初中數(shù)學(xué)專題規(guī)律探索型問題課件

規(guī)律探索黃店鎮(zhèn)中學(xué)九年級數(shù)學(xué)組王志海

規(guī)律探索型問題:就是對材料信息的加工提煉和運(yùn)用，從而得出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，或者將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型的一類問題。對規(guī)律歸納和發(fā)現(xiàn)能反映出一個人的應(yīng)用數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)和進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)新的意識和能力。求解規(guī)律探索型問題要求學(xué)生有敏銳的觀察力，能從特殊的情況出發(fā)，經(jīng)過周密的思考，全面的分析，去推得一般的結(jié)論。這類試題意在檢測解題者駕馭數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識和才能，因此，成為了這幾年的熱點(diǎn)內(nèi)容。

一、新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求

新課程標(biāo)準(zhǔn)指出：課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計(jì)觀念，以及應(yīng)用意識與推理能力。推理能力主要表現(xiàn)在：能通過背景材料，進(jìn)行觀察、比較、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比、抽象和推理等獲得數(shù)學(xué)猜想，探索數(shù)、形及實(shí)際問題中蘊(yùn)含的關(guān)系和規(guī)律，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，提高運(yùn)用代數(shù)知識與方法解決問題的能力。在新課程標(biāo)準(zhǔn)“教學(xué)建議”中還指出：對規(guī)律探索型問題的教學(xué)應(yīng)該采用“問題情境——建立模型——解釋應(yīng)用和拓展”的模式展開。以問題引導(dǎo)思維，內(nèi)容的呈現(xiàn)突出以下幾個特點(diǎn)：

1.通過具有吸引力的探索活動和現(xiàn)實(shí)生活中的問題，使學(xué)生初步體會數(shù)學(xué)建模的思想，激發(fā)好奇心和主動學(xué)習(xí)的欲望。2.把知識的學(xué)習(xí)置于具體的情境中，通過豐富的例子使學(xué)生經(jīng)歷從自然語言到符號語言和圖表語言的雙向交流。關(guān)注學(xué)生能否用不同的語言表達(dá)、交流自己的想法。3.根據(jù)“回想——聯(lián)想——猜想”的思維過程，對難點(diǎn)進(jìn)行層層鋪墊，使學(xué)生經(jīng)歷探索過程與思維升華的過程，感受自我奮斗后成功的喜悅。例：完成下列計(jì)算：1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？1+3+5+7+9=？根據(jù)計(jì)算結(jié)果，探索規(guī)律。教學(xué)中，首先應(yīng)讓學(xué)生思考：從上面這些算式中你能發(fā)現(xiàn)什么？讓學(xué)生經(jīng)歷觀察（每個算式和結(jié)果的特點(diǎn)）、比較（不同算式之間的異同）歸納（可能具有的規(guī)律）、提出猜想的過程。教學(xué)中，不僅注重學(xué)生是否找到了規(guī)律，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否進(jìn)行了思考。

如果學(xué)生一時未能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，教師可以鼓勵學(xué)生相互合作交流，進(jìn)一步探索，教師也可以提供一些幫助。如列出如下點(diǎn)陣，以使學(xué)生從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1+3=4=21+3+5=9=31+3+5+7=16=41+3+5+7+9=25=5進(jìn)而鼓勵學(xué)生推測出1+3+5+7+9+……+19=10此后教師還可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，把這個問題進(jìn)一步推廣到一半的情形，推出1+3+5+7+9+……+（2n+1）=(n+1)，這個一般性的結(jié)論。在這樣的學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生不僅能主動地獲取知識，而且能不斷豐富數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會探索，學(xué)會學(xué)習(xí)。

