隨機變量(向量)及其概率分布

勤學(xué)好問必有所獲第二章隨機變量（向量）及其概率分布隨機變量與隨機變量分布函數(shù)隨機變量的概率函數(shù)與隨機變量的概率密度函數(shù)幾個常用的概率分布隨機向量與隨機向量的分布函數(shù)隨機向量的概率函數(shù)與隨機向量的概率密度函數(shù)邊際分布與條件分布隨機變量的獨立性隨機變量函數(shù)的分布

概率論

隨機變量與隨機變量分布函數(shù)一、隨機變量為了更有效地研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律，需要引入微積分作為工具，這就需要用變量的形式來表達隨機現(xiàn)象。先考察下列兩個隨機試驗的例子例2.1某人拋擲一枚色子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。

試驗結(jié)果的事件表達形式：出現(xiàn)1點；出現(xiàn)2點；出現(xiàn)3點；出現(xiàn)4點；出現(xiàn)5點；出現(xiàn)6點。如果令表示出現(xiàn)的點數(shù)，則的可能取值為

于是，試驗結(jié)果的變量表示為：

“出現(xiàn)1點”；“出現(xiàn)2點”“出現(xiàn)3點”；“出現(xiàn)4點”“出現(xiàn)5點”；“出現(xiàn)6點”例2.2某人擲硬幣試驗，觀察落地以后出現(xiàn)在上面的面。試驗結(jié)果的事件表達形式：RandomVariable國徽面在上面；有字面在上面如果表示國徽面在上面，表示有字面在上面。則試驗結(jié)果的變量表示為：“國徽面在上面”；“有字面在上面”特點：試驗結(jié)果數(shù)量化了，試驗結(jié)果與數(shù)建立了對應(yīng)關(guān)系。

1.Def設(shè)隨機試驗的樣本空間為，如果對于每一個樣本點，均有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，稱為樣本空間上的隨機變量。隨機變量的三個特征:

1）它是一個變量；

2）它的取值隨試驗結(jié)果而改變；

3）隨機變量在某一范圍內(nèi)取值，表示一個隨機事件。

設(shè)為一個隨機變量，對于任意實數(shù)，則集合是隨機事件，隨著變化，事件也會變化。這說明該事件是實變量的“函數(shù)”。

2.隨機變量舉例與分類隨機變量實例：例2.3某人拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。

的可能取值為。例2.4某個燈泡的使用壽命。的可能取值為。例2.5一部電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)。的可能取值為。例2.6在區(qū)間上隨機移動的點，該點的坐標。的可能取值為。隨機變量的分類離散型隨機變量非離散型隨機變量連續(xù)型非連續(xù)型有限或無窮可列取值無窮且不可列取值二、分布函數(shù)

1.隨機變量的概率分布

Def能反映隨機變量取值規(guī)律的數(shù)學(xué)表達式稱為隨機變量的概率分布律，簡稱概率分布。

概率分布的常用表達方式有：分布函數(shù)（“通用型”）；概率函數(shù)或概率密度函數(shù)（“針對型”）。

2.分布函數(shù)概念

Def設(shè)為隨機變量，為任意實數(shù)，則稱為隨機變量的分布函數(shù)，其定義域為。

顯然，分布函數(shù)是一個特殊的隨機事件的概率。

3.分布函數(shù)的性質(zhì)

（1）對于任意有（非負有界性）；（2）（規(guī)范性）；

（3）對于任意有（單調(diào)性）；（4）在每一點至少是右連續(xù)的（連續(xù)性）。

是一個實函數(shù)！DistributionFunction若已知隨機變量的分布函數(shù)，則對于任意有例2.7已知隨機變量的所有可能取值為，取各值的概率分別為，試求隨機變量的分布函數(shù)并作其圖像。

解：由題設(shè)隨機變量的概率分布為由分布函數(shù)的定義有當時，；當時，；當時，；當時，。分布函數(shù)圖像如圖2.1所示0.30.30.4210圖2.1概率函數(shù)與概率密度函數(shù)一、隨機變量的概率函數(shù)

1.離散型隨機變量

Def如果隨機變量所有可能取值為有限或無窮可列，則該隨機變量稱為離散型隨機變量。

設(shè)離散型隨機變量的所有可能取值是，而取值的概率為，即有則稱該式為隨機變量的概率函數(shù)。其也可以用下列表達：并稱其為隨機變量的概率分布列，簡稱分布列。

