激光原理-第三章

激光原理1

激光原理第三章激光器的輸出特性3.1光學(xué)諧振腔的衍射理論3.2對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布3.3高斯光束的傳輸特性3.4穩(wěn)定球面腔的光束傳輸特性3.5激光器的輸出功率3.6激光器的線寬極限2§3.1光學(xué)諧振腔的衍射理論33.1.1惠更斯-基爾霍夫衍射公式

為了描述波的傳播過程，惠更斯提出了關(guān)于子波的概念，認(rèn)為波面上每一點(diǎn)可看作次球面子波的波源，下一時(shí)刻新的波前形狀由次級(jí)子波的包絡(luò)面所決定。菲涅耳引入干涉的概念，認(rèn)為空間光場(chǎng)是各子波干涉疊加的結(jié)果。4

惠更斯－菲涅耳原理設(shè)波陣面上任一源點(diǎn)的光場(chǎng)復(fù)振幅為，則空間任一觀察點(diǎn)P的光場(chǎng)復(fù)振幅由下列積分式計(jì)算：圖3-1惠更斯-菲涅耳原理式中為源點(diǎn)與觀察點(diǎn)之間的距離；為源點(diǎn)處的波面法線與的夾角；

為光波矢的大小，為光波長；為源點(diǎn)處的面元。

（3－1）53.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程1.自再現(xiàn)模概念“開式”諧振腔的概念自再現(xiàn)模:腔內(nèi)光束經(jīng)多次來回反射后形成的穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布.這種分布不再受衍射的影響,往返一次后能再現(xiàn)出來,光強(qiáng)分布不變,只是光強(qiáng)按同比例減小,相位作相同的滯后.62.自再現(xiàn)模積分方程圖3-2鏡面上場(chǎng)分布的計(jì)算示意圖圖(3-2)所示為一個(gè)圓形鏡的平行平面腔，鏡面M和M’上分別建立了坐標(biāo)軸兩兩相互平行的坐標(biāo)x-y

和x’-y’。利用上式由鏡面M’上的光場(chǎng)分布可以計(jì)算出鏡M上的場(chǎng)分布函數(shù)，即任意一個(gè)觀察點(diǎn)的光場(chǎng)強(qiáng)度。7考慮對(duì)稱開腔的情況，按照自再現(xiàn)模的概念，除了一個(gè)表示振幅衰減和相位移動(dòng)的常數(shù)因子以外，應(yīng)能夠?qū)⒃佻F(xiàn)出來，兩者之間應(yīng)有關(guān)系：

設(shè)為經(jīng)過q次渡越后在某一鏡面上所形成的場(chǎng)分布表示光波經(jīng)過q+1次渡越后，到達(dá)另一鏡面所形成的光場(chǎng)分布，（3－2）（3－3）8綜合上兩式可得：

')cos1()','(4),(')cos1()','(4),(''dseyxuikyxudseyxuikyxuikMikMqqqrpsqrpsrr+=+=--òòòò（3－4）（3－5）9對(duì)于一般的激光諧振腔來說，腔長L與反射鏡曲率半徑R通常都遠(yuǎn)大于反射鏡的線度a，而a又遠(yuǎn)大于光波長。對(duì)上式做兩點(diǎn)近似可得到自再現(xiàn)模所滿足的積分方程：其中

----------積分方程的核。和的下標(biāo)表示該方程存在一系列的不連續(xù)的本征函數(shù)解與本征值解，這說明在某一給定開腔中，可以存在許多不同的自再現(xiàn)模。（3－7）103.積分方程解的物理意義本征函數(shù)的模代表對(duì)稱開腔任一鏡面上的光場(chǎng)振幅分布，幅角則代表鏡面上光場(chǎng)的相位分布。它表示的是在激光諧振腔中存在的穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布，就是自再現(xiàn)模，通常叫做“橫?！?，m、n稱為橫模序數(shù)。圖3-3為各種橫模光斑。(1)本征函數(shù)和激光橫模圖3-3橫模光斑示意圖11(2)本征值和單程衍射損耗、單程相移

