第四章 剛體轉(zhuǎn)動(dòng) fhfdtgj

第四章剛體力學(xué)4-1剛體的基本運(yùn)動(dòng)剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.

（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).

剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同，或者說(shuō)剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的連線總是平行于它們的初始位置間的連線.一.平動(dòng)ababab剛體平動(dòng)時(shí)，各質(zhì)元的軌跡都一樣，故可用體內(nèi)任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)來(lái)代表整體的運(yùn)動(dòng)。剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)三.剛體的平面運(yùn)動(dòng).二.轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng):剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線做圓周運(yùn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)分為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).可看成一次平動(dòng)加一次轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+第四章剛體力學(xué)4-2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述z剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上任意點(diǎn)都繞同一固定軸作圓周運(yùn)動(dòng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體上任意質(zhì)元作圓周運(yùn)動(dòng)具有相同的，，即定軸轉(zhuǎn)動(dòng)用角量描述最為方便。線速度切向加速度法向加速度剛體內(nèi)任意一質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的垂直距離ωωP轉(zhuǎn)動(dòng)平面vθ

θ參考方向一剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)平面角位移角坐標(biāo)<0q0>q約定沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量

方向:右手螺旋方向參考方向角加速度1）每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；2）任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不同；3）運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo).定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維轉(zhuǎn)動(dòng)）的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正負(fù)來(lái)表示.二勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)的公式

剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度為恒量。剛體勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式對(duì)比飛輪30s

內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度例1

一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150r·min-1，因受制動(dòng)而均勻減速，經(jīng)30s停止轉(zhuǎn)動(dòng).試求：（1）角加速度和在此時(shí)間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動(dòng)開(kāi)始后t=6s

時(shí)飛輪的角速度；（3）t=6s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

時(shí)，設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，

t=0s

（2）時(shí)，飛輪的角速度（3）時(shí)，飛輪邊緣上一點(diǎn)的線速度大小該點(diǎn)的切向加速度和法向加速度轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)

例2

在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過(guò)中心的軸轉(zhuǎn)動(dòng).開(kāi)始時(shí)，它的角速度，經(jīng)300s后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到18000r·min-1.已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時(shí)間成正比.問(wèn)在這段時(shí)間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)多少轉(zhuǎn)？解:(1)

先求w~t

關(guān)系得當(dāng)t=300s時(shí)所以由題意，令，即，積分轉(zhuǎn)子的角速度（2）由角速度的定義得有在300s內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的轉(zhuǎn)數(shù)第四章剛體力學(xué)4-3力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量P*O

:力臂剛體繞Oz

軸旋轉(zhuǎn),力作用在剛體上點(diǎn)P,

且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的徑矢.對(duì)轉(zhuǎn)軸Z的力矩

一力矩O討論

1）若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和其中對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩定軸轉(zhuǎn)動(dòng)先確定轉(zhuǎn)動(dòng)方向，再確定力矩的正負(fù)。3）

剛體內(nèi)作用力和反作用力的力矩互相抵消O4）力矩的單位只能用牛頓米，而不能用焦耳。O二轉(zhuǎn)動(dòng)定律2）剛體質(zhì)量元受外力，內(nèi)力

1）單個(gè)質(zhì)點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸剛性連接外力矩內(nèi)力矩O剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:O三轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物理意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.1、與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)的因素：剛體的質(zhì)量轉(zhuǎn)軸的位置剛體的質(zhì)量分布環(huán):質(zhì)量m、半徑R，.o盤:質(zhì)量m、半徑R，.oI大I小木鐵oo′I大I?。嘿|(zhì)量元質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

對(duì)質(zhì)量線分布的剛體：：質(zhì)量線密度線分布

對(duì)質(zhì)量面分布的剛體：：質(zhì)量面密度面分布

對(duì)質(zhì)量體分布的剛體：：質(zhì)量體密度體分布對(duì)AA’

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量37°0.8a0.6aaaaaA'AB'B2m2mmm對(duì)BB’

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例1O′O

解設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的質(zhì)量元例2一質(zhì)量為、長(zhǎng)為