注意：離散型隨機變量的概率分布除用分布函數(shù)可以表示以外，還可以利用概率函數(shù)或分布列表示，概率函數(shù)與分布列是等效的，概率函數(shù)比分布列表示更直觀、簡便。

2.概率函數(shù)或分布列的性質(zhì)（1）；（2）（歸一性）。

3.概率函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系已知概率函數(shù)求分布函數(shù)已知分布函數(shù)求概率函數(shù)例2.8設(shè)的分布列為試求。解：由隨機變量的分布列有例2.9設(shè)有一批產(chǎn)品20件，其中有3件次品，從中任意抽取2件，用表示抽取出2件產(chǎn)品中的次品數(shù)，求隨機變量的分布律和“至少抽得一件次品”的概率。解：的可能取值為。

于是，由古典概率有所以，的分布列為例2.10一名士兵向一目標連續(xù)射擊，直至其擊中目標為止。假定該士兵命中率為，而且任意兩次射擊之間互不影響，用表示該名士兵射擊次數(shù)。求的概率分布。解：的可能取值為；設(shè)表示該名士兵第次擊中目標，。于是有相互獨立；。所以

即的概率函數(shù)為

注意：這種類型的隨機變量取值愈大，概率值愈小，是典型的不等概分布。當時，取1的概率最大。例2.11設(shè)隨機變量的概率函數(shù)為試求（1）常數(shù)的值；（2）概率最大的取值。解:(1)由概率函數(shù)的性質(zhì)有又有函數(shù)的冪級數(shù)展開知，從而有解得

(2)由(1)知隨機變量的分布列為顯然，隨機變量取1和2的概率最大。二、隨機變量的概率密度函數(shù)

1.連續(xù)型隨機變量

Def設(shè)為隨機變量，其分布函數(shù)記為，如果存在非負函數(shù)，使得則稱為連續(xù)型隨機變量，非負函數(shù)為概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)。

2.概率密度的性質(zhì)（1）對于任意有；（2）；（3）對于任意有；（4）在函數(shù)連續(xù)點有。

3.連續(xù)型隨機變量與離散型隨機變量區(qū)別

定理：設(shè)為連續(xù)型隨機變量，為任意實數(shù)，則有證明：設(shè)的分布函數(shù)為，易知處處連續(xù)。于是，對于任意的，一定成立下列結(jié)論：即有不等式關(guān)于求極限，便得所以有該定理表明連續(xù)型隨機變量的概率分布不能用逐點取值的概率表達，而只能用概率密度來表達。對于連續(xù)型隨機變量總成立下式：

例2.12設(shè)隨機變量的概率密度為試求。解:由概率密度的性質(zhì)知解得，所以例2.13設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為試求(1)常數(shù)的值；(2)；(3)概率密度。解:(1)由于連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)處處連續(xù)，所以有從而有，于是分布函數(shù)為

(2)

(3)幾個常用的概率分布引入隨機變量的概念以后，客觀世界中的許多隨機現(xiàn)象，如果拋開其所涉及的具體內(nèi)容，實質(zhì)上可以用同一個概率模型（概率分布）來表達。一、幾個常用的離散型概率分布

1.二點分布（0-1分布）

Def若隨機變量的分布表為其中，則稱服從參數(shù)為的二點分布。

二點分布所能刻畫的隨機現(xiàn)象：

凡是隨機試驗只有兩個可能的結(jié)果，都可以二點分布作為其概率模型。例如：擲硬幣觀察正反面，產(chǎn)品是否合格，人口性別統(tǒng)計，系統(tǒng)是否正常，電力消耗是否超負荷等等。

2.二項分布

Def若隨機變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的二項分布，記為。二項分布所能刻畫隨機現(xiàn)象：凡是重貝努里概型中隨機事件發(fā)生次數(shù)的概率分布規(guī)律都可用二項分布來刻畫。當時，二項分布就是二點分布。例2.14設(shè)某學(xué)生在期末考試中，共有5門課程要考，已知該學(xué)生每門課程及格的概率為0.8。試求該學(xué)生恰好有3門課及格的概率和至少有3門課及格的概率。解:設(shè)表示該學(xué)生恰好有3門課及格；表示該學(xué)生至少有3門課及格。顯然，這是一個5重貝努里概型，從而有例2.15某保險公司以往資料顯示，索賠要求中有8%是因為被盜而提出來的。現(xiàn)已知該公司某個月共收到10個索賠要求，試求其中包含4個以上被盜索賠要求的概率。解:設(shè)表示10個索賠要求中被盜索賠要求的個數(shù)，則于是，所求概率為即10各索賠要求中有4個以上被盜索賠要求的概率為0.00059

