2023年河南省中考數(shù)學試題(解析版)

第24頁〔共24頁〕2023年河南省中考數(shù)學試卷一、選擇題〔每題3分，共30分〕1．〔3分〕以下各數(shù)中比1大的數(shù)是〔〕A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣32．〔3分〕2023年，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值到達74.4萬億元，數(shù)據(jù)“74.4萬億〞用科學記數(shù)法表示〔〕A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×10153．〔3分〕某幾何體的左視圖如下圖，那么該幾何體不可能是〔〕A． B． C． D．4．〔3分〕解分式方程﹣2=，去分母得〔〕A．1﹣2〔x﹣1〕=﹣3 B．1﹣2〔x﹣1〕=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=35．〔3分〕八年級某同學6次數(shù)學小測驗的成績分別為：80分，85分，95分，95分，95分，100分，那么該同學這6次成績的眾數(shù)和中位數(shù)分別是〔〕A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分6．〔3分〕一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情況是〔〕A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根7．〔3分〕如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，添加以下條件不能判定?ABCD是菱形的只有〔〕A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠28．〔3分〕如圖是一次數(shù)學活動課制作的一個轉(zhuǎn)盤，盤面被等分成四個扇形區(qū)域，并分別標有數(shù)字﹣1，0，1，2．假設轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)盤停止后記錄指針所指區(qū)域的數(shù)字〔當指針價好指在分界線上時，不記，重轉(zhuǎn)〕，那么記錄的兩個數(shù)字都是正數(shù)的概率為〔〕A． B． C． D．9．〔3分〕我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點是坐標原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點D′處，那么點C的對應點C′的坐標為〔〕A．〔，1〕 B．〔2，1〕 C．〔1，〕 D．〔2，〕10．〔3分〕如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點O，B的對應點分別為O′，B′，連接BB′，那么圖中陰影局部的面積是〔〕A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣二、填空題〔每題3分，共15分〕11．〔3分〕計算：23﹣=．12．〔3分〕不等式組的解集是．13．〔3分〕點A〔1，m〕，B〔2，n〕在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，那么m與n的大小關(guān)系為．14．〔3分〕如圖1，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，沿B→C→A勻速運動到點A，圖2是點P運動時，線段BP的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象，其中M為曲線局部的最低點，那么△ABC的面積是．15．〔3分〕如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點B′始終落在邊AC上，假設△MB′C為直角三角形，那么BM的長為．三、解答題〔此題共8個小題，總分值75分〕16．〔8分〕先化簡，再求值：〔2x+y〕2+〔x﹣y〕〔x+y〕﹣5x〔x﹣y〕，其中x=+1，y=﹣1．17．〔9分〕為了了解同學們每月零花錢的數(shù)額，校園小記者隨機調(diào)查了本校局部同學，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出了如下兩個尚不完整的統(tǒng)計圖表．調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計表組別分組〔單位：元〕人數(shù)A0≤x＜304B30≤x＜6016C60≤x＜90aD90≤x＜120bEx≥1202請根據(jù)以上圖表，解答以下問題：〔1〕填空：這次被調(diào)查的同學共有人，a+b=，m=；〔2〕求扇形統(tǒng)計圖中扇形C的圓心角度數(shù)；〔3〕該校共有學生1000人，請估計每月零花錢的數(shù)額x在60≤x＜120范圍的人數(shù)．18．〔9分〕如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，過點C作CF∥AB，與過點B的切線交于點F，連接BD．〔1〕求證：BD=BF；〔2〕假設AB=10，CD=4，求BC的長．19．〔9分〕如下圖，我國兩艘海監(jiān)船A，B在南海海域巡航，某一時刻，兩船同時收到指令，立即前往救援遇險拋錨的漁船C，此時，B船在A船的正南方向5海里處，A船測得漁船C在其南偏東45°方向，B船測得漁船C在其南偏東53°方向，A船的航速為30海里/小時，B船的航速為25海里/小時，問C船至少要等待多長時間才能得到救援？〔參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41〕20．〔9分〕如圖，一次函數(shù)y=﹣x+b與反比例函數(shù)y=〔x＞0〕的圖象交于點A〔m，3〕和B〔3，1〕．