高數(shù)考研輔導課件指導方法上

高等數(shù)學考研輔導主講教師:王升瑞第一講1唯有奮斗最風流!惜時如金2科技人才中具有獨特的、不可替代的重要作用。數(shù)學不僅是一種工具，而且是一種思維模式；不僅是一種知識，而且是一種素養(yǎng)；不僅是一種科學，而且是一種文化，能否運用數(shù)學觀念定量思維是衡量民族科學文化的一個重要標志，數(shù)學教育在培養(yǎng)高素質(zhì)3培根說：歷史使人聰明，詩歌使人機智，數(shù)學使人精細。馬克思：一門科學只有當它達到了能夠成功地運用數(shù)學，才算真正發(fā)展了。伽利略認為：宇宙像一本用數(shù)學語言寫成的大書，如果不掌握數(shù)學的語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，華羅庚：數(shù)學是最寶貴的研究精神之一?？茖W家語錄什么也看不清。勤能補拙是良訓，一分辛苦一分才。4此刻打盹，你將做夢，學習時的痛苦是暫時的，未學到的痛苦是終身的；學習這件事，不是缺乏時間，學習不是人生的全部，請享受無法回避的痛苦；哈佛圖書館的訓誡但是人生的一部分;只有比別人更早，更勤奮的努力，此刻學習，你將圓夢；而是缺乏努力；學習也無法征服，還能做什么呢？才能嘗到成功的滋味；5誰也不能隨隨便便成功，狗一樣地學習，紳士一樣地玩；今天不走，明天要跑；教育程度代表收入；哈佛圖書館的訓誡沒有艱辛，便無所獲。它來自徹底的自我管理和毅力；即使現(xiàn)在，對手也不停地翻動書頁；6一提到數(shù)學，很多人首先想到的是復(fù)雜的公式、大量的計算、漫天的數(shù)字數(shù)據(jù)、還有百思不得其解數(shù)學題。對數(shù)學產(chǎn)生畏懼、反彈心理。

這與中國的高中教育偏重于對于知識的灌輸，而非對于知識的掌握密切相關(guān)?；趹?yīng)試的壓力，數(shù)學教育尤其容易演變?yōu)楣潭愋偷念}海戰(zhàn)術(shù)，某種意義上的死記硬背，而非激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，這在根本上就是與數(shù)學教育相背道而馳的。甚至成為這樣使學生7其實數(shù)學背后的思想，

精髓。數(shù)學的證明方法才是數(shù)學的都是約定俗成、極少歧義的概念。數(shù)學學習關(guān)注的是邏輯推演能力。數(shù)學是一種表述簡潔、清晰、歧義較少的邏輯體系。在數(shù)學中，不僅各種數(shù)字、函數(shù)，就連加、減、乘、除，大于、小于、等于，以及指數(shù)、導數(shù)、積分等符號本身，也用清晰、直觀的坐標或圖形表達比較復(fù)雜的邏輯關(guān)系。而幾何方法，更是能學習的目的是得到某種確定感和安全感，8科學方法是打開科學殿堂大門的鑰匙

,是由必然王國通向自由王國的橋梁。數(shù)學方法是數(shù)學的靈魂高等數(shù)學方法

（上）9目錄第一講高等數(shù)學中的分析問題和解決問題方法第二講研究函數(shù)與極限的基本方法第三講導數(shù)的計算方法及微分中值定理應(yīng)用第四講導數(shù)應(yīng)用的方法第五講積分學的概念、性質(zhì)和不定積分的計算法第六講定積分的計算、證明和解應(yīng)用問題的方法第七講試題類型及解題方法分析10前言一.為什么要學“高等數(shù)學方法”1.科學方法的重要性科學是什么,為什么:技術(shù)做什么,怎么做:科學方法橋梁與鑰匙。反映自然、社會、思維的客觀規(guī)律的分科的知識體系。進行物資資料生產(chǎn)所憑借的方法和能力。11數(shù)學思維的體操科學的語言生活的需要(思路)(表達)(應(yīng)用)數(shù)學方法對數(shù)學規(guī)律的認識思維方法解題方法(是數(shù)學的靈魂)2.數(shù)學方法的含義12二.“高等數(shù)學方法”的學習方法1.掌握數(shù)學內(nèi)容和數(shù)學方法相結(jié)合；2.重視分析問題和解決問題的方法；3.學習要縱橫結(jié)合,著眼于提高數(shù)學素養(yǎng)。13第一講高等數(shù)學中的

分析問題和

解決問題

方法14一.數(shù)學模型及數(shù)學建模方法數(shù)學模型客觀實際問題內(nèi)在規(guī)律性的數(shù)學具有形式化、符號化、簡潔化的特點.是一種高度抽象的模型.有狹義和廣義兩種解釋.數(shù)學建模方法實驗歸納法理論分析法物理模型數(shù)學模型求解和分析結(jié)構(gòu).許多物理中的概念都要借助于高等數(shù)學中的數(shù)學結(jié)構(gòu)才能說的清楚。15可無限逼近例如,為什么用及語言定義極限?

