第四章時域分析法

第4章時域分析法

引言：在經(jīng)典控制理論中，常用時域分析法、根軌跡法和頻率響應(yīng)法來分析線性控制系統(tǒng)的性能，這些方法的分析手段不同，適用范圍也不同。時域分析法是在時域內(nèi)研究控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度等的一種直接分析方法，可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息，具有直觀、方便、較準(zhǔn)確的特點，尤其適用于二階系統(tǒng)的分析和計算。但是在可變參數(shù)較多的情況下進(jìn)行綜合系統(tǒng)分析時，往往難于簡潔的確定變動哪些參數(shù)才能使系統(tǒng)的性能滿足要求，這就要借助計算機輔助設(shè)計，本章主要研究線性控制系統(tǒng)性能分析的時域法。特點：屬于直接分析方法能提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息直觀、準(zhǔn)確從數(shù)學(xué)角度：利用拉氏反變換法求出系統(tǒng)的輸出量的表達(dá)式，提供系統(tǒng)輸出響應(yīng)的全部信息。不足：1）實際控制系統(tǒng)較復(fù)雜，高階微分方程求解計算量大僅通過微分方程不容易區(qū)分影響系統(tǒng)運動規(guī)律的主要因素和次要因素

2）從工程角度：并非簡單求取一個既定系統(tǒng)的運動，而是需要選擇系統(tǒng)中某些參數(shù)，甚至改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以獲取較好的控制性能。對時域分析法的要求：計算量不應(yīng)太大，并且不因方程階次升高而增加太多容易分析系統(tǒng)各主要參數(shù)對系統(tǒng)運動規(guī)律的影響借助于圖表或曲線可以直觀地表示出系統(tǒng)的運動特征時域分析法需要解決的問題：判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定系統(tǒng)在輸入信號作用下，最終達(dá)到穩(wěn)定時響應(yīng)是否快速、平穩(wěn)控制是否準(zhǔn)確典型輸入信號通常是用控制系統(tǒng)的響應(yīng)來分析系統(tǒng)的性能?？刂葡到y(tǒng)的響應(yīng)是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始狀態(tài)和輸入信號的形式所決定的。對初始狀態(tài)可以作統(tǒng)一的規(guī)定，如規(guī)定為零初始狀態(tài)。如再將輸入信號規(guī)定為統(tǒng)一的典型形式，則系統(tǒng)的響應(yīng)將由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)來確定，因而更便于對各種系統(tǒng)進(jìn)行比較和研究。用于時域分析的典型輸入信號有階躍函數(shù)、單位脈沖函數(shù)、斜坡函數(shù)和拋物線函數(shù)等。正弦輸入信號常用于在頻域上分析線性定常系統(tǒng)的性能。4.1典型輸入信號

系統(tǒng)輸出響應(yīng)C(t)=L-1[(S)R(S)]，即：系統(tǒng)的時間響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而且與系統(tǒng)的輸入信號有關(guān)，實際控制系統(tǒng)的輸入具有多樣性。設(shè)定典型輸入信號目的：在分析、設(shè)計自動控制系統(tǒng)時，對不同的系統(tǒng)性能有比較的基礎(chǔ)。特點：能反映系統(tǒng)的實際工作情況可以用簡單的數(shù)學(xué)形式來描述信號易于通過實驗產(chǎn)生典型輸入信號有以下5種：1.

階躍函數(shù)定義：r(t)=Rt00t<0式中，R為階躍函數(shù)的階躍值（常數(shù)）單位階躍函數(shù)拉氏變換式為：R(S)=L[r(t)]=1/S在實際系統(tǒng)中，等同于一個大小不變的作用在t=0時刻突然施加于系統(tǒng)（如電源電壓突然波動）。在控制系統(tǒng)分析和設(shè)計中，階躍函數(shù)是應(yīng)用最多的一種評價系統(tǒng)動態(tài)性能的典型外作用。r(t)0Rt2.

斜坡函數(shù)（等速度函數(shù)）定義：r(t)=Rtt00t<0單位斜坡函數(shù)拉氏變換式為：1S2R(S)=L[r(t)]=在實際系統(tǒng)中等同于一個隨時間以恒定速度增長的作用施加于系統(tǒng)（如跟蹤通訊衛(wèi)星的天線控制系統(tǒng)）。3.

拋物線函數(shù)（等加速度函數(shù)）定義：r(t)=Rt2t00t<012單位加速度函數(shù)拉氏變換式為：1S3R(S)=L[r(t)]=在實際系統(tǒng)中等同于一個隨時間以等加速度變化的作用施加于系統(tǒng)（如宇宙飛船控制系統(tǒng)）。r(t)0tr(t)t01R24.

單位脈沖函數(shù)（沖擊函數(shù)）定義：r(t)=(t)=t=00t0∫

(t)dt=1單位脈沖函數(shù)拉氏變換式為：R(S)=L[(t)]=1說明：單位脈沖函數(shù)只是數(shù)學(xué)上的概念5.

