高考壓軸題：函數(shù)(絕對解決)

9-二次函數(shù)一、正向型已知定義域的區(qū)間，求最值。一般討論對稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系。只有四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。軸定區(qū)間定（常常出現(xiàn)在一元三次方程的大題中）（2008年陜西卷）22．本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)其中實數(shù)．（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)與的圖象只有一個公共點且存在最小值時，并且記的最小值為，求的值域；（Ⅲ）若與在區(qū)間內(nèi)均為增函數(shù)，求的取值范圍．解：（Ⅰ），又，當(dāng)時，；當(dāng)時，，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)．（Ⅱ）由題意知，即恰有一根（含重根）．≤，即≤≤，又，．當(dāng)時，才存在最小值，．，．的值域為．（Ⅲ）當(dāng)時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．由題意得，解得≥；當(dāng)時，在和內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．由題意得，解得≤；綜上可知，實數(shù)的取值范圍為．2.軸定區(qū)間動（全國卷）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)，求f(x)的最小值。解：（1）當(dāng)時，①若，則;②若，則（2）當(dāng)時，①若，則;；②若，則綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，。軸動區(qū)間定（最簡單）求函數(shù)在上的最大值。解：函數(shù)圖象的對稱軸方程為，應(yīng)分，，即，和這三種情形討論，下列三圖分別為（1）；由圖可知（2）；由圖可知（3）時；由圖可知；即4.軸變區(qū)間變已知，求的最小值。解：將代入u中，得①，即時，②，即時，所以二、逆向型：已知最值，求函數(shù)的參數(shù)值。1、已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，求實數(shù)a的值。解：（1）若，不合題意。（2）若則由，得（3）若時，則由，得綜上知或2、已知函數(shù)在區(qū)間上的值域是，求m，n的值?！竞苤匾拷馕?：討論對稱軸中1與的位置關(guān)系。①若，則解得②若，則，無解③若，則，無解④若，則，無解綜上，解析2：由，知，則，f(x)在上遞增。所以解得練習(xí)：（先寫再看效果最好。不寫的一定要看）1、（2008江西卷21）．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的圖像與直線恰有兩個交點，求的取值范圍．解：（1）因為令得由時，在根的左右的符號如下表所示極小值極大值極小值所以的遞增區(qū)間為的遞減區(qū)間為（2）由（1）得到，要使的圖像與直線恰有兩個交點，只要或，即或.2、已知二次函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，求實數(shù)a的值。分析：逆向的最值問題，從最值入手，需分與兩大類五種情形討論，過程麻煩啊啊啊啊啊。但注意到的最值總是在閉區(qū)間的端點或拋物線的頂點處取到，因此先計算這些點的函數(shù)值，再檢驗其真假，過程簡明。解：（1）令，得此時拋物線開口向下，對稱軸為，且。故不合題意；（2）令，得，此時拋物線開口向上，閉區(qū)間的右端點距離對稱軸遠(yuǎn)些，故符合題意；（3）若，得，經(jīng)檢驗，符合題意。綜上，或3、（2008山東卷21．）（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點．（Ⅰ）求和的值；（Ⅱ）討論的單調(diào)性；（Ⅲ）設(shè)，試比較與的大?。猓海á瘢┮驗?，又和為的極值點，所以，因此解方程組得，．（Ⅱ）因為，，所以，令，解得，，．因為當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以在和上是單調(diào)遞增的；在和上是單調(diào)遞減的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，故，令，則．令，得，因為時，，所以在上單調(diào)遞減．故時，；因為時，，所以在上單調(diào)遞增．故時，．所以對任意，恒有，又，因此，故對任意，恒有．2010遼寧(21)(本小題滿分12分)