的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，求通過(guò)棒中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.O′O如轉(zhuǎn)軸過(guò)端點(diǎn)垂直于棒試比較大小例3一質(zhì)量為m,長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)空心圓柱體（即圓筒）,其內(nèi)、外半徑分別為R1和R2。求對(duì)幾何軸oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.zo解：薄圓柱殼的體積薄圓柱殼的質(zhì)量薄圓柱殼對(duì)oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量因與L無(wú)關(guān)，所以該式也是均質(zhì)圓環(huán)對(duì)oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。均質(zhì)圓筒對(duì)oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量討論：（1）若內(nèi)半徑R1=0，得均質(zhì)實(shí)心圓柱體對(duì)oz

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：（2）若圓筒壁很薄R1≈R2=R,得薄圓筒對(duì)oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：均質(zhì)圓盤對(duì)oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均質(zhì)細(xì)圓環(huán)對(duì)oz的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四平行軸定理

正交軸定理P轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小取決于剛體的質(zhì)量、形狀及轉(zhuǎn)軸的位置.質(zhì)量為

的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則對(duì)任一與該軸平行，相距為

d

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CO注意例：圓盤對(duì)P軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量O1.平行軸定理例4

右圖所示剛體對(duì)經(jīng)過(guò)棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如何計(jì)算？(棒長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為mL

,圓盤半徑為R、質(zhì)量為m0）O解：直桿部分對(duì)O軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓盤部分對(duì)O軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？2.正交軸定理對(duì)薄板狀剛體：對(duì)板面內(nèi)相互垂直的兩個(gè)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和等于該剛體對(duì)通過(guò)兩軸交點(diǎn)且垂直于板面的定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例5：細(xì)圓環(huán)，已知均質(zhì)細(xì)圓環(huán)對(duì)過(guò)中心垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：對(duì)其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為回旋半徑R回：五.轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用①選擇隔離體：平動(dòng)物體、轉(zhuǎn)動(dòng)物體。②受力分析：對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體分析力矩；對(duì)平動(dòng)物體分析力。繪出示力圖。畫出隔離體的加速度方向；⑦

先用文字符號(hào)求解，后帶入數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果.

③取坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸盡量順著運(yùn)動(dòng)方向；④對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)物體列轉(zhuǎn)動(dòng)定律方程，對(duì)平動(dòng)物體應(yīng)用牛頓第二定律分量式方程；⑤找出平動(dòng)物體、轉(zhuǎn)動(dòng)物體之間的聯(lián)系；⑥利用其它的約束條件列補(bǔ)充方程；解：動(dòng)力學(xué)關(guān)系對(duì)輪：TRI=a

(1),對(duì)：mmgTma-=

(2)

轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用舉例

定軸O·Rthmv0=0繩mmgT=-T′aTG·RN已知：R

=0.2m，m

=1kg，，

h

=1.5m，繩輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，繩不可伸長(zhǎng)，下落時(shí)間t=3s求：輪對(duì)o軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：a=aR(3)hat=122(4)(1)~(4)聯(lián)立解得：IgthmR=-()2221=-

=(..)..9832151102114222kgm對(duì)：m

(2)對(duì)輪：

(1)例

一根長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺θ角時(shí)的角加速度和角速度。（已知棒對(duì)O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為）Ox解：（1）計(jì)算棒所受重力對(duì)O軸的力矩棒在下擺任意θ角時(shí)，質(zhì)元dm所受重力對(duì)O軸的力矩大小是棒所受重力對(duì)O軸的力矩說(shuō)明：重力對(duì)整個(gè)棒的合力矩和全部重力集中作用于

質(zhì)心所產(chǎn)生的力矩一樣。xxCC+（2）計(jì)算棒在下擺任意θ角時(shí)的角加速度和角速度由于，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得棒的角加速度注意棒在下擺任意θ角時(shí)的角速度O.w0水平面例：在粗糙的平面上，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒，它以角速度w0

繞其一端O點(diǎn)且垂直于該平面的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。若細(xì)棒與粗糙平面之間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為m

。求此細(xì)棒停止其轉(zhuǎn)動(dòng)花多長(zhǎng)的時(shí)間。分析：解：（1）求摩擦力矩r⊙++（2）求tO.w0+水平面⊙+r由轉(zhuǎn)動(dòng)定律常數(shù)法（一）法（二）勻變角速轉(zhuǎn)動(dòng)例

質(zhì)量為mA的物體A

靜止在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩索跨過(guò)一半徑為R、質(zhì)量為mC

的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量為mB

的物體B

上.滑輪與繩索間沒(méi)有滑動(dòng)，且滑輪與軸承間的摩擦力可略去不計(jì).問(wèn)：（1）兩物體的線加速度為多少？水平和豎直兩段繩索的張力各為多少？（2）物體B

從靜止落下距離y

時(shí)，其速率是多少？（3）若滑輪與軸承間的摩擦力不能忽略，并設(shè)它們間的摩擦力矩為Mf

再求線加速度及繩的張力.ABCABCOO解（1）隔離物體分別對(duì)物體A、B

及滑輪作受力分析，取坐標(biāo)如圖，運(yùn)用牛頓第二定律、轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程.