通過該例題的求解，可以看出：二項分布當參數(shù)很大，而很小時，有關(guān)概率的計算是相當麻煩的。甚至有時借助于計算工具也難實現(xiàn)。為了解決這種情況下的二項分布有關(guān)概率計算問題，1837年法國數(shù)學(xué)家S.D.Poisson提出了以下定理。Poisson定理

設(shè)隨機變量，若時，有，則有

證明：令，于是有對于固定的有所以有百分之一的希望就要做百分之百的努力

實際應(yīng)用中：當較大,

較小，適中時，即可用泊松定理的結(jié)果對二項概率進行近似計算。例2.16某人騎摩托車上街，出事故的概率為0.02，獨立重復(fù)上街400次，求至少出兩次事故的概率。解:400次上街400重Bernoulli概型；

記為出事故的次數(shù)，則。由于，所以由Poisson定理有

若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力400次，則該人成功的概率為。這表明隨著實驗次數(shù)的增多，小概率事件是會發(fā)生的！

3.泊松（Poisson）分布

Def若隨機變量的概率函數(shù)為則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為。泊松分布所能刻畫隨機現(xiàn)象：

服務(wù)臺在某時間段內(nèi)接待的服務(wù)次數(shù)；交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù)；礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù)；顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目；

單位時間內(nèi)市級醫(yī)院急診病人數(shù)；

一本書中每頁印刷錯誤的個數(shù)。特別注意:體積相對較小的物質(zhì)，在較大的空間內(nèi)的稀疏分布，都可以看作泊松分布，其參數(shù)

可以由觀測值的平均值求出。二、幾個常用的連續(xù)型概率分布

1.均勻分布（UniformDistribution）

Def若隨機變量的概率密度函數(shù)為則稱隨機變量服從區(qū)間上的均勻分布，記為均勻分布所能刻畫隨機現(xiàn)象：

“等可能”地取區(qū)間中的值。這里的“等可能”理解為：落在區(qū)間中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的；或者說它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。這正是幾何概型的情形。例2.17

設(shè)在上服從均勻分布，求方程有實根的概率。解:方程有實數(shù)根等價于，即；

所求概率為。

2.指數(shù)分布（ExponentialDistribution）

Def若隨機變量的概率密度函數(shù)為則稱隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為指數(shù)分布所能刻畫隨機現(xiàn)象：

隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間；電話的通話時間；無線電元件的壽命；動植物的壽命。例2.18設(shè)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，試寫出它的密度函數(shù)并求。解:的概率密度為

3.正態(tài)分布（NormalDistribution）

Def若隨機變量的概率密度函數(shù)為其中參數(shù)滿足，則稱隨機變量服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為。

特別當參數(shù)時，也即，稱其為標準正態(tài)分布，其概率密度記為正態(tài)分布概率密度函數(shù)的圖像特點：

圖像呈單峰狀；

圖像關(guān)于直線對稱；圖像在點處有拐點；圖像以軸為水平漸近線。Gauss參數(shù)對密度曲線的影響

相同不同密度曲線情況

相同不同密度曲線情況位置參數(shù)變化形狀參數(shù)變化正態(tài)分布所能刻畫隨機現(xiàn)象：

若隨機變量受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，每一個別因素的影響都是微小的，而且這些影響具有加性特征，則服從正態(tài)分布。例如：

各種測量的誤差；人的生理特征指標；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強度；熱噪聲電流強度；學(xué)生們的考試成績等等。

正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，體現(xiàn)在以下方面：

⑴正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的。事實上如果一個隨機指標受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機指標一定服從或近似服從正態(tài)分布。⑵正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布。

⑶正態(tài)分布有許多其它分布所不具備的良好的性質(zhì)。標準正態(tài)分布的概率計算分布函數(shù)利用查表法可計算標準正態(tài)分布的分布函數(shù)值，從而解決概率計算問題。例2.18設(shè)隨機變量，試求解:查表知所以有一般正態(tài)分布的概率計算分布函數(shù)在求解一般正態(tài)分布的概率計算問題時，先將其轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布問題，然后利用查表法可計算標準正態(tài)分布的分布函數(shù)值，從而解決概率計算問題。例2.19設(shè)隨機變量，試求。解:已知，所以有標準正態(tài)分布的分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù)