已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)設(shè)a≤-2，證明：對任意x2,x2(0,+∞)，|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|.解：(Ⅰ)f(x)的定義域為(0,+)，.當(dāng)a≥0時，＞0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當(dāng)a≤－1時，＜0,故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當(dāng)－1＜a＜0時，令＝0,解得x=.當(dāng)x∈(0,)時,＞0；x∈(，+)時，＜0,f(x)在（0,）單調(diào)增，在（，+）單調(diào)減少.(Ⅱ)不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價于≥4x1－4x2,即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4＝. 8分于是≤＝≤0.從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故對任意x1,x2∈(0,+)，.12分2010全國卷2（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=x-3ax+3x+1。（Ⅰ）設(shè)a=2，求f（x）的單調(diào)期間；（Ⅱ）設(shè)f（x）在區(qū)間（2,3）中至少有一個極值點，求a的取值范圍。解：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0求出增區(qū)間；由導(dǎo)數(shù)小于0，求出減區(qū)間。（Ⅱ）f(x)在(2,3)內(nèi)有極值，即f’(x)在（2,3）有個零點，即f’(2)f’(3)＜0，即可求出a。2010山東理數(shù)(22)(本小題滿分14分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)當(dāng)時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.[來源:Z+xx+k.Com]解：（Ⅰ）因為，所以，令，①當(dāng)時，恒成立，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；③當(dāng)時，由于，，,此時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增.（Ⅱ）因為a=，由（Ⅰ）知，=1，=3，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在（0，2）上的最小值為。由于“對任意，存在，使”等價于“在上的最小值不大于在（0,2）上的最小值”（*）又=，，所以①當(dāng)時，因為，此時與（*）矛盾②當(dāng)時，因為，同樣與（*）矛盾③當(dāng)時，因為，解不等式8-4b，可得附：二次函數(shù)在高考中是各個省份出現(xiàn)頻率很高的壓軸題，必須掌握。2010湖南理數(shù)：已知函數(shù)（Ⅰ）證明：當(dāng)（Ⅱ）若對滿足題設(shè)條件的任意b,c，不等式恒成立，求M的最小值。2010天津：已知已知函數(shù)其中＞0。(Ⅰ)若=1，求曲線在點(2，)處的切線方程：(Ⅱ)若在區(qū)間上，＞0恒成立，求的取值范圍。2010福建22.已知函數(shù)f（x）=的圖像在點P（0,f(0)）處的切線方程為y=3x-2(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值；(Ⅱ)設(shè)g（x）=f(x)+是[]上的增函數(shù)。（i）求實數(shù)m的最大值；(ii)當(dāng)m取最大值時，是否存在點Q，使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。2010重慶：已知函數(shù)（其中常數(shù)a，b∈R），是奇函數(shù).（Ⅰ）求的表達(dá)式；（Ⅱ）討論的單調(diào)性，并求在區(qū)間上的最大值與最小值.殷希群：實際上，高考這一年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)工作概括起來就三句話：澄清概念（思維細(xì)胞）；歸納方法（何時用，用的要領(lǐng)）；學(xué)會思考。在此向進(jìn)入數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)的同學(xué)提五項建議：一、夯實基礎(chǔ)，知識與能力并重。二、復(fù)習(xí)中要把注意力放在培養(yǎng)自己的思維能力上。（摘選）學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)：1.內(nèi)容上要充分領(lǐng)悟三個方面：理論、方法、思維；2.解題上要抓好三個字：數(shù)、式、形；3.記方法，并明白方法的優(yōu)略性三、講究復(fù)習(xí)策略。數(shù)學(xué)是應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)解題方法和思想。第一輪復(fù)習(xí)中，花100分鐘做10道題不如花100分鐘掌握一類問題的解題方法和思想。四、加強(qiáng)做題后的反思：（不留下任何知識的盲點）五、高考主干知識八大塊：1.函數(shù)；2.數(shù)列；3.平面向量；4.不等式（解與證）；5.解析幾何；6.立體幾何；7.概率、統(tǒng)計；8.導(dǎo)數(shù)