用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積A

.圓內(nèi)接正n邊形的面積為(正整數(shù)),當時,有記作精度要求邊數(shù)足夠多找出利用極限知識可求出:16

測量圓面積直接觀測量為r間接觀測量為A.半徑真值為面積真值為測量圓半徑得計算圓面積為任給精度要使尋找精度讓記作17再如

,椅子穩(wěn)定問題假設(shè):

四條腿一樣長;地面為連續(xù)曲面.建模:設(shè)A,C

兩腳與地面的距離之和為B,D

兩腳與地面的距離之和為不妨設(shè)且對任意有證明存在使18證明:

設(shè)又由連續(xù)函數(shù)零點定理可知,存在使即又知所以思考:

對長方形板凳的穩(wěn)定問題如何考慮?不妨設(shè)且對任意有證明存在使（轉(zhuǎn)后，對角線互換）。19二.幾種常用的分析問題的方法1.簡化方法2.直觀分析法3.逆向分析法4.類比法1.簡化方法復(fù)雜問題簡單問題分解法變換法換元法遞推法轉(zhuǎn)化法20常用幾個的初等函數(shù)公式2122單調(diào)遞減。提示:令則轉(zhuǎn)化為討論下述函數(shù)在t>0

時單調(diào)遞減.注意說明1.與具有相同的極值點,故可用后者代替前者討論極值

2.有些復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題,可利用組成它的簡單例1.證明問題與單調(diào)性問題.函數(shù)鏈的單調(diào)性傳遞得出..23設(shè),求提示：將函數(shù)化為則例2.242.直觀分析法?通過特例或圖形，尋找規(guī)律、方法和結(jié)論.?與幾何形體有關(guān)的問題應(yīng)盡量畫圖尋求啟示.?有關(guān)幾何應(yīng)用畫出圖形找?guī)缀侮P(guān)系.?填空題和選擇題可用增強條件的方法找結(jié)論.25拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導至少存在一點使思路:利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導,且證:問題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點即定理結(jié)論成立.證畢26漸近線若則有水平漸近線若則有垂直漸近線若則有斜漸近線27例1.如何求函數(shù)的斜漸近線分析:由圖可知,若曲線有斜漸近線則必有從而28例2

求曲線的斜漸近線。解:所以曲線有斜漸近線29的斜漸近線方程。解

所求斜漸近線方程為例3、求曲線2005考研30例4曲線漸近線的條數(shù)（

）；A、1；B、2；C、D、3.則為垂直漸近線；，則為水平漸近線，解2012考研故沒有斜漸近線。31例5.

解:下列曲線有漸近線的是（）B、C、D、所以存在斜漸近線A、C(2014考研1)32在上連續(xù),在內(nèi)存在,連接兩點的直線交曲線于且試證至少存在一點使提示:如圖所示,有在上應(yīng)用Rolle定理。C對（P118題7）例6.已知33逆向思維?反推–執(zhí)果溯因?反證–利用正命題與逆否命題等價，?反例–找反例說明原命題不正確3.逆向分析法多用于否命題。34設(shè)函數(shù)在[0,1]上二階可導,且證明至少存在一點,使提示:設(shè)輔助函數(shù)在[0,1]上滿足

Rolle

定理,可知有,再對F(x)在從結(jié)論入手,注意到利用上用Rolle

定理.例1.35在上連續(xù),在內(nèi)可導,且,試證存在使得提示:轉(zhuǎn)化為證上滿足拉格朗日定理條件,使則只需證明可見只要對上用Cauchy

中值定理.(考研1998)由于在則有及在例2.設(shè)函數(shù)36無實根.(P451例7)提示:用反證法.假設(shè)有實根代入上式兩邊異號,矛盾,假設(shè)不真!利用顯然則有例3.

證明方程37高等數(shù)學方法主講教師:

王升瑞第二講38類比是找相似性,是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要方法。4.類比方法計算極限提示:類比下列極限例1(P453例9)39計算極限提示:類比下列極限例1(P453例9)40三.幾種常用的證題方法1.分析綜合法2.設(shè)輔助函數(shù)法3.反證法證明題是考核基本理論、基本運算掌握情況和邏輯推理能力的重要題型通過“執(zhí)果溯因”尋找證明的途徑,利用“由因?qū)Ч睂懗鲎C明過程.1.分析綜合法41設(shè)為正實數(shù),試證提示:為上的上凹函數(shù)在上，(P473例12)例1.滿足42設(shè),求證提示:方法1.設(shè)證明它在單調(diào)增;方法2.設(shè)證明它在單調(diào)減。例2.43在上可導,且,證明至少存在一點使提示:因為可考慮對函數(shù)在區(qū)間[a,b]上用Cauchy

中值定理.(P81例10)例3設(shè)44利用輔助函數(shù)證明等式或不等式是一種重要的證明方法.如:尋找輔助函數(shù)一般用逆向分析法.通過設(shè)輔助函數(shù),利用微分或積分中值定理證明等式或方程零點的存在.通過討論輔助函數(shù)的單調(diào)性或最值,證明相關(guān)不等式.2.設(shè)輔助函數(shù)方法45例1.設(shè)在上連續(xù)且可導,并有n

個不同的零點，證明:

對任意常數(shù)a,在上至少有提示:設(shè)輔助函數(shù)在上用Rolle

定理.

n-1個不同的零點.46設(shè)函數(shù)和在上二階可導,且提示:只要證且依據(jù)乘積導數(shù)法則想到設(shè)輔助函數(shù)(用反證法)再證明上滿足

Rolle

定理條件試證至少存在一點使(P475例15,考研95)例2.即473.反證法反證法是一種逆向分析方法,是通過否定命題的結(jié)論,引導出與題設(shè)條件或已知結(jié)論矛盾的結(jié)果來證明明原命題的正確性.反證法多適用于直接推證時已有知識點較少或比較困難的命題.如果所證結(jié)論中含有“不可能”、“不存在”、“至多”、“至少”