正弦信號函數(shù)定義：r(t)=ASint正弦函數(shù)的拉氏變換為：AS2+2R(S)=L[r(t)]=r(t)0t說明：同一個系統(tǒng)中，不同形式的輸入信號所對應(yīng)的輸出響應(yīng)是不同的。對于線性控制系統(tǒng)而言，它們所表征的系統(tǒng)性能是一致的。通常以單位階躍函數(shù)作為典型輸入作用，則可在一個統(tǒng)一的基礎(chǔ)上對各種控制系統(tǒng)的特性進(jìn)行比較和研究。在典型輸入信號作用的基礎(chǔ)上設(shè)計出的系統(tǒng)對實際輸入信號的響應(yīng)特性能夠滿足要求。動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程在典型輸入信號作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)都可看成由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成。1)動態(tài)過程動態(tài)過程又稱為過渡過程或瞬態(tài)過程，是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。4.2控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)2)穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當(dāng)時間t趨于無窮時，輸出量的表現(xiàn)形式。穩(wěn)態(tài)過程又稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度，提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息。穩(wěn)態(tài)過程用穩(wěn)態(tài)性能描述。

動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運行的首要條件，因此只有當(dāng)動態(tài)過程收斂時，研究系統(tǒng)的動態(tài)性能才有意義。1)動態(tài)性能通常,在階躍函數(shù)作用下測定或計算控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。一般認(rèn)為，階躍輸入對控制系統(tǒng)來說是最嚴(yán)峻的工作狀態(tài)。如果控制系統(tǒng)在階躍函數(shù)作用下的動態(tài)性能滿足要求，那么控制系統(tǒng)在其他形式的函數(shù)作用下，其動態(tài)性能也是令人滿意的。描述穩(wěn)定的控制系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下，動態(tài)過程隨時間t的變化情況的指標(biāo)，稱為動態(tài)性能指標(biāo)。為了便于分析和比較，假定控制系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用前處于靜止?fàn)顟B(tài)，而且輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)均等于零，即零初始狀態(tài)。對于大多數(shù)控制系統(tǒng)來說，這種假設(shè)是符合實際情況的。對于單位階躍響應(yīng)c(t)，其動態(tài)性能指標(biāo)通常描述如下：單位階躍響應(yīng)上升時間tr：指響應(yīng)從終值10％上升到終值90％所需的時間；對于有振蕩的系統(tǒng)，為了計算的方便，亦可定義為響應(yīng)從零第一次上升到終值所需的時間。上升時間是系統(tǒng)響應(yīng)速度的一種度量。上升時間越短，響應(yīng)速度越快。

峰值時間tp：指響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個峰值所需的時間。調(diào)節(jié)時間ts：指響應(yīng)到達(dá)并保持在終值±5%或±2%內(nèi)所需的最短時間。超調(diào)量σ%：指響應(yīng)的最大峰值c(tp)與終值c(∞)的差與終值c(∞)比的百分?jǐn)?shù)，即若c(tp)<c(∞)，則響應(yīng)無超調(diào)。超調(diào)量亦稱為最大超調(diào)量，或百分比超調(diào)量。2)穩(wěn)態(tài)性能

穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo)，通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測定或計算。若時間趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù)，則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。

由一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng),典型閉環(huán)控制一階系統(tǒng)如圖所示.其中是積分環(huán)節(jié)，T為它的時間常數(shù)。一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖C(s)-R(s)4.3一階系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

可見，典型的一階系統(tǒng)是一個慣性環(huán)節(jié)，而T也是閉環(huán)系統(tǒng)的慣性時間常數(shù)。系統(tǒng)輸入、輸出之間的關(guān)系為

對應(yīng)的微分方程為（3－1）在零初始條件下，利用拉氏反變換或直接求解微分方程，可以求得一階系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。一、單位階躍響應(yīng)

設(shè)系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t),其拉氏變換為,則輸出的拉氏變換為

對上式進(jìn)行拉氏反變換，求得單位階躍響應(yīng)為

上式表明，當(dāng)初始條件為零時，一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的變化曲線是一條單調(diào)上升的指數(shù)曲線,式中的1為穩(wěn)態(tài)分量，為瞬態(tài)分量，當(dāng)t→∞時，瞬態(tài)分量衰減為零。在整個工作時間內(nèi)，系統(tǒng)的響應(yīng)都不會超過穩(wěn)態(tài)值。由于該響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應(yīng)。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示。一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)一階慣性環(huán)節(jié)在單位階躍輸入下的響應(yīng)曲線如圖所示。由此可以得出如下結(jié)論：(1)一階慣性系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，無振蕩；(2)經(jīng)過時間T，曲線上升到0.632的高度，反過來，用實驗的方法測出響應(yīng)曲線達(dá)到0.632高度點所用的時間，即是慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T；一階慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)曲線(3)經(jīng)過時間3T～4T，響應(yīng)曲線已達(dá)穩(wěn)態(tài)值的95%～98％，可以認(rèn)為其調(diào)整時間已經(jīng)完成，故一般取調(diào)整時間ts=(3～4)T；(4)，故在t=0處，響應(yīng)曲線的切線斜率為1/T。二、一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)當(dāng)r(t)=t時，有對上式進(jìn)行拉氏反變換，得c(t)=t-T+Te-t/T

t≥0一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)曲線由式可求出其響應(yīng)曲線如圖所示。其誤差為

e(t)

=r(t)-c(t)