Def設(shè)隨機變量，對于給定的，如果實數(shù)滿足，則稱為標準正態(tài)分布關(guān)于的雙側(cè)分位數(shù)。

標準正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)的意義如圖2.1所示。雙側(cè)分位數(shù)的計算方法：由定義知

查標準正態(tài)分布函數(shù)值表便可得；圖2.1也可直接查依據(jù)上式編制的標準正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)表。

例如：上側(cè)分位數(shù)

Def設(shè)隨機變量，對于給定的，如果實數(shù)滿足，則稱為標準正態(tài)分布關(guān)于的上側(cè)分位數(shù)。標準正態(tài)分布上側(cè)分位數(shù)的意義如圖2.2所示。上側(cè)分位數(shù)的計算方法：由定義知

查標準正態(tài)分布函數(shù)值表便可得；也可由定義利用上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位數(shù)之間的關(guān)系，借助于標準正態(tài)分布雙側(cè)分位數(shù)表直接查得，即直接查的雙側(cè)分位數(shù)。

例如：圖2.2

4.伽瑪分布（GammaDistribution）

Def若隨機變量的概率密度函數(shù)為則稱隨機變量服從參數(shù)的伽瑪分布，記為。

當時，伽瑪分布就是指數(shù)分布；當時，伽瑪分布就是統(tǒng)計三大分布卡方分布。伽瑪分布所能刻畫隨機現(xiàn)象：具有非負取值的連續(xù)型隨機變量的概率分布都可以用不同參數(shù)的伽瑪分布來表達。例如：人的生理特征指標；金屬線的抗拉強度等。圖2.3隨機向量與隨機向量的分布函數(shù)

對于有些隨機試驗，要定量化表達其結(jié)果用一個隨機變量來描述還不夠，往往需要兩個或兩個以上變量作為整體來描述。例如：在打靶時，命中點的位置是由一對隨機變量(兩個坐標)來確定的。

飛機的重心在空中的位置是由三個隨機變量來確定的等等。這就需要研究隨機向量的概率規(guī)律。一、隨機向量的概念

1.隨機向量的定義

Def設(shè)為個隨機變量，如果能表達隨機試驗的結(jié)果，則稱為維隨機向量；有時也稱為維隨機變量，稱為第個分量。表達隨機試驗結(jié)果的變量個數(shù)從一個增加到兩個形成二維隨機向量，概率分布律的描述有了實質(zhì)的變化，而二維推廣到多維只有形式上的變化并無實質(zhì)性的困難，我們主要討論二維隨機向量。

2.二維隨機向量的分布函數(shù)

Def設(shè)為二維隨機向量，為平面內(nèi)任意一點，則稱為二維隨機向量的分布函數(shù)，也稱為與的聯(lián)合分布函數(shù)。

分布函數(shù)的概率意義如圖2.3所示，即就是隨機點游蕩到陰影區(qū)域的概率。

3.二維隨機向量的分布函數(shù)的性質(zhì)

(1)即非負有界性；

(2)；x圖2.3

(3)關(guān)于或為非減函數(shù)；

(4)關(guān)于或至少是右連續(xù)的；

(5)對于任意的數(shù)有性質(zhì)(5)的概率意義如圖2.4，即就是隨機點游蕩到紅色區(qū)域的概率。例2.20設(shè)某人同時拋擲一枚5分和一枚1分均勻硬幣，用分別表示5分硬幣出現(xiàn)國徽面與有字面；用分別表示1分硬幣出現(xiàn)國徽面與有字面。試將該試驗結(jié)果用變量形式表示，并求其分布函數(shù)。解:由題設(shè)條件知試驗結(jié)果需用隨機向量表示，且其概率分布如下表所示：圖2.4

0101/41/411/41/4從而由分布函數(shù)的定義有

4.二維隨機向量的邊際分布與邊際分布函數(shù)

Def設(shè)為二維隨機向量，則稱隨機變量與的概率分布分別為隨機向量關(guān)于分量和的邊際概率分布；隨機變量與的分布函數(shù)分別稱為隨機向量關(guān)于分量和的邊際分布函數(shù)。隨機向量的分布函數(shù)與邊際分布函數(shù)的關(guān)系