〔1〕填空：一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為；〔2〕點P是線段AB上一點，過點P作PD⊥x軸于點D，連接OP，假設△POD的面積為S，求S的取值范圍．21．〔10分〕學校“百變魔方〞社團準備購置A，B兩種魔方，購置2個A種魔方和6個B種魔方共需130元，購置3個A種魔方和4個B種魔方所需款數(shù)相同．〔1〕求這兩種魔方的單價；〔2〕結(jié)合社員們的需求，社團決定購置A，B兩種魔方共100個〔其中A種魔方不超過50個〕．某商店有兩種優(yōu)惠活動，如下圖．請根據(jù)以上信息，說明選擇哪種優(yōu)惠活動購置魔方更實惠．22．〔10分〕如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．〔1〕觀察猜測圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；〔2〕探究證明把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；〔3〕拓展延伸把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，假設AD=4，AB=10，請直接寫出△PMN面積的最大值．23．〔11分〕如圖，直線y=﹣x+c與x軸交于點A〔3，0〕，與y軸交于點B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A，B．〔1〕求點B的坐標和拋物線的解析式；〔2〕M〔m，0〕為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．①點M在線段OA上運動，假設以B，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求點M的坐標；②點M在x軸上自由運動，假設三個點M，P，N中恰有一點是其它兩點所連線段的中點〔三點重合除外〕，那么稱M，P，N三點為“共諧點〞．請直接寫出使得M，P，N三點成為“共諧點〞的m的值．2023年河南省中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題〔每題3分，共30分〕1．〔3分〕〔2023?河南〕以下各數(shù)中比1大的數(shù)是〔〕A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3【分析】根據(jù)正數(shù)大于零、零大于負數(shù)，可得答案．【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3，應選：A．【點評】此題考查了有理數(shù)大小比擬，利用正數(shù)大于零、零大于負數(shù)是解題關(guān)鍵．2．〔3分〕〔2023?河南〕2023年，我國國內(nèi)生產(chǎn)總值到達74.4萬億元，數(shù)據(jù)“74.4萬億〞用科學記數(shù)法表示〔〕A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥1時，n是非負數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：將74.4萬億用科學記數(shù)法表示為：7.44×1013．應選：B．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．3．〔3分〕〔2023?河南〕某幾何體的左視圖如下圖，那么該幾何體不可能是〔〕A． B． C． D．【分析】左視圖是從左邊看到的，據(jù)此求解．【解答】解：從左視圖可以發(fā)現(xiàn)：該幾何體共有兩列，正方體的個數(shù)分別為2，1，D不符合，應選D．【點評】考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關(guān)鍵是了解該幾何體的構(gòu)成，難度不大．4．〔3分〕〔2023?河南〕解分式方程﹣2=，去分母得〔〕A．1﹣2〔x﹣1〕=﹣3 B．1﹣2〔x﹣1〕=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3【分析】分式方程變形后，兩邊乘以最簡公分母x﹣1得到結(jié)果，即可作出判斷．【解答】解：分式方程整理得：﹣2=﹣，去分母得：1﹣2〔x﹣1〕=﹣3，應選A【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．5．〔3分〕〔2023?河南〕八年級某同學6次數(shù)學小測驗的成績分別為：80分，85分，95分，95分，95分，100分，那么該同學這6次成績的眾數(shù)和中位數(shù)分別是〔〕A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分【分析】將題目中的數(shù)據(jù)按照從小到大排列，從而可以得到這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)，此題得以解決．【解答】解：位于中間位置的兩數(shù)分別是95分和95分，故中位數(shù)為95分，數(shù)據(jù)95出現(xiàn)了3次，最多，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是95分，應選A．【點評】此題考查眾數(shù)和中位數(shù)，解題的關(guān)鍵是明確眾數(shù)和中位數(shù)的定義，會找一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)．6．〔3分〕〔2023?河南〕一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情況是〔〕A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【分析】先計算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：∵△=〔﹣5〕2﹣4×2×〔﹣2〕=41＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．應選B．