=t-［t-T+Te-t/T］=T(1-e-t/T)當(dāng)時間t→∞時，e(∞)=T,故當(dāng)輸入為單位斜坡函數(shù)時，一階慣性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)誤差為T。顯然，時間常數(shù)T越小，該環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差越小。二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)為式中，ζ為阻尼比；ωn為無阻尼自然振蕩頻率。用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。從物理上講，二階系統(tǒng)總包含兩個儲能元件，能量在兩個元件之間交換，從而引起系統(tǒng)具有往復(fù)的振蕩趨勢。當(dāng)阻尼不夠充分大時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出振蕩的特性，這樣的二階系統(tǒng)也稱為二階振蕩環(huán)節(jié)。4.4二階系統(tǒng)的時域分析

若令s2+2ζωns+ω2n=0(稱為系統(tǒng)特征方程),則兩個特征根（也稱極點）為（3-13）分析式（3-13）可知，當(dāng)ζ取值不同時，兩個特征根的類型也不一樣。

二階系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)亦可寫成如下形式:其中:1.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)1)欠阻尼當(dāng)0<ζ<1時，稱為欠阻尼。此時，由式（3-13）得，二階系統(tǒng)的極點一定是一對共扼復(fù)根，其傳遞函數(shù)可表示為

式中，

稱為阻尼振蕩頻率。當(dāng)r(t)=1(t)時，有對上式進(jìn)行拉氏反變換，得即或由式可知，當(dāng)0<ζ<1時，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是以ωd為角頻率的衰減振蕩過程，其響應(yīng)曲線如圖3-7所示，由圖可見，隨著ζ的減小，其振蕩幅度值加大。實際工程中的控制系統(tǒng)，大多數(shù)都是衰減振蕩過程。圖二階振蕩環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)曲線2)臨界阻尼當(dāng)ζ=1時，稱為臨界阻尼。此時，二階系統(tǒng)的極點是兩個重根，其傳遞函數(shù)可表示為當(dāng)r(t)=1(t)時，有則對上式進(jìn)行拉氏反變換，得其響應(yīng)曲線如圖所示，由圖可見，系統(tǒng)沒有超調(diào)。臨界阻尼情況工程上不常用。臨界阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線3)過阻尼當(dāng)ζ>1時，稱為過阻尼。此時，二階系統(tǒng)的極點是兩個負(fù)實根，其傳遞函數(shù)可表示為當(dāng)r(t)=1(t)時，有則對上式進(jìn)行拉氏反變換，得(3-16)過阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線零阻尼當(dāng)ζ=0時，稱為零阻尼。此時，二階系統(tǒng)的極點為一對共扼虛根，其傳遞函數(shù)可表示為當(dāng)r(t)=1(t)時，有R(s)=,則對上式進(jìn)行拉氏反變換，可得c(t)=1-cosωnt

t≥0其響應(yīng)曲線如圖3-10所示，系統(tǒng)為無阻尼等幅振蕩。該種情況實際系統(tǒng)不能用。圖3-10零阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線負(fù)阻尼當(dāng)ζ<0時，稱為負(fù)阻尼。其分析方法與以上相應(yīng)的情況類似，只是其響應(yīng)表達(dá)式的各指數(shù)項均變?yōu)檎笖?shù)，故隨著時間t→∞，其輸出c(t)→∞，即其單位階躍響應(yīng)是發(fā)散的，如圖3-11和圖3-12所示。圖3-11負(fù)阻尼二階系統(tǒng)的發(fā)散振蕩響應(yīng)圖3-12負(fù)阻尼二階系統(tǒng)的單調(diào)發(fā)散響應(yīng)2.二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)二階系統(tǒng)當(dāng)阻尼ζ>1時，其極點為兩個負(fù)實數(shù)，利用部分分式展開，可將傳遞函數(shù)分解成兩個一階慣性環(huán)節(jié)的疊加。因此，研究二階系統(tǒng)最重要的是研究0<ζ<1，即欠阻尼的情況，該種情況也是實際控制系統(tǒng)中最常用的。圖3-13二階系統(tǒng)極點與參數(shù)關(guān)系圖對于二階系統(tǒng)，有其極點為極點與參數(shù)關(guān)系圖如圖3-13所示。極點的模為且有或或下面推導(dǎo)欠阻尼情況下，二階系統(tǒng)各項性能指標(biāo)的計算公式。1)求上升時間tr由式(3-14)可知由上升時間tr的定義知，對于有振蕩的系統(tǒng)，tr為c(t)響應(yīng)從零第一次上升到終值所需的時間。將c(tr)=1代入式（3-14），得因為,所以可得由圖3-13可知(3-19)(3-18)所以式(3-18)亦可寫成(3-20)2)求峰值時間tp由峰值時間tp的定義知，tp為c(t)響應(yīng)超過其終值到達(dá)第一個峰值所需的時間。由式(3-14)和式(3-19)得(3-21)根據(jù)數(shù)學(xué)求極值概念，令即因為，所以由此可得,ωdtp=π,則(3-22)3)求最大超調(diào)量σ%根據(jù)最大超調(diào)量σ%定義式（3-8），將tp=π/ωd代入式（3-21）可得(3-23)根據(jù)式(3-23)可得表3-2。表3-2不同阻尼比時的最大超調(diào)量4)求調(diào)節(jié)時間ts由式(3-21)知則曲線為其包絡(luò)線，如圖3-14所示。圖3-14二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)包絡(luò)線按進(jìn)入5%誤差帶計算，有則(3-24)當(dāng)ζ較小時，有(3-25)經(jīng)過調(diào)節(jié)時間ts后，欠阻尼的二階系統(tǒng)進(jìn)入±5%的誤差范圍。同理可得，欲使欠阻尼的二階系統(tǒng)進(jìn)入±2%的誤差范圍，則(3-26)【例1】