:自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越時(shí)所引起的功率損耗。

損耗=衍射損耗+幾何損耗，主要是衍射損耗，稱為單程衍射損耗，用表示。定義為單程衍射損耗與橫模序數(shù)有關(guān)（3－9）12本征值幅角與自再現(xiàn)模腔內(nèi)單程渡越后所引起的總相移有關(guān)。自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中單程渡越所產(chǎn)生的總相移定義為自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中的單程總相移一般并不等于由腔長L所決定的幾何相移，它們的關(guān)系為133.1.3光學(xué)諧振腔諧振頻率和激光縱模1.諧振條件、駐波和激光縱模(1)諧振條件:光波在腔內(nèi)往返一周的總相移應(yīng)等于2的整數(shù)倍，即只有某些特定頻率的光才能滿足諧振條件(2)縱模：每個(gè)q值對(duì)應(yīng)一個(gè)駐波.q為縱模序數(shù)。(3)（3－16）142.縱模頻率間隔腔內(nèi)兩個(gè)相鄰縱模頻率之差稱為縱模的頻率間隔（3－17）15舉例1：10cm腔長的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)（一種，單縱模）舉例2：30cm腔長的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)（三種，多縱模）圖(3-4)腔中允許的縱模數(shù)16理解自再現(xiàn)模概念

本節(jié)重點(diǎn)：激光諧振腔的諧振頻率及激光縱模

§3.2對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布183.2.1共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布1.方形鏡面共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解析解

(1)設(shè)方鏡每邊長為2a，共焦腔的腔長為L，光波波長為λ，并把x，y坐標(biāo)的原點(diǎn)選在鏡面中心而以(x，y)來表示鏡面上的任意點(diǎn)，則在近軸情況下，積分方程有本征函數(shù)近似解析解本征值近似解

Hm(X)和Hn(Y)均為厄密多項(xiàng)式，其表示式為：192.鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征

(1)振幅分布圖(3-5)的變化曲線及相應(yīng)的光強(qiáng)分布20激光模式的符號(hào)：TEMmnq，TEM00是基橫模。m、n的數(shù)值正好分別等于光強(qiáng)在x，y方向上的節(jié)線(光強(qiáng)為零的線)數(shù)目，而且m、n的數(shù)值越大，光場(chǎng)也越向外擴(kuò)展。基橫模TEM00場(chǎng)分布為：鏡面上基模的“光斑有效截面半徑”(2)位相分布:共焦腔反射鏡面本身構(gòu)成光場(chǎng)的一個(gè)等相位面。(3)單程衍射損耗：一般忽略不計(jì)，但是在討論激光器單橫模的選取時(shí)必須考慮單程衍射損耗21(4)單程相移與諧振頻率：圖(3-6)方形鏡共焦腔的振蕩頻譜221.腔內(nèi)的光場(chǎng):通過基爾霍夫衍射公式計(jì)算由鏡面M1上的場(chǎng)分布在腔內(nèi)造成的行波求得。腔外的光場(chǎng):腔內(nèi)沿一個(gè)方向傳播的行波透過鏡面的部分。即行波函數(shù)乘以鏡面的透射率t。3.2.2共焦腔中的行波場(chǎng)與腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布圖3-7計(jì)算腔內(nèi)外光場(chǎng)分布的示意圖232.如圖3-7所示，將鏡面場(chǎng)分布代入基爾霍夫衍射公式可得：圖3-7計(jì)算腔內(nèi)外光場(chǎng)分布的示意圖24方形鏡面對(duì)稱共焦腔鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征

本節(jié)重點(diǎn)：了解方形鏡面對(duì)稱共焦腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布

自再現(xiàn)模積分方程的近似解析解方形鏡共焦腔圓形鏡共焦腔26（1）振幅分布方形鏡共焦腔模的強(qiáng)度花樣圓形鏡共焦腔模的強(qiáng)度花樣鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征TEM00TEM10TEM20