【點評】此題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．7．〔3分〕〔2023?河南〕如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，添加以下條件不能判定?ABCD是菱形的只有〔〕A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)．菱形的判定方法即可一一判斷．【解答】解：A、正確．對角線垂直的平行四邊形的菱形．B、正確．鄰邊相等的平行四邊形是菱形．C、錯誤．對角線相等的平行四邊形是矩形，不一定是菱形．D、正確．可以證明平行四邊形ABCD的鄰邊相等，即可判定是菱形．應選C．【點評】此題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定方法．8．〔3分〕〔2023?河南〕如圖是一次數(shù)學活動課制作的一個轉(zhuǎn)盤，盤面被等分成四個扇形區(qū)域，并分別標有數(shù)字﹣1，0，1，2．假設轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)盤停止后記錄指針所指區(qū)域的數(shù)字〔當指針價好指在分界線上時，不記，重轉(zhuǎn)〕，那么記錄的兩個數(shù)字都是正數(shù)的概率為〔〕A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與兩個數(shù)字都是正數(shù)的情況數(shù)，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：畫樹狀圖得：∵共有16種等可能的結(jié)果，兩個數(shù)字都是正數(shù)的有4種情況，∴兩個數(shù)字都是正數(shù)的概率是：=．應選：C．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．注意樹狀圖法與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，解題時注意：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．〔3分〕〔2023?河南〕我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的正方形ABCD的邊AB在x軸上，AB的中點是坐標原點O，固定點A，B，把正方形沿箭頭方向推，使點D落在y軸正半軸上點D′處，那么點C的對應點C′的坐標為〔〕A．〔，1〕 B．〔2，1〕 C．〔1，〕 D．〔2，〕【分析】由條件得到AD′=AD=2，AO=AB=1，根據(jù)勾股定理得到OD′==，于是得到結(jié)論．【解答】解：∵AD′=AD=2，AO=AB=1，∴OD′==，∵C′D′=2，C′D′∥AB，∴C′〔2，〕，應選D．【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．10．〔3分〕〔2023?河南〕如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點O，B的對應點分別為O′，B′，連接BB′，那么圖中陰影局部的面積是〔〕A． B．2﹣ C．2﹣ D．4﹣【分析】連接OO′，BO′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等邊三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等邊三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根據(jù)圖形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OO′，BO′，∵將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等邊三角形，∴∠AOO′=60°，∵∠AOB=120°，∴∠O′OB=60°，∴△OO′B是等邊三角形，∴∠AO′B=120°，∵∠AO′B′=120°，∴∠B′O′B=120°，∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴圖中陰影局部的面積=S△B′O′B﹣〔S扇形O′OB﹣S△OO′B〕=×1×2﹣〔﹣×2×〕=2﹣．應選C．【點評】此題考查了扇形面積的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題〔每題3分，共15分〕11．〔3分〕〔2023?河南〕計算：23﹣=6．【分析】明確表示4的算術(shù)平方根，值為2．【解答】解：23﹣=8﹣2=6，故答案為：6．【點評】此題主要考查了算術(shù)平方根和有理數(shù)的乘方的定義，是一個根底題目，比擬簡單．12．〔3分〕〔2023?河南〕不等式組的解集是﹣1＜x≤2．【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式解集的公共局部．【解答】解：解不等式①得：x≤2，解不等式②得：x＞﹣1，∴不等式組的解集是﹣1＜x≤2，故答案為﹣1＜x≤2．【點評】題考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式組的應用，解此題的關(guān)鍵是求出不等式組的解集．13．〔3分〕〔2023?河南〕點A〔1，m〕，B〔2，n〕在反比例函數(shù)y=﹣的圖象上，那么m與n的大小關(guān)系為m＜n．【分析】由反比例函數(shù)y=﹣可知函數(shù)的圖象在第二、第四象限內(nèi)，可以知道在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，根據(jù)這個判定那么可．【解答】解：∵反比例函數(shù)y=﹣中k=﹣2＜0，∴此函數(shù)的圖象在二、四象限內(nèi)，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，∵0＜1＜2，∴A、B兩點均在第四象限，∴m＜n．