（2）

B由靜止出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，下落的速率（3）考慮滑輪與軸承間的摩擦力矩Mf

，ABC

例

一長(zhǎng)為質(zhì)量為勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O

相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng).由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈O

轉(zhuǎn)動(dòng).試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度.

解細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得由角加速度的定義代入初始條件積分得得式中+第四章剛體力學(xué)4-4剛體的角動(dòng)量角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律力的時(shí)間累積效應(yīng)沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理.力矩的時(shí)間累積效應(yīng)沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理.一.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以角速度作半徑為

的圓運(yùn)動(dòng)，相對(duì)圓心的角動(dòng)量剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，各質(zhì)點(diǎn)都作圓周運(yùn)動(dòng)，剛體對(duì)軸的角動(dòng)量O二.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體也是質(zhì)點(diǎn)系，剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理的微分形式應(yīng)為質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理的微分形式：或?qū)懗珊贤饬囟鴦傮w繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)定律：僅對(duì)剛體成立這兩式對(duì)非剛體（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量能發(fā)生變化）也成立。注意：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理的微分形式或剛體（非剛體）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理：

守恒條件若I

不變，不變；若I變，也變，但不變.三.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律，則若討論有許多現(xiàn)象都可以用角動(dòng)量守恒來(lái)說(shuō)明.花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水四.系統(tǒng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)由多個(gè)物體和質(zhì)點(diǎn)組成時(shí)，則某段時(shí)間內(nèi)對(duì)某軸的合外力矩的沖量矩等于系統(tǒng)繞該軸的角動(dòng)量的增量：應(yīng)對(duì)同一軸，應(yīng)對(duì)同一慣性系。五.系統(tǒng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律：當(dāng)系統(tǒng)對(duì)某軸的合外力矩的沖量矩等于零時(shí)，系統(tǒng)繞該軸的角動(dòng)量守恒：應(yīng)對(duì)同一軸，應(yīng)對(duì)同一慣性系。

角動(dòng)量守恒定律是自然界的一個(gè)基本定律.

內(nèi)力矩不改變系統(tǒng)的角動(dòng)量.

在沖擊等問(wèn)題中常量討論自然界中存在多種守恒定律動(dòng)量守恒定律能量守恒定律角動(dòng)量守恒定律電荷守恒定律質(zhì)量守恒定律宇稱守恒定律等楊振寧與李政道教授在20世紀(jì)50年代提出了“弱相互作用中宇稱不守恒”，為人們認(rèn)識(shí)微觀粒子世界開(kāi)辟了新的天地，獲得1957年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。美國(guó)物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者賽格瑞（E.Segre)推崇楊振寧是“全世界幾十年來(lái)可以算為全才的三個(gè)理論物理學(xué)家之一”。

被中香爐慣性導(dǎo)航儀（陀螺）

角動(dòng)量守恒定律在技術(shù)中的應(yīng)用

例1

質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l

的均勻細(xì)桿,可繞過(guò)其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí),有一只小蟲以速率

垂直落在距點(diǎn)O為

l/4

處,并背離點(diǎn)O

向細(xì)桿的端點(diǎn)A

爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問(wèn):欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng),小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?解:小蟲與細(xì)桿為一系統(tǒng)，碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統(tǒng)角動(dòng)量守恒（碰撞過(guò)程不計(jì)重力矩）由角動(dòng)量定理：即考慮到（恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)）ll/2CABMNh解碰撞前M