TEM03TEM11TEM31

TEM00TEM10TEM20

TEM01TEM02TEM03

27（2）相位分布共焦腔的反射鏡面本身構(gòu)成光場(chǎng)的一個(gè)等相位面。

由近似解得出兩種共焦腔的單程衍射損耗為零。要具體求其單程衍射損耗，須采用精確解。圓形鏡共焦腔的單程衍射損耗比方形鏡共焦腔大。（3）單程衍射損耗28（4）單程附加相移及諧振頻率方形鏡共焦腔圓形鏡共焦腔29（5）共焦腔內(nèi)的行波場(chǎng)分布方形鏡共焦腔圓形鏡共焦腔30§3.3高斯光束的傳輸特性313.3.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布1.基橫模TEM00的場(chǎng)振幅U00和強(qiáng)度I00分布分別為：2.當(dāng)場(chǎng)振幅為軸上()的值的e-1倍，即強(qiáng)度為軸上的值的e-2倍時(shí)，所對(duì)應(yīng)的橫向距離即z處截面內(nèi)基模的有效截面半徑為；324.3.在共焦腔中心(z＝0)的截面內(nèi)的光斑有極小值，稱為高斯光束的束腰半徑

33圖(3-8)基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化5.基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律變化343.3.2高斯光束的相位分布1.隨坐標(biāo)而變化，與腔的軸線相交于點(diǎn)的等相位的面的方程:35忽略由于z變化引起的的微小變化，用代替，則在腔軸附近有令，則有：表明等位相面在近軸區(qū)域可看成半徑為R0的球面36當(dāng)z0＞0時(shí)，z-z0＜0；而當(dāng)z0＜0時(shí),z-z0＞02.由式子

可知：當(dāng)當(dāng)圖(3-9)共焦腔中等位相面的分布共焦腔反射鏡面是共焦場(chǎng)中曲率最大的等相位面371.遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角(全角):-----雙曲線的兩根漸近線之間的夾角3.3.3高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角382.由波動(dòng)光學(xué)知道，在單色平行光照明下，一個(gè)半徑為r的圓孔夫瑯和費(fèi)衍射角(主極大至第一極小值之間的夾角)。與上式相比較可知．高斯光束半角遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角在數(shù)值上等于以腰斑為半徑的光束的衍射角3.共焦腔基模光束的理論發(fā)散角具有毫弧度量級(jí)，它的方向性相當(dāng)好。4.由于高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大，所以多模振蕩時(shí)，光束的方向性要比單基模振蕩差。39亮度B:單位面積的發(fā)光面在其法線方向上單位立體角范圍內(nèi)輸出的輻射功率。2.一般的激光器是向著數(shù)量級(jí)約為10－6sr的立體角范圍內(nèi)輸出激光光束的。而普通光源發(fā)光(如電燈光)是朝向空間各個(gè)可能的方向的，它的發(fā)光立體角為4πsr。相比之下，普通光源的發(fā)光立體角是激光的約百萬倍。3.3.4高斯光束的高亮度403.高斯光束的主要特征參量：

束腰半徑：波陣面曲率半徑：光束有效截面半徑：鏡面光束半徑：遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角：41掌握基橫模高斯光束的傳播特性本節(jié)重點(diǎn)：作業(yè)：

1，5，6，7

§3.4穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性433.4.1穩(wěn)定球面腔的等價(jià)共焦腔1.任意一個(gè)滿足穩(wěn)定性條件的球面腔只可唯一地與一個(gè)共焦腔等價(jià)。

2.假設(shè)雙凹腔兩鏡面M1與M2的曲率半徑分別為R1和R2，腔長為L，而所要求的等價(jià)共焦腔的共焦參數(shù)為f。以等價(jià)共焦腔中點(diǎn)為z坐標(biāo)的原點(diǎn)。M1、M2兩鏡的z坐標(biāo)為z1和z2。如圖(3-10)所示。則有：圖(3-10)球面腔的等價(jià)共焦腔443.如果R1、R2、L滿足，不難證明z1＜0、z2＞0、f＞0，這說明給定穩(wěn)定球面腔可唯一確定一個(gè)等價(jià)共焦腔。（3－48a）（3－48b）（3－48c）453.4.2穩(wěn)定球面腔的光束傳播特性1.等效共焦腔的束腰半徑和原球面腔鏡面的基橫模光束有效截面半徑(1)等效共焦腔的束腰半徑（3－49）46(2)原球面腔鏡面的基橫模光束有效截面半徑（3－50）472.諧振頻率(1)方形鏡一般穩(wěn)定球面腔的兩個(gè)反射鏡面頂點(diǎn)處的位相因子分別為：48(3)圓形鏡一般穩(wěn)定腔的諧振頻率(2)按諧振條件，單程總相移必須滿足，則有：（3－53）（3－54）49腔穩(wěn)定球面腔基橫模高斯光束的傳播特性本節(jié)重點(diǎn)：作業(yè)：