故答案為m＜n．【點評】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，先根據(jù)題意判斷出反比例函數(shù)圖象所在的象限是解答此題的關(guān)鍵．14．〔3分〕〔2023?河南〕如圖1，點P從△ABC的頂點B出發(fā)，沿B→C→A勻速運動到點A，圖2是點P運動時，線段BP的長度y隨時間x變化的關(guān)系圖象，其中M為曲線局部的最低點，那么△ABC的面積是12．【分析】根據(jù)圖象可知點P在BC上運動時，此時BP不斷增大，而從C向A運動時，BP先變小后變大，從而可求出BC與AC的長度．【解答】解：根據(jù)圖象可知點P在BC上運動時，此時BP不斷增大，由圖象可知：點P從B向C運動時，BP的最大值為5，即BC=5，由于M是曲線局部的最低點，∴此時BP最小，即BP⊥AC，BP=4，∴由勾股定理可知：PC=3，由于圖象的曲線局部是軸對稱圖形，∴PA=3，∴AC=6，∴△ABC的面積為：×4×6=12故答案為：12【點評】此題考查動點問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是注意結(jié)合圖象求出BC與AC的長度，此題屬于中等題型．15．〔3分〕〔2023?河南〕如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=+1，點M，N分別是邊BC，AB上的動點，沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點B′始終落在邊AC上，假設△MB′C為直角三角形，那么BM的長為+或1．【分析】①如圖1，當∠B′MC=90°，B′與A重合，M是BC的中點，于是得到結(jié)論；②如圖2，當∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到CM=MB′，列方程即可得到結(jié)論．【解答】解：①如圖1，當∠B′MC=90°，B′與A重合，M是BC的中點，∴BM=BC=+；②如圖2，當∠MB′C=90°，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM=MB′，∵沿MN所在的直線折疊∠B，使點B的對應點B′，∴BM=B′M，∴CM=BM，∵BC=+1，∴CM+BM=BM+BM=+1，∴BM=1，綜上所述，假設△MB′C為直角三角形，那么BM的長為+或1，故答案為：+或1．【點評】此題考查了翻折變換﹣折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．三、解答題〔此題共8個小題，總分值75分〕16．〔8分〕〔2023?河南〕先化簡，再求值：〔2x+y〕2+〔x﹣y〕〔x+y〕﹣5x〔x﹣y〕，其中x=+1，y=﹣1．【分析】首先化簡〔2x+y〕2+〔x﹣y〕〔x+y〕﹣5x〔x﹣y〕，然后把x=+1，y=﹣1代入化簡后的算式，求出算式的值是多少即可．【解答】解：〔2x+y〕2+〔x﹣y〕〔x+y〕﹣5x〔x﹣y〕=4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy=9xy當x=+1，y=﹣1時，原式=9〔+1〕〔﹣1〕=9×〔2﹣1〕=9×1=9【點評】此題主要考查了整式的混合運算﹣化簡求值問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：先按運算順序把整式化簡，再把對應字母的值代入求整式的值．17．〔9分〕〔2023?河南〕為了了解同學們每月零花錢的數(shù)額，校園小記者隨機調(diào)查了本校局部同學，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出了如下兩個尚不完整的統(tǒng)計圖表．調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計表組別分組〔單位：元〕人數(shù)A0≤x＜304B30≤x＜6016C60≤x＜90aD90≤x＜120bEx≥1202請根據(jù)以上圖表，解答以下問題：〔1〕填空：這次被調(diào)查的同學共有50人，a+b=28，m=8；〔2〕求扇形統(tǒng)計圖中扇形C的圓心角度數(shù)；〔3〕該校共有學生1000人，請估計每月零花錢的數(shù)額x在60≤x＜120范圍的人數(shù)．【分析】〔1〕根據(jù)B組的頻數(shù)是16，對應的百分比是32%，據(jù)此求得調(diào)查的總?cè)藬?shù)，利用百分比的意義求得b，然后求得a的值，m的值；〔2〕利用360°乘以對應的比例即可求解；〔3〕利用總?cè)藬?shù)1000乘以對應的比例即可求解．【解答】解：〔1〕調(diào)查的總?cè)藬?shù)是16÷32%=50〔人〕，那么b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20，A組所占的百分比是=8%，那么m=8．a(chǎn)+b=8+20=28．故答案是：50，28，8；〔2〕扇形統(tǒng)計圖中扇形C的圓心角度數(shù)是360°×=144°；〔3〕每月零花錢的數(shù)額x在60≤x＜120范圍的人數(shù)是1000×=560〔人〕．【點評】此題考查了扇形統(tǒng)計圖，觀察統(tǒng)計表、扇形統(tǒng)計圖獲得有效信息是解題關(guān)鍵，扇形統(tǒng)計圖直接反映局部占總體的百分比大?。?8．〔9分〕〔2023?河南〕如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，過點C作CF∥AB，與過點B的切線交于點F，連接BD．〔1〕求證：BD=BF；〔2〕假設AB=10，CD=4，求BC的長．【分析】〔1〕根據(jù)圓周角定理求出BD⊥AC，∠BDC=90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得出AB⊥BF，求出∠ACB=∠FCB，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出即可；〔2〕求出AC=10，AD=6，根據(jù)勾股定理求出BD，再根據(jù)勾股定理求出BC即可．