證明:（只證明第一式，第二式同理可證）由隨機變量分布函數(shù)的定義

所以有隨機向量的分布函數(shù)與邊際分布函數(shù)的關(guān)系式表明，邊際分布函數(shù)由隨機向量的分布函數(shù)唯一確定，但反之未必成立。例2.21設(shè)隨機向量的分布函數(shù)為試求(1)隨機向量關(guān)于分量的邊際分布函數(shù)；

(2)；

(3)。

解:(1)由邊際分布函數(shù)的定義

(2)

(3)二維離散型隨機向量與二維連續(xù)型隨機向量一、二維離散型隨機向量與其概率分布的表達

1.二維離散型隨機向量

Def設(shè)為二維隨機向量，如果的所有可能取值點是平面上的有限個或無窮可列個點，則稱為二維離散型隨機向量。

2.二維離散型隨機向量概率函數(shù)

Def設(shè)為二維離散型隨機向量，其所有可能取值點及其對應(yīng)概率如下表所示，稱其為的概率分布表。而稱為隨機向量的概率函數(shù)或隨機變量與的聯(lián)合概率函數(shù)。

3.隨機向量概率函數(shù)的性質(zhì)

(1)（非負性）

(2)（歸一性）

4.

隨機向量概率函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系

如已知隨機向量概率函數(shù)

，則有

如已知隨機向量分布函數(shù)，則有例2.22一個口袋中有三個球，依次標有數(shù)字1,2,2，從中任取一個，不放回袋中，再任取一個，設(shè)每次取球時，各球被取到的可能性相等。以分別記第一次和第二次取到的球上標有的數(shù)字，求的概率分布。解:由題目條件隨機向量所有可能取值點為從而的概率函數(shù)為

同理可得1212隨機向量分布表一般求概率函數(shù)采用以下公式：例2.23整數(shù)等可能的取值1,2,3,4，整數(shù)等可能的取值1~，求隨機向量的概率分布列。解:由題目條件隨機向量所有可能取值點為顯然，當時，。當時，分別有同理可計算的其它值，從而得隨機向量的分布表。隨機向量的分布表二、二維連續(xù)型隨機向量與其概率分布的表達

1.二維連續(xù)型隨機向量123411/400021/81/80031/121/121/12041/161/161/161/16則稱為連續(xù)型隨機向量，稱為隨機向量的概率密度函數(shù)或隨機變量與的聯(lián)合概率密度函數(shù)。Def設(shè)為其分布函數(shù)，為二維隨機向量，如果存在非負函數(shù)，使得注意：的定義域為；的概率意義為隨機點進入?yún)^(qū)域的概率。2.二維連續(xù)型隨機向量的概率密度；(1)非負性，即有；(2)歸一性，即有；(3)分布函數(shù)與概率密度函數(shù)的關(guān)系(4)隨機點在任意區(qū)域內(nèi)的概率計算式D這就是說在已知概率密度情況下事件的概率=曲頂柱體的體積圖2.5例2.24設(shè)二維隨機向量的概率密度為；

(1)求常數(shù)

(2)求的分布函數(shù)；(3)求；

(4)求。解:(1)由概率密度的性質(zhì)

從而有解得于是，概率密度函數(shù)為

(2)由的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)的關(guān)系圖2.6(3)

(4)yx=圖2.73.連續(xù)型隨機向量與離散型隨機向量區(qū)別定理：設(shè)為連續(xù)型隨機向量，為平面上任意定點，則有。定理證明與隨機變量的情況類似，請大家自己證明。該定理表明連續(xù)型隨機向量的概率分布不能用逐點取值的概率表達，而只能用概率密度來表達。所以，對連續(xù)型隨機向量總成立：這就是說在計算二維隨機向量有關(guān)概率值時，可以忽略區(qū)域邊界線的影響。等等。兩個常用二維連續(xù)型隨機向量分布一、二維均勻分布1.