222222例題字母表示數(shù)”中有這樣幾個例題：一首永遠(yuǎn)唱不完的兒歌，你能用字母表示這首兒歌嗎？1只青蛙1張嘴，2只眼睛，4條腿，1聲撲通跳下水；2只青蛙2張嘴，4只眼睛，8條腿，2聲撲通跳下水；3只青蛙3張嘴，6只眼睛，12條腿，3聲撲通跳下水；…_____只青蛙_____張嘴，_____只眼睛，_____條腿，______聲撲通跳下水說明：以一首富有童趣的兒歌，使學(xué)生體會到現(xiàn)實(shí)生活的規(guī)律性，以及用數(shù)學(xué)式子表示現(xiàn)實(shí)規(guī)律的可行性與應(yīng)用性。充分滲透“利用環(huán)境學(xué)習(xí)”的設(shè)計(jì)思想。1.如圖，用火柴棒擺X個正方形需

根火柴棒。說明：由學(xué)生比較熟悉的正方形開始，鼓勵學(xué)生自主探索，合作交流，經(jīng)歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程。幾種解法，如下：3、按照下圖的擺法擺放餐桌和椅子完成表格：桌子張數(shù)123…N可坐人數(shù)

按照下圖的擺法擺放餐桌和椅子完成表格：桌子張數(shù)123…N可坐人數(shù)

說明：新穎的問題可以立刻吸引學(xué)生的注意力，我們需要的是等待學(xué)生討論后的完美答案。因此要一步步加大題目的開放性，不僅在探索過程中培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造能力，也使之對數(shù)學(xué)的生活化和生活的數(shù)學(xué)化都有較好的體驗(yàn)。探索問題。若你是一家餐廳的大堂經(jīng)理，由你負(fù)責(zé)在一個寬敞明亮的大廳里組織一次規(guī)模盛大的西式冷餐會，你會選擇哪種餐桌的擺法？訓(xùn)練：1、在這個日歷表中，套色方框中的9個數(shù)，問日一二三四五六

12345678910111213141516171819202122232425262728293031

（1）日歷表中，套色方框中的9個數(shù)之和與該方框中間的數(shù)額有什么關(guān)系？（2）這個關(guān)系對其他這樣的方框成立嗎？你能用代數(shù)式表示這個關(guān)系嗎？（3）（4）略2、用火柴棒搭三角形

完成下表：三角形的個數(shù)123…N火柴棒的個數(shù)

3、用火柴棒搭下面的圖形完成下表：

四邊形的個數(shù)123…N火柴棒的個數(shù)

4、用棋子擺出下列一組圖形完成下表：5、下面是用棋子擺成的小屋子圖形編號123…N棋子個數(shù)

完成下表：圖形編號123…N棋子個數(shù)

6、楊輝三角7、觀察下列圖形回答問題：（1）如上圖，第n個圖形中有多少個小正方形？你是如何計(jì)算的？（2）求1+3，1+3+5，1+3+5+7，1+3+5+7+9，……，1+3+5+7+9+……+（2n+1）.

8、如下圖（1）完成下表：邊上圓圈數(shù)12345小圓圈總數(shù)

（

2）如果用n表示等邊三角形邊上的小圓圈數(shù)，m表示這個三角形中小圓圈總數(shù)，那么m和n的關(guān)系是什么？m=1+2+3+……+n=n(n+1)/29、如下圖（1）完成下表：邊上圓圈數(shù)12345小圓圈總數(shù)

（

2）如果用n表示正六邊形邊上的小圓圈數(shù)，m表示這個正六邊形中小圓圈總數(shù)，那么m和n的關(guān)系是什么？m=1+6+12+18+……+6(n-1)=1+6(1+2+3+……+(n-1))=1+3n(n-1)說明：由學(xué)生比較熟悉的圖形開始，鼓勵學(xué)生自主探索，合作交流，經(jīng)歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程。以上的三組題目逐層遞進(jìn)。根據(jù)圖形的變化，幫助學(xué)生了解探索規(guī)律過程中變量和常量的不同作用，可以使學(xué)生初嘗成功的喜悅。通過探索變量和常量的關(guān)系，初步建立這一類有規(guī)律遞增問題的數(shù)學(xué)模型。三、中考試題類型