【解答】〔1〕證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA=90°，∴BD⊥AC，∠BDC=90°，∵BF切⊙O于B，∴AB⊥BF，∵CF∥AB，∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=∠FCB，∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD=BF；〔2〕解：∵AB=10，AB=AC，∴AC=10，∵CD=4，∴AD=10﹣4=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD==8，在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC==4．【點評】此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，角平分線性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵．19．〔9分〕〔2023?河南〕如下圖，我國兩艘海監(jiān)船A，B在南海海域巡航，某一時刻，兩船同時收到指令，立即前往救援遇險拋錨的漁船C，此時，B船在A船的正南方向5海里處，A船測得漁船C在其南偏東45°方向，B船測得漁船C在其南偏東53°方向，A船的航速為30海里/小時，B船的航速為25海里/小時，問C船至少要等待多長時間才能得到救援？〔參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.41〕【分析】如圖作CE⊥AB于E．設AE=EC=x，那么BE=x﹣5，在Rt△BCE中，根據(jù)tan53°=，可得=，求出x，再求出BC、AC，分別求出A、B兩船到C的時間，即可解決問題．【解答】解：如圖作CE⊥AB于E．在Rt△ACE中，∵∠A=45°，∴AE=EC，設AE=EC=x，那么BE=x﹣5，在Rt△BCE中，∵tan53°=，∴=，解得x=20，∴AE=EC=20，∴AC=20=28.2，BC==25，∴A船到C的時間≈=0.94小時，B船到C的時間==1小時，∴C船至少要等待0.94小時才能得到救援．【點評】此題考查解直角三角形的應用﹣方向角問題、銳角三角函數(shù)、速度、時間、路程之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學會構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型．20．〔9分〕〔2023?河南〕如圖，一次函數(shù)y=﹣x+b與反比例函數(shù)y=〔x＞0〕的圖象交于點A〔m，3〕和B〔3，1〕．〔1〕填空：一次函數(shù)的解析式為y=﹣x+4，反比例函數(shù)的解析式為y=；〔2〕點P是線段AB上一點，過點P作PD⊥x軸于點D，連接OP，假設△POD的面積為S，求S的取值范圍．【分析】〔1〕先將B〔3，1〕代入反比例函數(shù)即可求出k的值，然后將A代入反比例函數(shù)即可求出m的，再根據(jù)B兩點的坐標即可求出一次函數(shù)的解析式．〔2〕設P的坐標為〔x，y〕，由于點P在直線AB上，從而可知PD=y，OD=x，由題意可知：1≤x≤3，從而可求出S的范圍【解答】解：〔1〕將B〔3，1〕代入y=，∴k=3，將A〔m，3〕代入y=，∴m=1，∴A〔1，3〕，將A〔1，3〕代入代入y=﹣x+b，∴b=4，∴y=﹣x+4〔2〕設P〔x，y〕，由〔1〕可知：1≤x≤3，∴PD=y=﹣x+4，OD=x，∴S=x〔﹣x+4〕，∴由二次函數(shù)的圖象可知：S的取值范圍為：≤S≤2故答案為：〔1〕y=﹣x+4；y=．【點評】此題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，此題屬于中等題型．21．〔10分〕〔2023?河南〕學?！鞍僮兡Х建暽鐖F準備購置A，B兩種魔方，購置2個A種魔方和6個B種魔方共需130元，購置3個A種魔方和4個B種魔方所需款數(shù)相同．〔1〕求這兩種魔方的單價；〔2〕結(jié)合社員們的需求，社團決定購置A，B兩種魔方共100個〔其中A種魔方不超過50個〕．某商店有兩種優(yōu)惠活動，如下圖．請根據(jù)以上信息，說明選擇哪種優(yōu)惠活動購置魔方更實惠．【分析】〔按買3個A種魔方和買4個B種魔方錢數(shù)相同解答〕〔1〕設A種魔方的單價為x元/個，B種魔方的單價為y元/個，根據(jù)“購置2個A種魔方和6個B種魔方共需130元，購置3個A種魔方和4個B種魔方所需款數(shù)相同〞，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；〔2〕設購進A種魔方m個〔0＜m≤50〕，總價格為w元，那么購進B種魔方〔100﹣m〕個，根據(jù)兩種活動方案即可得出w活動一、w活動二關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再分別令w活動一＜w活動二、w活動一=w活動二和w活動一＞w活動二，解出m的取值范圍，此題得解．〔按購置3個A種魔方和4個B種魔方需要130元解答〕〔1〕設A種魔方的單價為x元/個，B種魔方的單價為y元/個，根據(jù)“購置2個A種魔方和6個B種魔方共需130元，購置3個A種魔方和4個B種魔方所需款數(shù)相同〞，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；〔2〕設購進A種魔方m個〔0＜m≤50〕，總價格為w元，那么購進B種魔方〔100﹣m〕個，根據(jù)兩種活動方案即可得出w活動一、w活動二關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再分別令w活動一＜w活動二、w活動一=w活動二和w活動一＞w活動二，解出m的取值范圍，此題得解．【解答】〔按買3個A種魔方和買4個B種魔方錢數(shù)相同解答〕解：〔1〕設A種魔方的單價為x元/個，B種魔方的單價為y元/個，根據(jù)題意得：，解得：．答：A種魔方的單價為20元/個，B種魔方的單價為15元/個．