數(shù)量金融10-特異期權(quán)定價(jià)

1第十講

特異期權(quán)定價(jià)10.1期權(quán)定價(jià)回顧.10.2偏微分方程的有限差分解法.10.3蒙特卡羅模擬.10.4障礙期權(quán)的簡(jiǎn)介和靜態(tài)對(duì)沖.10.1期權(quán)定價(jià)回顧（參見(jiàn)：衍生產(chǎn)品定價(jià)Lecture6）2Assumptionsi. Tradingtakesplacecontinuouslyintime.ii. Therisk-freeraterisknownandconstantovertime.iii. Theassetpaysnodividend.iv. Therearenotransactioncostsinbuyingorsellingthe assetortheoption,andnotaxes.v. Theassetsareperfectlydivisible.vi. Therearenopenaltiesforshortsellingandthefulluse ofproceedsispermitted.vii. Therearenoarbitrageopportunities.viii. Theassetpriceprocessisgivenby10.1期權(quán)定價(jià)回顧3

考慮由價(jià)格為V(St,t)的衍生產(chǎn)品（支付記為payoff）和基本資產(chǎn)構(gòu)成的如下投資組合:

賣空一單位衍生產(chǎn)品+持有單位基本資產(chǎn)

此投資組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資組合，回報(bào)率為r。因此，我們得到Black-Scholes-Merton定價(jià)方程

10.1期權(quán)定價(jià)回顧4

Black-Scholes-Merton定價(jià)方程的解可以表示為

其中E*[.]表示在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中求期望。（可以使用二叉樹或者三叉樹模型近似計(jì)算）

在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中基本資產(chǎn)價(jià)格過(guò)程滿足

510.2偏微分方程的有限差分解法610.2偏微分方程的有限差分解法記號(hào)：710.2偏微分方程的有限差分解法各微分的近似計(jì)算Theta(誤差O(δt))Delta810.2偏微分方程的有限差分解法910.2偏微分方程的有限差分解法各微分的近似計(jì)算（繼續(xù)）Delta(誤差O(δS2))Gamma(誤差O(δS2))1010.2偏微分方程的有限差分解法例子10.1：Theta=?10;Delta=1.25;Gamma=0.25;

1110.2偏微分方程的有限差分解法有限差分法

偏微分方程改寫為1210.2偏微分方程的有限差分解法1310.2偏微分方程的有限差分解法邊界條件與終值條件Calloption （為執(zhí)行價(jià)格）Putoption

1410.2偏微分方程的有限差分解法邊界條件（繼續(xù)）Mostcontract PayoffisatmostlinearintheunderlyingforlargeS1510.3蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬定價(jià)模擬風(fēng)險(xiǎn)中性世界中基本資產(chǎn)價(jià)格路徑（從S0出發(fā)，以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)率為漂移項(xiàng)的隨機(jī)游走路徑）；對(duì)此特定路徑，計(jì)算衍生產(chǎn)品的payoff；模擬眾多樣本路徑；計(jì)算衍生產(chǎn)品payoff的平均值；對(duì)平均值進(jìn)行貼現(xiàn)；1610.3蒙特卡羅模擬幾何布朗運(yùn)動(dòng)路徑模擬Euler法：

其中為來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的樣本。精確模擬：1710.3蒙特卡羅模擬1810.3蒙特卡羅模擬1910.3蒙特卡羅模擬衍生產(chǎn)品的風(fēng)險(xiǎn)控制

如果相對(duì)未對(duì)沖的期權(quán)頭寸的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行估計(jì)和衡量，我們應(yīng)該使用期權(quán)payoff在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的分布，還是其在現(xiàn)實(shí)世界中的分布？？2010.3蒙特卡羅模擬2110.3蒙特卡羅模擬對(duì)沖頭寸Delta的計(jì)算

計(jì)算V(St+h,t)與V(St?h,t)時(shí)使用相同數(shù)據(jù)。

2210.4障礙期權(quán)的簡(jiǎn)介和靜態(tài)對(duì)沖障礙期權(quán)（BarrierOption） Outoption（觸碰失效期權(quán)）

當(dāng)基本資產(chǎn)價(jià)格觸碰某確定邊界時(shí)，期權(quán)失效，payoff為0（或者payoff為R,稱為Rebate）。 Inoption（觸碰生效期權(quán)）

當(dāng)基本資產(chǎn)價(jià)格觸碰某確定邊界時(shí)，期權(quán)生效，直到到期日。 Upoption（Downoption）

邊界高于（或低于）初始資產(chǎn)價(jià)格。2310.4障礙期權(quán)的簡(jiǎn)介和靜態(tài)對(duì)沖2410.4障礙期權(quán)的簡(jiǎn)介和靜態(tài)對(duì)沖障礙期權(quán)的終值和邊界條件 up-and-outcalloption up-and-incalloption

因此in+out=vanilla.2510.4障礙期權(quán)的簡(jiǎn)介和靜態(tài)對(duì)沖特異障礙期權(quán)提前執(zhí)行重復(fù)觸碰邊界重置外部邊界柔性邊界Parisian期權(quán)2610.3蒙特卡羅模擬Up-and-outcall2710.3蒙特卡羅模擬DeltaofUp-and-outcall

2810.4障礙期權(quán)的簡(jiǎn)介和靜態(tài)對(duì)沖靜態(tài)對(duì)沖（StaticHedge）

利用平凡的看漲期權(quán)、看跌期權(quán)或者兩值期權(quán)盡可能地模擬障礙期權(quán)的價(jià)值。

例如：若對(duì)沖一個(gè)up-and-outcall

option的空頭，可以選擇持有相同到期期限和執(zhí)行價(jià)格的歐式calloption的多頭。（如果觸碰失效，則投資者剩余一個(gè)calloption的多頭）2910.4障礙期權(quán)的簡(jiǎn)介和靜態(tài)對(duì)沖靜態(tài)對(duì)沖（繼續(xù)） Down-and-incalloption空頭（執(zhí)行價(jià)格大于觸碰邊界）

對(duì)沖策略：持有單位到期期限相同，執(zhí)行價(jià)格為的putopt