《平面向量的數(shù)量積》設(shè)計市賽獲獎

《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計（2）課題《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)知識與技能了解平面向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功．過程與方法掌握平面向量數(shù)量積的定義和運算律，理解其幾何意義．情感態(tài)度價值觀會用兩個向量的數(shù)量積求兩個向量的夾角以及判斷兩個向量是否垂直．重點向量的數(shù)量積是一種新的乘法，和向量的線性運算有著顯著的區(qū)別.難點向量的數(shù)量積與實數(shù)的乘積既有區(qū)別又有聯(lián)系.教學(xué)重點1課時教學(xué)設(shè)計教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)與活動設(shè)計探究點一平面向量數(shù)量積的含義已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a與b的夾角，θ∈[0，π]．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.問題1如果一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W＝_________＝___.問題2向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不再是向量．對于兩個非零向量a與b.當(dāng)θ∈_________時，a·b>0；當(dāng)_________時，a·b＝0，即a⊥b；當(dāng)θ∈_________時，a·b<0.探究點二投影問題1我們把|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影，其中θ為向量a與b的夾角．由數(shù)量積的定義a·b＝|a||b|cosθ可得：|a|cosθ＝；|b|cosθ＝.例如，|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角θ＝120°，則a在b方向上的投影為，b在a方向上的投影為.探究點三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)根據(jù)向量數(shù)量積的定義，補(bǔ)充完整數(shù)量積的性質(zhì)．設(shè)a與b都是非零向量，θ為a與b的夾角．(1)當(dāng)〈a，b〉＝0時，a·b＝；當(dāng)〈a，b〉＝π時，a·b＝；當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a·b＝；(2)a·a＝或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(3)cosθ＝；(4)|a·b||a||b|.【典型例題】例1已知|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為30°時，分別求a與b的數(shù)量積．解(1)a∥b，若a與b同向，則θ＝0°，a·b＝|a|·|b|·cos0°＝4×5＝20；若a與b反向，則θ＝180°，∴a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20當(dāng)a⊥b時，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.當(dāng)a與b的夾角為30°時，a·b＝|a|·|b|cos30°＝4×5×eq\f(\r(3),2)＝10eq\r(3).跟蹤訓(xùn)練1已知|a|＝4，|b|＝3，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為60°時，分別求a與b的數(shù)量積．解(1)當(dāng)a∥b時，若a與b同向，則a與b的夾角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cosθ＝4×3×cos0°＝12.若a與b反向，則a與b的夾角為θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝4×3×(－1)＝－12.當(dāng)a⊥b時，向量a與b的夾角為90°，∴a·b＝|a||b|cos90°＝4×3×0＝0.當(dāng)a與b的夾角為60°時，∴a·b＝|a||b|cos60°＝4×3×eq\f(1,2)＝6.解a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×eq\f(1,2)＝eq\f(25,2).|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq\r(3).|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝eq\r(25－2×\f(25,2)＋25)＝5.跟蹤訓(xùn)練2已知|a|＝8，|b|＝6，|a＋b|＝10，求向量a與b的夾角θ.解∵|a|＝8，|b|＝6.∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝82＋62＋2a·b＝100，∴a·b＝0，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝0，∴θ＝eq\f(π,2).教學(xué)小結(jié)兩向量a與b的數(shù)量積是一個