如圖3-15所示系統(tǒng)，在單位階躍函數(shù)輸入下，欲使系統(tǒng)的最大超調(diào)量等于20%，峰值時間tp=1s，試確定增益K和Kh的數(shù)值，并求此時系統(tǒng)的上升時向tr和調(diào)節(jié)時間ts。圖3-15例1系統(tǒng)方框圖【例2】如圖3-16所示的某二階系統(tǒng)，其中ζ=0.5,ωn=4rad/s。當(dāng)輸入信號為單位階躍函數(shù)時，試求系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)指標(biāo)。

圖3-16某二階系統(tǒng)方框圖高階系統(tǒng)的時域分析比較復(fù)雜，這里只進(jìn)行簡單的定性分析。對于三階及三階以上的系統(tǒng)，通常稱為高階系統(tǒng)。其傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式為4.4補充：高階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)設(shè)輸入信號為單位階躍函數(shù)，則(3-27)如果其各極點互不相同，則式(3-27)可展開成經(jīng)拉氏反變換，得(3-28)由式(3-28)可見，一般的高階系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)是由一些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應(yīng)函數(shù)疊加組成的。當(dāng)所有極點均具有負(fù)實數(shù)時，除了常數(shù)a，其他各項隨著時間t→∞而衰減為零，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。某些高階系統(tǒng)通過合理的簡化，可以用低階系統(tǒng)近似，以下兩種情況可以作為簡化的依據(jù):(1)由式（3-27）和式（3-28）可見，系統(tǒng)極點的負(fù)實部愈是遠(yuǎn)離虛軸，該極點對應(yīng)的項在動態(tài)響應(yīng)中衰減得愈快；反之，距虛軸最近的閉環(huán)極點對應(yīng)著動態(tài)響應(yīng)中衰減最慢的項，該極點對（或極點）對動態(tài)響應(yīng)起到主導(dǎo)作用，稱之為“主導(dǎo)極點”。一般工程上當(dāng)極點A距離虛軸的距離大于5倍的極點B距虛軸的距離時，分析系統(tǒng)時可忽略極點A。

(2)閉環(huán)傳遞函數(shù)中，如果負(fù)實部的零、極點在數(shù)值上相近，則可將該零點和極點一起消掉，稱之為“偶極子相消”。1.系統(tǒng)穩(wěn)定性概念研究任何自動控制系統(tǒng)，首要的工作都是建立合理的數(shù)學(xué)模型。一旦建立了數(shù)學(xué)模型，就可以進(jìn)行自動控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計。對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析，就是分析控制系統(tǒng)能否滿足對它所提出的性能指標(biāo)要求，分析某些參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。工程上對系統(tǒng)性能進(jìn)行分析的主要內(nèi)容是穩(wěn)定性分析、穩(wěn)態(tài)性能分析和動態(tài)性能分析。4.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

其中，最重要的性能是穩(wěn)定性，這是因為工程上所使用的控制系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的系統(tǒng)，不穩(wěn)定的系統(tǒng)根本無法工作。系統(tǒng)的穩(wěn)定性（Stability）是指自動控制系統(tǒng)在受到擾動作用使平衡狀態(tài)破壞后，經(jīng)過調(diào)節(jié)，能重新達(dá)到平衡狀態(tài)的性能。當(dāng)系統(tǒng)受到擾動后（如負(fù)載轉(zhuǎn)矩的變化、電網(wǎng)電壓的變化等）偏離了原來的平衡狀態(tài)，若這種偏離不斷擴大，即使擾動消失，系統(tǒng)也不能回到平衡狀態(tài)，如圖3-17(a)所示，這種系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的；若通過系統(tǒng)自身的調(diào)節(jié)作用，使偏差最后逐漸減小，系統(tǒng)又逐漸恢復(fù)到平衡狀態(tài)，那么，這種系統(tǒng)便是穩(wěn)定的，如圖3-17(b)所示。圖3-17穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)