9，10

掌握（3－48）（3－49）（3－50）§3.5激光器的輸出功率513.5.1均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率(1)腔內(nèi)最小的光強(qiáng)I+(0)(2)腔內(nèi)最大光強(qiáng)

I-(2L)=r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))(3)輸出光強(qiáng)：Iout=t1I-(2L)=t1r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))(4)鏡面損耗：Ih=a1I-(2L)=a1r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))

圖(3-11)諧振腔內(nèi)光強(qiáng)1.穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式

I+(L)=I+(0)exp[L(G-a內(nèi))]I-(L)=r2I+(0)exp[L(G-a內(nèi))]I-(2L)=r2I+(0)exp[2L(G-a內(nèi))]52剩余部分：I+(0)=r1I-(2L)=r1r2I+(0)exp2L(G-a內(nèi))圖(3-11)諧振腔內(nèi)光強(qiáng)(5)最大最小光強(qiáng)、輸出光強(qiáng)和鏡面損耗之間關(guān)系由能量守恒定律可得：I-(2L)-I+(0)=Iout+Ih=(a1+t1)I-(2L)(6)平均行波光強(qiáng)對(duì)于腔內(nèi)任何一處z都有兩束傳播方向相反的行波I+(z)和I-(2L-z)引起粒子數(shù)反轉(zhuǎn)分布值發(fā)生飽和，增益系數(shù)也發(fā)生飽和，近似用平均光強(qiáng)2I代替腔內(nèi)光強(qiáng)I+(z)+I-(2L-z)，用作為腔內(nèi)的平均增益系數(shù)，則腔內(nèi)的平均行波光強(qiáng)為：532.激光器的輸出功率理想的情況，將全反射鏡M2上的鏡面損耗都折合到M1上，對(duì)M2有：對(duì)M1有：激光器的總損耗為：如果很小，將用級(jí)數(shù)展開取一級(jí)近似，可得：54則激光器內(nèi)行波的平均光強(qiáng)I可以化為：激光器輸出光強(qiáng)也可以表示為：若激光器的平均截面為A，則其輸出功率為：553.輸出功率與諸參量之間的關(guān)系

(1)P與Is的關(guān)系:兩者成正比(2)P與A的關(guān)系:A越大，P越大；而高階橫模的光束截面要比基橫的大(3)P與t1的關(guān)系:實(shí)際中總是希望輸出功率大鏡面損耗小，即希望這要求t1大，a1小，使t1>>a1，但

t1過大又使增益系數(shù)的閾值G閾升高，而如果介質(zhì)的雙程增益系數(shù)2LG0不夠大將會(huì)導(dǎo)致腔內(nèi)光強(qiáng)減小，使輸出功率降低。嚴(yán)重時(shí)使腔內(nèi)不能形成激光。t1過小，雖然使G閾降低光強(qiáng)增強(qiáng)，但鏡面損耗a1I-(2L)也將增大。56解此方程得：為了使激光器有最大的輸出功率，必須使部分反射鏡的透射率取最佳值：此時(shí)，激光器得輸出功率為：573.5.2非均勻增寬型介質(zhì)激光器的輸出功率1.穩(wěn)定出光時(shí)激光器內(nèi)諸參數(shù)的表達(dá)式