（一）數(shù)式規(guī)律探究

（二）圖形規(guī)律探索（三）猜想數(shù)值結(jié)果（四）閱讀理解型探究規(guī)律（一）數(shù)式規(guī)律探究

通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后讓你探索其中蘊(yùn)含的規(guī)律。

例如：1、(2003舟山)古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性，則第24個三角形數(shù)與第22個三角形數(shù)的差為

.2、已知：這一類題的一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。（a，b為正整數(shù)），則a+b=___.（二）圖形規(guī)律探索根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化情況，從中總結(jié)出圖形的變化所反映的規(guī)律。其中以圖形為載體的數(shù)字規(guī)律最為常見。例如：1.(2005濱州)下圖是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子．

觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個小房子用了

塊石子．

2.(2004河北)如圖：是用火柴棍擺出的一系列三角形圖案，按這種方式擺下去，當(dāng)每邊上擺20（即＝20）根時，需要的火柴棍總數(shù)為

根。解決這種圖形規(guī)律探索的問題，需要把圖形中的有關(guān)數(shù)量關(guān)系表達(dá)出來，在對所列關(guān)系進(jìn)行對照，仿照數(shù)式規(guī)律探索的方法得到最終的結(jié)論。（三）猜想數(shù)值結(jié)果當(dāng)一些條件改變的前提下，結(jié)果的數(shù)值不變，或者其變化規(guī)律呈現(xiàn)出某種特征時，可以猜想在新的條件下，數(shù)值仍然不變，或者仍然按照原來的特征變化，依此猜想到結(jié)果的數(shù)值。例如：1、如圖，在梯形ABCD中AB∥CD,AB=b,CD=a,E為AD邊上的一點(diǎn)，EF∥AB，且EF交BC于點(diǎn)F，某同學(xué)在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：(1)當(dāng)DE/AE=1時，有EF=(a+b)/2；(2)當(dāng)DE/AE=2時，有EF=(a+2b)/3；(3)當(dāng)DE/AE=3時，有EF=(a+3b)/4；當(dāng)DE/AE=k時，參照上述結(jié)論，請你猜想用k表示EF的一般結(jié)論，并證明之（四）閱讀理解型探究規(guī)律

閱讀理解類型的問題和一般試題相比較，不僅考察學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解水平，而且考察學(xué)生的閱讀能力，因而試題的篇幅較長，信息量較大。例如：1、閱讀下列材料，然后回答下面的問題；（1）按照上述兩個等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；

（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為任意的自然數(shù)，且n≥2）表示等式，并給出證明。2、(2003青島)在抗擊“非典”的斗爭中，某市根據(jù)疫情的發(fā)展?fàn)顩r，決定全市中、小學(xué)放假兩周，以切實(shí)保障廣大中、小學(xué)生的安全．騰飛中學(xué)初三（1）班的全體同學(xué)在自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)的同時，不忘關(guān)心同學(xué)們的安危，兩周內(nèi)全班每兩個同學(xué)都通過一次電話，互相勉勵，共同提高．如果該班有56名同學(xué)，那么同學(xué)們之間共通了多少次電話？為解決該問題，我們可把該班人數(shù)n與通電話次數(shù)s間的關(guān)系用下列模型來表示：

(1)若把n作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，s作為縱坐標(biāo)，根據(jù)上述模型中的數(shù)據(jù)，在給出的平面直角坐標(biāo)系中，描出相應(yīng)各點(diǎn)，并用平滑的曲線連接起來；(2)根據(jù)坐標(biāo)系中各點(diǎn)的排列規(guī)律，猜一猜上述各點(diǎn)會不會在某一函數(shù)的圖像上？如果在，求出該函數(shù)的解析式；(3)根據(jù)(2)中得出的函數(shù)關(guān)系式，求該班56名同學(xué)間共通了多少次電話．解答這類問題時，首先要消除恐懼心理，其次必須仔細(xì)地閱讀給定的材料，深刻理解其含義，再進(jìn)行分析歸納，弄清材料中揭示了什么數(shù)學(xué)規(guī)律，然后展開聯(lián)想，將