(a)不穩(wěn)定系統(tǒng);(b)穩(wěn)定系統(tǒng)在自動控制系統(tǒng)中，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定的物理原因主要是：系統(tǒng)中存在慣性或延遲環(huán)節(jié)（例如機械慣性、電動機電路的電磁慣性、晶閘管的延遲、齒輪的間隙等），它們使系統(tǒng)中的信號產(chǎn)生時間上的滯后，使輸出信號在時間上較輸入信號滯后了τ時間。當(dāng)系統(tǒng)設(shè)有反饋環(huán)節(jié)時，又將這種在時間上滯后的信號反饋到輸入端，參見圖3-18。圖3-18造成自動控制系統(tǒng)不穩(wěn)定的物理原因由圖3-18可見，反饋量中出現(xiàn)了與輸入量極性相同的部分，該同極性的部分便具有正反饋的作用，它便是系統(tǒng)不穩(wěn)定的因素。當(dāng)滯后的相位過大，或系統(tǒng)放大倍數(shù)不適當(dāng)（例如過大），使正反饋作用成為主導(dǎo)作用時，系統(tǒng)便會形成振蕩而不穩(wěn)定。例如，當(dāng)滯后的相位為180°時，在所有時間上都成了正反饋，倘若系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)又大于1，則反饋量進(jìn)入輸入端，經(jīng)放大后，會產(chǎn)生更大的輸出，如此循環(huán)，即使輸入量消失，輸出量的幅值也會愈來愈大，形成增幅振蕩，成為如圖3-17(a)所示不穩(wěn)定狀況。

系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念又分絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性兩種。

系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性是指系統(tǒng)穩(wěn)定（或不穩(wěn)定）的條件,即形成如圖3-17(b)所示狀況的充要條件。系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性是指穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。例如,圖3-19(a)所示系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性就明顯好于如圖3-19(b)所示的系統(tǒng)。圖3-19自動控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

(a)相對穩(wěn)定性好;(b)相對穩(wěn)定性差2.系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件分析了影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的物理原因，就可以明確改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方向，但系統(tǒng)中的參數(shù)（或結(jié)構(gòu)）究竟應(yīng)取怎樣的數(shù)值（或結(jié)構(gòu)）才能滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性的要求，僅用定性分析是解決不了的。為此，必須應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，首先要研究穩(wěn)定性和數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系。系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型是微分方程。因此，下面先研究穩(wěn)定性與微分方程之間的關(guān)系。若設(shè)系統(tǒng)的輸入量只有擾動作用D(t),擾動作用下的輸出為C(t),則系統(tǒng)微分方程的一般式為根據(jù)穩(wěn)定性的概念可知，研究系統(tǒng)穩(wěn)定性，就是研究系統(tǒng)在擾動消失以后的運動情況。因而，可以從研究上列微分方程的等號右邊為零時的情況手，即研究上列微分方程的齊次方程：由高等數(shù)學(xué)可知，解齊次微分方程時，首先應(yīng)求解它的特征方程(CharacteristicEquation)，即ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0(3-29)當(dāng)求得了特征方程的根s1,s2,…,sn時，就可以得到齊次微分方程解的一般式，即(3-30)式中，C1,C2,…,Cn是積分常數(shù)。

特征方程的根可能是實根，也可能是復(fù)根。如果特征方程有一個實根s=a,則齊次微分方程相應(yīng)的解為c(t)=Ceat。它表示系統(tǒng)在擾動消失以后的運動過程是指數(shù)曲線形式的非周期性變化過程。若a為負(fù)數(shù)，則當(dāng)t→∞時,c(t)→0,說明系統(tǒng)的運動是衰減的，并最終返回原平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若a為正數(shù)，則當(dāng)t→∞時，c(t)→∞,說明系統(tǒng)的運動是發(fā)散的，不能返回原平衡狀態(tài)，即系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。若a=0,c(t)→常數(shù)，說明系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界（并不返回原平衡狀態(tài)，不屬于穩(wěn)定狀態(tài)）。如果特征方程有一對復(fù)數(shù)根s=α±jω，則齊次微分方程相應(yīng)的解為:c(t)=C1e(α+jω)t+C2e(α-jω)t=Ceαcos(ωt+φ)(3-31)

它表示系統(tǒng)在擾動消失以后的運動過程是一個周期性振蕩過程。此時：若α是負(fù)數(shù)，則當(dāng)t→∞時,c(t)→０，是個衰減振蕩過程，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若α是正數(shù)，則當(dāng)t→∞時，c(t)→∞，是個發(fā)散振蕩過程，即系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。若α=0，則當(dāng)t→∞時c(t)→C

cos(ωt+φ)，是個等幅振蕩過程，系統(tǒng)處于穩(wěn)定邊界（不屬于穩(wěn)定狀態(tài)）。

表3-3系統(tǒng)穩(wěn)定性和特征方程的根的關(guān)系由以上分析還可看出，對穩(wěn)定的系統(tǒng)，若α的值|α|愈大，即負(fù)實根或具有負(fù)實部的復(fù)根離虛軸（Im軸）愈遠(yuǎn);由式(3-31)可見，指數(shù)曲線衰減得愈快，則系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間愈短，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性愈好，參見圖3-20。圖3-20復(fù)平面上根的位置與系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性3.代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

下面以勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)為例來說明代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用。若系統(tǒng)微分方程的特征方程為

ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0=0則由特征方程的系數(shù)可排成下列的行列式（稱為勞斯-赫爾維茨行列式）。此行列式的特點是：第一行為第二項、第四項等偶數(shù)項的系數(shù);第二行則為第一項、第三項等奇數(shù)項的系數(shù)；第三、四行則重復(fù)第一、二行的排列，但向右移動一列，前一列則以0數(shù)代替；以下各行以此類推，參見式(3-32)。換句話說，主對角線上的元素為an-1,an-2,…,a1,a0，其他列上的元素為從上至下升冪排列，不足項用0填補。式中Δ1,Δ2,Δ3，…,Δn-1代表各子行列式。（3-32）勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的結(jié)論為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分且必要的條件是：(1)系統(tǒng)的特征方程的各項系數(shù)an,an-1,…,a0均為正值。(2)主行列式Δn和各子行列式Δ1,Δ2,Δ3,…,Δn-1的值均大于零?！纠?】