Def設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機向量具有概率密度則稱隨機向量服從區(qū)域上均勻分布。2.二維均勻分布所反映的背景

向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落在G內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與B的位置無關(guān).則質(zhì)點的坐標(X,Y)在G上服從均勻分布。圖2.9二、二維正態(tài)分布1.Def若二維隨機向量具有概率密度則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布。記作2.二維正態(tài)分布所反映的背景圖2.10兩方向各種測量的誤差；人的兩個生理特征指標；農(nóng)作物的收獲量與降雨量等。二維正態(tài)分布勢二維分布中重要分布之一。Marginaldistribution隨機向量的邊際概率函數(shù)與概率密度一、邊際概率函數(shù)與邊際概率密度1.Def設(shè)二維隨機向量為離散型，則隨機變量與的概率函數(shù)分別稱關(guān)于與的邊際概率函數(shù)。2.Def設(shè)二維隨機向量為連續(xù)型，則隨機變量與的概率密度分別稱關(guān)于與的邊際概率密度。二、邊際概率函數(shù)與邊際概率密度的求法1.邊際概率函數(shù)的求法設(shè)二維隨機向量的概率函數(shù)為則隨機變量與關(guān)于的邊際概率函數(shù)分別為如果用分布表表示，即有：事實上，隨機向量關(guān)于的邊際概率函數(shù)為例2.25設(shè)二維隨機向量的分布表為005/122001/601/121/30-11/310試求二維隨機向量的邊際概率函數(shù)。關(guān)于，005/12201/121/301/601/30-1107/121/31/125/121/65/12解：邊際概率函數(shù)計算如表所示，從而得：關(guān)于X的邊緣分布為5/121/65/1220-1關(guān)于Y的邊緣分布1/121/37/121/3102.邊際概率密度的求法設(shè)二維隨機向量的概率密度為，則隨機向量的邊際概率密度為關(guān)于，證明（只證明第一式）由條件知隨機向量的分布函數(shù)為從而，關(guān)于的邊際分布函數(shù)為由分布函數(shù)與概率密度的關(guān)系有例2.26設(shè)二維隨機向量的概率密度為試求二維隨機向量的邊際概率密度。關(guān)于，解：關(guān)于的邊際概率密度為同理可得關(guān)于的邊際概率密度為例2.27設(shè)二維隨機向量的概率密度為試求二維隨機向量的邊際概率密度。關(guān)于，解：關(guān)于的邊際概率密度為同理可得關(guān)于的邊際概率密度為注意：由例2.26，例2.27不難看出邊際概率密度為一維正態(tài)分布的二維隨機向量不一定是二維正態(tài)分布。這說明由隨機向量的分布可以確定邊緣分布；但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布。圖2.11例2.28設(shè)二維隨機向量服從區(qū)域上的均勻分布，其中區(qū)域試求二維隨機向量的邊際概率密度。關(guān)于，解：由題意有關(guān)于的邊際概率密度為當時，由于有所以當時，所以，二維隨機向量的邊際概率密度為關(guān)于同理可得，隨機向量的邊際概率密度為關(guān)于例2.29設(shè)二維隨機向量，試求的邊際概率密度。二維隨機向量關(guān)于，解：關(guān)于的邊際概率密度為因為所以則有同理可得關(guān)于的邊際概率密度為二維正態(tài)分布的兩個邊際分布都是一維正態(tài)分布,并且不依賴于參數(shù)

。例2.30設(shè)(X,Y)的概率密度是求(X,Y)關(guān)于X

和Y的邊緣概率密度。解：關(guān)于的邊際概率密度為暫時固定當時,；當時,圖2.12所以同理(

X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度為隨機變量的條件分布一、條件分布的概念1.Def設(shè)為二維隨機向量，在其中一個取定某個值或某些值的條件下求另外一個隨機變量的概率分布，這種概率分布成為條件概率分布。例如：變量，它們都有一定的概率分布。考慮某大學(xué)的全體學(xué)生，從其中隨機抽取一個學(xué)生，分別以X和Y表示其體重和身高.則X和Y都是隨機體重X的分布身高Y的分布圖2.14圖2.13Conditionaldistribution

現(xiàn)在若限制Y=1.7(米),在這個條件下去求X的條件分布，這就意味著要從該校的學(xué)生中把身高為1.7米的那些人都挑出來，然后在挑出的學(xué)生中求其體重的分布。容易想象，這個分布與不加這個條件時Y分布會很不一樣。在這個分布中體重取大值的概率會顯著增加。2.離散型隨機變量的條件分布設(shè)是二維離散型隨機向量，其概率函數(shù)為若對于固定的