〔2〕設購進A種魔方m個〔0＜m≤50〕，總價格為w元，那么購進B種魔方〔100﹣m〕個，根據(jù)題意得：w活動一=20m×0.8+15〔100﹣m〕×0.4=10m+600；w活動二=20m+15〔100﹣m﹣m〕=﹣10m+1500．當w活動一＜w活動二時，有10m+600＜﹣10m+1500，解得：m＜45；當w活動一=w活動二時，有10m+600=﹣10m+1500，解得：m=45；當w活動一＞w活動二時，有10m+600＞﹣10m+1500，解得：45＜m≤50．綜上所述：當m＜45時，選擇活動一購置魔方更實惠；當m=45時，選擇兩種活動費用相同；當m＞45時，選擇活動二購置魔方更實惠．〔按購置3個A種魔方和4個B種魔方需要130元解答〕解：〔1〕設A種魔方的單價為x元/個，B種魔方的單價為y元/個，根據(jù)題意得：，解得：．答：A種魔方的單價為26元/個，B種魔方的單價為13元/個．〔2〕設購進A種魔方m個〔0＜m≤50〕，總價格為w元，那么購進B種魔方〔100﹣m〕個，根據(jù)題意得：w活動一=26m×0.8+13〔100﹣m〕×0.4=15.6m+520；w活動二=26m+13〔100﹣m﹣m〕=1300．當w活動一＜w活動二時，有15.6m+520＜1300，解得：m＜50；當w活動一=w活動二時，有15.6m+520=1300，解得：m=50；當w活動一＞w活動二時，有15.6m+520＞1300，不等式無解．綜上所述：當0＜m＜50時，選擇活動一購置魔方更實惠；當m=50時，選擇兩種活動費用相同．【點評】此題考查了二元一次方程組的應用、一次函數(shù)的應用、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：〔1〕找準等量關(guān)系，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組；〔2〕根據(jù)兩種活動方案找出w活動一、w活動二關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．22．〔10分〕〔2023?河南〕如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．〔1〕觀察猜測圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是PM=PN，位置關(guān)系是PM⊥PN；〔2〕探究證明把△ADE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；〔3〕拓展延伸把△ADE繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，假設AD=4，AB=10，請直接寫出△PMN面積的最大值．【分析】〔1〕利用三角形的中位線得出PM=CE，PN=BD，進而判斷出BD=CE，即可得出結(jié)論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出結(jié)論；〔2〕先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同〔1〕的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同〔1〕的方法即可得出結(jié)論；〔3〕方法1、先判斷出MN最大時，△PMN的面積最大，進而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面積公式即可得出結(jié)論．方法2、先判斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD=14，即可．【解答】解：〔1〕∵點P，N是BC，CD的中點，∴PN∥BD，PN=BD，∵點P，M是CD，DE的中點，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM=PN，PM⊥PN，〔2〕由旋轉(zhuǎn)知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE〔SAS〕，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同〔1〕的方法，利用三角形的中位線得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同〔1〕的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同〔1〕的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，〔3〕如圖2，同〔2〕的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大時，△PMN的面積最大，∴DE∥BC且DE在頂點A上面，∴MN最大=AM+AN，連接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，∴MN最大=2+5=7，∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×〔7〕2=．方法2、由〔2〕知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，∴PM最大時，△PMN面積最大，∴點D在AB的延長線上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=PM2=×72=【點評】此題是幾何變換綜合題，主要考查了三角形的中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判斷和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解〔1〕的關(guān)鍵是判斷出PM=CE，PN=BD，解〔2〕的關(guān)鍵是判斷出△ABD≌△ACE，解〔3〕的關(guān)鍵是判斷出MN最大時，△PMN的面積最大，是一道中考常考題．23．〔11分〕〔2023?河南〕如圖，直