在圖3-21的調(diào)速系統(tǒng)方框圖中，已知Ks=40,Keφ=0.12V/(r/min),Tm=0.1s,Td=0.02s,τ0=5ms=0.005s,α=0.01V/(r/min)，比例調(diào)節(jié)器的增益Kk為待定量。求該系統(tǒng)的穩(wěn)定條件。圖3-21具有轉(zhuǎn)速負(fù)反饋的晶閘管直流調(diào)速系統(tǒng)方框圖解

由圖3-21可得此系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(3-33)

式中，K=KkKsα/(Keφ)。由式(3-33)可得該系統(tǒng)的特征方程（此為三階系統(tǒng)）：TmTdτ0s3+(TmTd+Tmτ0)s2+(Tm+τ0)s+(1+K)=0上式可寫成:a3s3+a2s2+a1s+a0=0(3-34)式（3-34）中:由式(3-34)可建立勞斯-赫爾維茨行列式：(3-36)

K為系統(tǒng)開環(huán)放大倍數(shù)(3-35)由勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)知，此系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：(1)a3、a2、a1、a0均為正值。由式(3-35)可見，時間常數(shù)、增益、電動機電動勢恒量等均為正值，因此滿足條件(1)。(2)Δ1=a2=TmTd+Tmτ0>0,?！纠?】

設(shè)某系統(tǒng)特征方程為s4+8s3+17s2+16s+5=0試判別其穩(wěn)定性。解:用勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)判別,a4=1，a3=8，a2=17，a1=16，a0=5均大于零，且有：Δ1=8>0Δ2=8×17-16×1=120>0Δ3=8×17×16-16×1×16-8×5×8=2176-256-320=1600>0Δ4=5Δ3=5×1600>0所以，此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。【例3】設(shè)某單位反饋控制系統(tǒng)如圖3-22所示，試計算K為何值時系統(tǒng)穩(wěn)定。圖3-22例3系統(tǒng)方框圖解

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其特征方程為

s3+3s2+2s+K=0根據(jù)勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件有：(1）a3=1，a2=3，a1=2，a0=K必須均大于零，所以有K>0。(2）Δ1=3>0

Δ2=3×2-K>0K<6Δ3=KΔ2>0所以當(dāng)0<K<6時，三階系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3.6系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析1.穩(wěn)態(tài)誤差的概念(SteadyStateError)

自動控制系統(tǒng)的輸出量一般都包含著兩個分量，一個是穩(wěn)態(tài)分量，另一個是暫態(tài)分量。暫態(tài)分量反映了控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，暫態(tài)分量隨著時間的推移，將逐漸減小并最終趨向于零。穩(wěn)態(tài)分量反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，即反映控制系統(tǒng)跟隨給定量和抑制擾動量的能力和準(zhǔn)確度。穩(wěn)態(tài)性能的優(yōu)劣，一般以穩(wěn)態(tài)誤差的大小來度量。穩(wěn)態(tài)誤差始終存在于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)工作狀態(tài)之中，一般說來，系統(tǒng)長時間的工作狀態(tài)是穩(wěn)態(tài)，因此在設(shè)計系統(tǒng)時，除了首先要保證系統(tǒng)能穩(wěn)定運行外，其次就是要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差小于規(guī)定的允許值。我們所研究的系統(tǒng)如圖3-23所示。圖3-23說明誤差分析的閉環(huán)系統(tǒng)誤差(Error)有兩種不同的定義方法。一種是它等于給定信號r(t)與主反饋信號b(t)之間的差，用e(t)表示，即e(t)=r(t)-b(t)當(dāng)時間t→∞時，此差值就是穩(wěn)態(tài)誤差，用ess表示，即對于單位反饋系統(tǒng)，b(t)=c(t)，所以穩(wěn)態(tài)誤差ess為(3-37)(3-38)2.穩(wěn)態(tài)誤差的計算計算響應(yīng)的終值，可以直接運用拉氏變換的終值定理，而無須解出響應(yīng)。終值可表達(dá)為(3-39)式中，F(xiàn)(s)為f(t)的拉氏變換。應(yīng)用終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差，則(3-40)由式(3-40)看出，計算ess應(yīng)首先求出誤差的拉氏變換E(s)，對圖3-23所示系統(tǒng)，如誤差定義為e(t)=r(t)-b(t)，則E(s)=R(s)-B(s)而E(s)又可表示為:E(s)=GBr(s)R(s)+GBn(s)N(s)(3-41)式中，GBr(s)為系統(tǒng)對輸入信號的誤差傳遞函數(shù)；GBn(s)為系統(tǒng)對干擾的誤差傳遞函數(shù)。故穩(wěn)態(tài)誤差計算式為(3-42)其中，essr為r(t)引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，稱跟隨誤差;essn為n(t)引起的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，稱擾動誤差?！纠?】單位反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-24所示，參數(shù)K1、K2大于零。設(shè)輸入信號r(t)=1(t),干擾信號n(t)=1(t)，試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess。圖3-24例1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解