，有，則稱為在條件下隨機變量X的條件分布律。3.連續(xù)型隨機變量的條件分布設(shè)是二維連續(xù)型隨機變量，其概率密度為若對于固定的

，有，則稱為在條件下隨機變量X的條件概率密度。同理可以確定在給定

條件下，隨機變量的條件分布。二、隨機變量的條件分布與隨機向量分布的區(qū)別與聯(lián)系以連續(xù)型為例說明是在隨機變量取定下，隨機變量的概率密度；是隨機變量取定同時隨機變量取定的概率密度。一般總有下式成立例2.31設(shè)(X,Y)的分布表為005/122001/601/121/30-11/310試求在條件下，隨機變量的條件分布。解：關(guān)于的邊際概率密度為1/121/37/121/310由于有，所以條件分布存在，于是有同理可得的聯(lián)合分布及條件分布。例2.32一射手進行射擊，擊中目標的概率，射擊進行到擊中目標兩次為止.以X表示首次擊中目標所進行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進行的射擊次數(shù).試求X和Y解：依題意，{Y=n}表示在第n次射擊時擊中目標,且在前n-1次射擊中有一次擊中目標；設(shè)首次擊中目標時射擊了m次。第二次擊中2nn-11…………m第一次擊中共射擊n次每次擊中目標的概率為p于是有X的邊緣分布律是：同理Y的邊緣分布律是：于是可求得對于固定n=2,3,…時有聯(lián)合分布邊緣分布對于固定m=1,2,…,n-1時有聯(lián)合分布邊緣分布例2.33設(shè)(X,Y)服從單位圓上的均勻分布，即概率密度為求在隨機變量條件下，的條件分布。解：X的邊緣密度為圖2.15由于時，，所以有例2.34設(shè)(X,Y)的概率密度為求，其中。解：由于Y的邊緣密度滿足圖2.16于是對y>0故對y>0例2.35設(shè)二維隨機向量的概率密度為試求概率。224圖2.8解:兩個隨機變量的相互獨立與判定1.Def設(shè)為二維隨機向量，其分布函數(shù)為，邊際分布函數(shù)分別為，如對于任意的有則稱為二維隨機向量的兩個分量相互獨立。例2.36設(shè)二維隨機向量的分布函數(shù)為試判斷隨機變量的獨立性。解:關(guān)于兩個分量

X

和Y的邊際分布函數(shù)為顯然，對于任意的有例2.37設(shè)二維隨機向量的分布函數(shù)為試判斷隨機變量的獨立性。解:關(guān)于兩個分量

X

和Y的邊際分布函數(shù)為顯然，對于有2.兩個隨機變量相互獨立的等價描述定理1設(shè)二維隨機向量的分布表及其對應(yīng)分量與的邊際分布列如下表所示，則隨機變量與獨立的充要條件為定理2設(shè)二維隨機向量的概率密度為，對應(yīng)分量與的邊際分布密度分別為，則隨機變量與獨立的充要條件為

例2.38

設(shè)(X,Y)的概率分布表為0101/41/41/211/41/41/21/21/2問X和Y是否獨立？解：關(guān)于各分量的邊際分布列計算如表所示。

例2.38

設(shè)(X,Y)的概率分布表為0120001/101/10103/503/523/10003/103/103/51/10解：關(guān)于各分量的邊際分布列計算如表所示。顯然有

例2.39

設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？解：關(guān)于各分量的邊際概率密度分別為顯然，對于有例2.40設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨立？解：關(guān)于各分量的邊際概率密度分別為顯然，對于有3.隨機變量相互獨立概念的推廣

在實際問題中，經(jīng)常會遇到判定兩個以上隨機變量獨立性及其應(yīng)用問題，下面作以簡單介紹：離散型情況連續(xù)型情況§2.7隨機變量函數(shù)的分布一、一元隨機變量函數(shù)的分布1.一元隨機變量函數(shù)Def注意：已知圓軸截面直徑D的分布,求所需鋼材截面積。2.一維離散型隨機變量函數(shù)分布的求法一般地，若X是離散型R.V

，X的分布律為則Y=g(X)的分布律為如果中有一些是相同的，把它們作適當并項即可。證明因為所以有上述結(jié)果得以證明。

例2.41設(shè)X的分布表為-2-10120.20.10.40.20.1解：0.20.10.40.20.1-2-1012-4-202463236從而有的概率分布列為-4-20240