（2）設計參數確定：A產品xA，B產品xB

；（3）設計約束條件： （a）生產資源煤約束； （b）生產資源電約束； （b）生產資源勞動力約束；最大產值生產資源分配問題第15頁/共42頁17數學模型設計參數：設計目標：約束條件：第16頁/共42頁18§1-3優(yōu)化設計的數學模型1.設計變量設計變量—在設計中需進行優(yōu)選的獨立的待求參數；（從互相依賴的參數中把真正獨立的參數分解出來,i=i1*i2）

優(yōu)化設計的數學模型是描述實際優(yōu)化問題的設計內容、變量關系、有關設計條件和意圖的數學表達式是進行優(yōu)化設計的基礎。包括3個要素：設計變量、目標函數、約束條件。設計變量連續(xù)變量離散變量（齒輪的模數、螺紋的公稱直徑、滾動軸承的內徑）第17頁/共42頁19設計常量—預先已給定的參數；

設計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設計變量的數目稱為優(yōu)化設計的維數，如n個設計變量，則稱為n維設計問題。

由n個設計變量為坐標所組成的實空間稱作設計空間。一個“設計”，可用設計空間中的一點表示。

工程中，設計變量均為實數，設計空間為n維歐氏空間。第18頁/共42頁20圖1-1設計變量所組成的設計空間（a）二維設計問題（b）三維設計問題n>4時，設計空間成為超越空間第19頁/共42頁21

通常,設計自由度,越能獲得理想的結果,但求解難度。小型設計問題：一般含有2—10個設計變量；中型設計問題：10—50個設計變量；大型設計問題：50個以上的設計變量。目前已能解決200個設計變量的大型優(yōu)化設計問題。第20頁/共42頁222.目標函數

優(yōu)化過程就是使設計變量的不斷向F(X)值改善的方向自動調整的過程，最后求得X

，使F(X)值最好，一般處理為求最小值形式。在構造目標函數時，應注意目標函數必須包含全部設計變量。可作為參考目標函數的有：

體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結構運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動負荷最小等等。

將優(yōu)化設計的目標用設計變量的函數表達，稱為目標函數，以F(X)表示。第21頁/共42頁23

在最優(yōu)化設計問題中，可以只有一個目標函數，稱為單目標函數。當在同一設計中要提出多個目標函數時，這種問題稱為多目標函數的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設計中，多目標函數的情況較多。目標函數愈多，設計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復雜。

在實際工程設計問題中，常常會遇到在多目標函數的某些目標之間存在矛盾的情況，這就要求設計者正確處理各目標函數之間的關系。（凸輪機構：緊湊，基圓半徑減小，但壓力角增大，傳力性能不好）第22頁/共42頁24

目標函數等值（線）面

目標函數是n維變量的函數，它的函數圖像只能在n+1維空間中描述出來。為了在n維設計空間中反映目標函數的變化情況，常采用目標函數等值面的方法。目標函數的等值面（線）數學表達式為：

c為一系列常數*等值線（面）—能使目標函數取某一定值的所有設計點的集合;—在無約束極小點處，等值線一般收縮一個點。如:第23頁/共42頁25

3.約束條件

設計空間是所有設計點的集合，但這些設計方案有些是工程上所不能接受的。如一個設計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設計。一個可行設計必須滿足某些設計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。

約束又可按其數學表達形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：(1)等式約束(2)不等式約束第24頁/共42頁26顯式約束隱式約束約束函數有的可以表示成顯式形式，即反映設計變量之間明顯的函數關系，有的只能表示成隱式形式,如例中的復雜結構的性能約束函數（變形、應力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。根據約束的性質可以把它們區(qū)分成：性能約束——針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結構必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束——只是對設計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機床主軸選擇的尺寸范圍，對軸段長度的限定范圍就屬于邊界約束。第25頁/共42頁27消極約束---能夠被其他約束條件所替代的約束。

可行域:

在設計空間中，滿足所有約束條件的所構成的空間。

Dⅲ)起作用的約束與不起作用的約束約束邊界上的點為邊界點,其余可行點為內點。ⅱ)邊界點與內點D內的設計點為可行點,否則為不可行點。*ⅰ)可行點與不可行點第26頁/共42頁28圖1-3約束條件規(guī)定的可行域D例：某優(yōu)化約束條件如下：g1（X）=x12＋x22—16≤Og2（X）＝2—X2≤0。畫出可行域。若又有g3（X）＝4—X1≤0。則g3（X）是否為一個起作用約束。第27頁/共42頁29§1-3優(yōu)化設計數學模型的表示方法滿足約束條件求設計變量向量使目標函數D第28頁/共42頁30D對于若有，使，則稱為最優(yōu)點，相應的目標函數值稱為最優(yōu)值，稱為最優(yōu)解。線性規(guī)劃：目標函數和約束條件均為設計變量的線性函數。第29頁/共42頁311）根據設計要求，應用專業(yè)范圍內的現(xiàn)行理論和經驗等，對優(yōu)化對象進行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設計中的公式進行改進，并盡可以反映該專業(yè)范圍內的現(xiàn)代技術進步的成果。2）對結構諸參數進行分析，以確定設計的原始參數、設計常數和設計變量。3）根據設計要求，確定并構造目標函數和相應的約束條件，有時要構造多目標函數。4）必要時對數學模型進行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量綱不同等原因導致的數量懸殊的影響。建立優(yōu)化設計問題的數學模型一般步驟：第30頁/共42頁32

對于復雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數學模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復雜。這時要抓住關鍵因素，適當忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數學模型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結果。第31頁/共42頁33§1-4優(yōu)化計算的數值解法和收斂條件求解優(yōu)化問題的基本解法有：

1.基本解法解析法數值解法解析法：即利用數學分析(微分、變分等）的方法，根據函數（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的求解方法。在目標函數比較簡單時，求解還可以。局限性：工程優(yōu)化問題的目標函數和約束條件往往比較復雜，有時甚至還無法用數學方程描述，在這種情況下應用數學分析方法就會帶來麻煩。第32頁/共42頁34

優(yōu)點：

1）是數值計算而不是數學分析方法；

2）具有簡單的邏輯結構并能進行反復的同樣的算術計算—便于計算機實現(xiàn)；

3）最后得出的是逼近精確解的近似解。

數值解法：根據目標函數的變化規(guī)律，以適當的步長沿著能使目標函數值下降的方向，逐步向目標函數值的最優(yōu)點進行探索，逐步逼近到目標函數的最優(yōu)點或直至達到最優(yōu)點。數值解法（迭代法）是優(yōu)化設計問題的基本解法。其中也可能用到解析法，如最速下降方向的選取、最優(yōu)步長的確定等。第33頁/共42頁35在中間過程中每一步的迭代形式為：

迭代逐步逼近最優(yōu)點過程示意圖

上式中：X（k）——第k步