(1)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。圖3-24所示系統(tǒng)為一階系統(tǒng)，參數(shù)K1、K2都大于零，因此系統(tǒng)必穩(wěn)定。

(2)求E(s)。E(s)

=GBr(s)R(s)+GBn(s)N(s)(3)求ess。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)稱為系統(tǒng)的型別，也叫無差度，用ν表示。ν=0的系統(tǒng)稱為0型系統(tǒng)。ν=1的系統(tǒng)稱為Ⅰ型系統(tǒng)。ν=2的系統(tǒng)稱為Ⅱ型系統(tǒng)。3.給定信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差在不考慮擾動信號作用時，有(3-43)所以令系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)=G1(s)G2(s)H(s)則(3-44)1)輸入為單位階躍函數(shù)對單位階躍函數(shù)有R(s)=1/s,故由式(3-44)得出穩(wěn)態(tài)誤差為令(3-45)并稱Kp為系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)，則穩(wěn)態(tài)誤差和位置誤差系數(shù)的關(guān)系為(3-46)根據(jù)式(3-45)和式(3-46),可以求得對應(yīng)不同類型系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)Kp及ess為：對于0型系統(tǒng)：Kp=K,ess=1/(1+K)；對于Ⅰ型系統(tǒng):Kp=∞,ess=0；對于Ⅱ型系統(tǒng)：Kp=∞,ess=0。由此可知，對于0型系統(tǒng)，開環(huán)放大倍數(shù)越大，單位階躍函數(shù)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差越??；對于Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。稱穩(wěn)態(tài)誤差為零的系統(tǒng)為無差系統(tǒng)，稱穩(wěn)態(tài)誤差為有限值的系統(tǒng)為有差系統(tǒng)。2)輸入為單位斜坡函數(shù)對單位斜坡函數(shù)有R(s)=1/s2,故系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令(3-47)稱Kv為系統(tǒng)的速度誤差系數(shù),則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差與Kv的關(guān)系為(3-48)對于不同類型系統(tǒng)，相應(yīng)的速度誤差系數(shù)和穩(wěn)態(tài)誤差為:對于0型系統(tǒng)：Kv=0,ess=∞；對于Ⅰ型系統(tǒng):Kv=K,ess=1/K；對于Ⅱ型系統(tǒng)：Kv=∞,ess=0。由此可知,0型系統(tǒng)不能實現(xiàn)正常跟蹤斜坡函數(shù)輸入。3)輸入為單位拋物線函數(shù)對單位拋物線函數(shù)有R(s)=1/s3，令(3-49)稱Ka為系統(tǒng)的加速度誤差系數(shù)。由前述推論可知，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為(3-50)對于0型系統(tǒng)：Ka=0,ess=∞；對于Ⅰ型系統(tǒng):Ka=0,ess=∞；對于Ⅱ型系統(tǒng)：Ka=K,ess=1/K。表3-4典型輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差和誤差系數(shù)表由表3-4可以看出，在相同輸入信號情況下，增大系統(tǒng)型別ν，可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。增大開環(huán)放大系數(shù)K，可以減少系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。必須指出，增大開環(huán)放大系數(shù)K和系統(tǒng)型別ν雖然可改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，但往往會導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號r(t)=A+Bt+Ct2/2時，用疊加原理可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為:4.干擾信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差如圖3-25所示系統(tǒng)，討論其在階躍干擾下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差essn。此時，將輸入量當(dāng)零處理，即r(t)=0,有(3-51)圖3-25隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖設(shè)n(t)=1(t)，則N(s)=1/s。圖3-25經(jīng)結(jié)構(gòu)變換可得代入式(3-51)得(3-52)下面用一個特定的傳遞函數(shù)G1(s)替換圖3-25所示系統(tǒng)中的K1，進(jìn)而尋找ess=0的條件。在式(3-52)中以G1(s)代替K1，得(3-53)希望ess=0，則G1(s)中必須至少有一個1/s因子。若設(shè)G1(s)=K1/s，則由圖3-25可以看出，系統(tǒng)將變得不穩(wěn)定，這是不允許的。因此，還必須設(shè)置比例微分因子(τs+1)，故取代入式（3-53），則

同理，當(dāng)干擾n(t)為斜坡作用時，可由式(3-53)推出，為使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零，G1(s)中至少要配置兩個積分環(huán)節(jié)，考慮到系統(tǒng)穩(wěn)定性,G1(s)應(yīng)取K1(τ1s+1)(τ2s+1)/s2形式。3.7應(yīng)用MATLAB進(jìn)行時域分析1.應(yīng)用MATLAB分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性在MATLAB中，可利用pzmap函數(shù)繪制連續(xù)的零、極點圖，也可以利用tf2zp函數(shù)求出系統(tǒng)的零、極點，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。【例1】

已知連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為要求：(1)求出該系統(tǒng)的零、極點及增益；(2)繪出其零、極點圖，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解:可執(zhí)行如下程序：