(1)腔內(nèi)最大光強(qiáng):(2)輸出光強(qiáng):(3)鏡面損耗:(4)最小光強(qiáng)：圖3-12非均勻增寬激光器腔內(nèi)的光強(qiáng)58光波的頻率不在非均勻增寬介質(zhì)的中心頻率處，光波在腔內(nèi)傳播時(shí)將有兩部分粒子——和粒子對(duì)它的放大作出貢獻(xiàn)。(5)非均勻增寬型介質(zhì)的增益系數(shù)隨頻率而變和兩束光在增益系數(shù)的曲線上的兩側(cè)對(duì)稱的“燒”了兩個(gè)孔。59圖3-13非均勻增寬激光器的“燒孔效應(yīng)”腔內(nèi)不同地點(diǎn)的光強(qiáng)不同，取I作為平均光強(qiáng)，當(dāng)增益不太大時(shí)I=I+=I-，則介質(zhì)對(duì)光波的平均增益系數(shù)為：這就是非均勻增寬型介質(zhì)對(duì)非中心頻率光波的增益系數(shù)的表達(dá)式60若用平均光強(qiáng)2I來代替，則光波在腔中的平均增益系數(shù)可表示為：光波的頻率為線型函數(shù)的中心頻率，它只能使介質(zhì)中速度為的這部分粒子數(shù)密度反轉(zhuǎn)分布值飽和。此時(shí)腔內(nèi)的光強(qiáng)為I++I-，故介質(zhì)對(duì)的增益系數(shù)為：若腔內(nèi)各頻率的光強(qiáng)都等于Is，則以及附近的光波所獲得的增益系數(shù)分別為：若增益系數(shù)的閾值都相等，則和附近頻率為光波的平均光強(qiáng)分別為下值，且前者比后者要弱：612.激光器的輸出功率若腔內(nèi)只允許一個(gè)諧振頻率，且，激光器在理想的情況下，仍有：此時(shí)腔內(nèi)的平均光強(qiáng)為：激光器的輸出光強(qiáng)為：若光束的截面為A，則激光器的輸出功率為：(1)單頻激光器的輸出功率62激光器輸出光強(qiáng)為：若腔內(nèi)單縱模的頻率為，激光器腔內(nèi)平均光強(qiáng)為：若光束的截面為A，激光器的輸出功率為：63如果我們使單縱模輸出的激光器的諧振頻率由小到大變化，逐漸接近時(shí)，輸出功率也逐漸變大，但當(dāng)頻率變到此范圍時(shí)，該光波在增益系數(shù)的曲線上對(duì)稱“燒”的兩個(gè)孔發(fā)生了重疊，直到增益曲線上的兩個(gè)孔完全重疊，輸出功率下降至一個(gè)最小值。圖(3-14)曲線與“蘭姆凹陷”圖(3-15)“蘭姆凹陷”與管中氣壓的關(guān)系64若腔內(nèi)允許多個(gè)諧振頻率，且相鄰兩個(gè)縱模的頻率間隔大于燒孔的寬度以及各頻率的燒孔都是彼此獨(dú)立的，則平均光強(qiáng)為：(2)多頻激光器的輸出功率輸出功率為：多頻激光器的輸出功率為：65若腔內(nèi)多縱模的頻率對(duì)稱的分布在的兩側(cè)，也即有一個(gè)縱模頻率，必有另一個(gè)縱模頻率，則在理想情況下縱模的增益系數(shù)為：縱模在腔內(nèi)的平均光強(qiáng)為：縱模的輸出功率為：該多模激光器的輸出功率為：66

兩種增寬型介質(zhì)的激光器的輸出功率本節(jié)重點(diǎn)：掌握最佳透射率的推導(dǎo)§3.6激光器的極限寬度681.造成線寬的原因(1)自然寬度:能級(jí)的有限壽命造成的(2)碰撞寬度(或壓力寬度):發(fā)光粒子之間的碰撞造成的(3)多普勒寬度:發(fā)光粒子的熱運(yùn)動(dòng)造成的實(shí)際的譜線線型是以上三者共同作用的結(jié)果，我們把這樣的譜線叫做發(fā)光物質(zhì)的熒光譜線，其線寬叫做熒光線寬。692.激光器的線寬對(duì)一個(gè)激光器