%Thisprogramcreateatransferfunctionandthenfinds/displaysitspoles,zerosandgainnum=［3,2,5,4,6］;den=［1,3,4,2,7,2］;［z,p,k］=tf2zp(num,den);disp(z)disp(p)disp(k)pzmap(num,den);title(′Polesandzerosmap′);程序執(zhí)行結(jié)果如下：屏幕顯示：z=0.4019+1.1965ip=-1.7680+1.2673i0.4019-1.1965i-1.7680-1.2673i-0.7352+0.8455i0.4176+1.1130i

-0.7352-0.8455i0.4176-1.1130i-0.2991

K=3同時,屏幕上顯示系統(tǒng)的零、極點分布圖，如圖3-26所示?？梢钥闯鱿到y(tǒng)有在s右半平面上的閉環(huán)極點，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖3-26系統(tǒng)零、極點分布圖2.應(yīng)用MATLAB分析系統(tǒng)的動態(tài)特性在MATLAB中，提供了求取連續(xù)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)step,以及任意輸入下的仿真函數(shù)lsim?！纠?】已知典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:其中ωn=6，繪制系統(tǒng)在ζ=0.1,0.2,…,1.0,2.0時的單位階躍響應(yīng)。

解可執(zhí)行如下程序：%Thisprogramplotsacurveofstepresponsewn=6;kosi=［0.1,0.2,1.0,2.0］;figure(1)holdonforkos=kosinum=wn.^2;den=［1,2*kos*wn,wn.^2］;step(num,den);end;title(′StepResponse′);holdoff函數(shù)計算系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，該程序執(zhí)行后單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-27所示。從圖中可以看出，在過阻尼和臨界阻尼曲線中，臨界阻尼響應(yīng)具有最短的上升時間，響應(yīng)速度最快；在欠阻尼的響應(yīng)曲線中，阻尼系數(shù)越小，超調(diào)量越大，上升時間越短。通常取ζ=0.4～0.8為宜。圖3-27典型二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線【例3】

已知三階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為繪制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。解可執(zhí)行如下程序：

%Thisprogramplotsacurveofstepresponseforthreeordersystemclfnum=［100,200］;den=［1,1.4,100.44,100.04］;h=tf(num,den);［y,t,x］=step(h);plot(t,y);

xlabel(′time′),ylabel(′amplitude′);title(′stepresponse′）;

clf是清屏命令。程序［y,t,x］=step(h)是計算系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，并把計算結(jié)果分別存于變量y和x中，對應(yīng)的時間量存于變量t。該程序執(zhí)行后三階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-28所示。從圖中可以看出，隨著時間的推移，系統(tǒng)的響應(yīng)曲線逐漸趨向于給定值，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖3-28三階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線MATLAB中所提供的單位階躍響應(yīng)函數(shù)step和任意輸入下的仿真函數(shù)lsim的輸入變量不僅可以是系統(tǒng)的零、極點形式，傳遞函數(shù)形式，還可以是狀態(tài)空間模型形式。具體用法可參見MATLAB的在線幫助系統(tǒng)或相關(guān)參考書。習(xí)題3-1為什么自動控制系統(tǒng)會產(chǎn)生不穩(wěn)定現(xiàn)象？開環(huán)系統(tǒng)是不是總是穩(wěn)定的？3-2系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)特征方程的根有怎樣的關(guān)系？為什么？3-3某系統(tǒng)對給定信號為無靜差，則對擾動信號是否也是無靜差？反之，若對擾動信號為無靜差，則對給定信號是否也是無靜差？為什么？3-4在分析穩(wěn)態(tài)誤差時，對調(diào)速系統(tǒng)為什么通常以階躍輸入信號為代表；而對隨動系統(tǒng)為什么又通常以速度輸入信號為代表？3-5已知某元部件的傳遞函數(shù)為欲采用圖3-29中引入負(fù)反饋的辦法，將調(diào)節(jié)時間ts減至原來的0.1倍，但總放大系數(shù)保持不變，試選擇Kh、K0的值。圖3-29習(xí)題3-5圖3-6設(shè)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為c(t)=8(1-e-0.3t)試求系統(tǒng)的過渡過程時間。3-7設(shè)某溫度計的動態(tài)特性可用一慣性環(huán)節(jié)1/(Ts+1)來描述。用該溫度計測量容器內(nèi)的水溫，發(fā)現(xiàn)一分鐘后溫度計的示值為實際水溫的98％。若給容器加熱，使水溫以10℃／min的速度線性上升，試計算該溫度計的穩(wěn)態(tài)指示誤差。3-8設(shè)一伺服馬達(dá)的傳遞函數(shù)為假定馬達(dá)以ω0的恒定速度轉(zhuǎn)動，當(dāng)馬達(dá)的控制電壓U0突然降到0時，試求其速度響應(yīng)方程式。3-9兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為當(dāng)輸入信號為1(t)時，試說明其輸出到達(dá)各自穩(wěn)態(tài)值的63.2％的先后順序。3-10已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。3-11設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)及上升時間、超調(diào)量、調(diào)整時間。3-12已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為c(t)=1-1.8e-4t+0.8e-9t，求：(1)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù);(2)系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然振蕩頻率。3-13已知單位負(fù)反饋二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-30所示，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。圖3-3