落在A點(diǎn)的速度

碰撞后的瞬間,M、N具有相同的線速度例2

一雜技演員M

由距水平蹺板高為h

處自由下落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員N

彈了起來(lái).設(shè)蹺板是勻質(zhì)的,長(zhǎng)度為l,質(zhì)量為

,蹺板可繞中部支撐點(diǎn)C

在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),演員的質(zhì)量均為m.假定演員M落在蹺板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問(wèn)演員N可彈起多高?把M、N和蹺板作為一個(gè)系統(tǒng),碰撞過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒解得演員N以u(píng)

起跳,達(dá)到的高度ll/2CABMNh例3

在半徑為R的具有光滑豎直中心軸的水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為R/2處，人的質(zhì)量是圓盤質(zhì)量的1/10，開(kāi)始時(shí)盤載人相對(duì)地以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。如果此人垂直圓盤半徑相對(duì)于盤以速率V沿與盤轉(zhuǎn)動(dòng)相反方向作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，已知圓盤對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為。求（1）圓盤對(duì)地的角速度；（2）欲使圓盤對(duì)地靜止，人沿著圓周對(duì)圓盤的速度V的大小及方向。RVO設(shè)人相對(duì)于盤以速度V

沿圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)相反的方向走動(dòng)時(shí)，圓盤對(duì)地的角速度為，人對(duì)地的角速度為解：(1)人、盤系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零，故系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒。盤的質(zhì)量為M,人的質(zhì)量為，有(1)(1)代入(2)中，有欲使圓盤對(duì)地靜止，即式中負(fù)號(hào)表示欲使盤對(duì)地靜止，人走動(dòng)的方向應(yīng)與盤初始轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致。圓盤對(duì)地的角速度第四章剛體力學(xué)4-5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理力矩的功一力矩作功力矩的空間累積效應(yīng)力矩的功、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能、動(dòng)能定理.力矩的功率力的空間累積效應(yīng)

力的功、動(dòng)能、動(dòng)能定理.可正可負(fù)當(dāng)多個(gè)力同時(shí)作用時(shí)，

是合外力矩。二轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能三剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量.——?jiǎng)傮w繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理四含有轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律若系統(tǒng)只受重力矩作用而沒(méi)有其他外力矩和內(nèi)摩擦力矩時(shí)，可將地球歸為一個(gè)大系統(tǒng)，大系統(tǒng)機(jī)械能守恒。大系統(tǒng)機(jī)械能=總動(dòng)能+總勢(shì)能平動(dòng)動(dòng)能+轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能重力勢(shì)能+彈性勢(shì)能圓錐擺子彈擊入桿以子彈和桿為系統(tǒng)機(jī)械能不守恒.角動(dòng)量守恒；動(dòng)量不守恒；以子彈和沙袋為系統(tǒng)動(dòng)量守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能不守恒.圓錐擺系統(tǒng)動(dòng)量不守恒；角動(dòng)量守恒；機(jī)械能守恒.討論子彈擊入沙袋細(xì)繩質(zhì)量不計(jì)思考：設(shè)F＝mg，繩子下拉相同的距離s飛輪獲得的動(dòng)能是否相等？mgF(圖1)(圖2)對(duì)圖(1)飛輪獲得的動(dòng)能:對(duì)圖(2)飛輪獲得的動(dòng)能:例

已知：均勻直桿m，長(zhǎng)為l，初始水平靜止，軸光滑，AOl=4

。求:桿下擺q角后的角速度w=?解：桿地球系統(tǒng)，+∵只有重力作功，∴E守恒。初始：，Ek10=

令

EP10=末態(tài)：

由平行軸定理則：

由(1)、(2)得：

wq=267glsink00θI,Rm例

在圖示系統(tǒng)中，若物體由靜止釋放，釋放時(shí)彈簧未伸長(zhǎng)，繩質(zhì)量和摩檫不計(jì)，且繩輪不打滑。求物體下滑的速度。問(wèn):物體最多能下滑多遠(yuǎn)？當(dāng)物體速率達(dá)最大值時(shí)，它已下滑多遠(yuǎn)？

能量法T'NTmg受力分析圖物體、滑輪、彈簧、地球組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有保守內(nèi)力作功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。能量法設(shè)物體最多能下滑距離為x1設(shè)速率達(dá)最大時(shí)，物體下滑距離為x2(1)式兩邊對(duì)t

求導(dǎo)，且k00θI,RmT'NTmg受力分析圖隔離體法注意[例]如圖示已知：M=2m，h，q=60°求：碰撞后瞬間盤的w0=？

P轉(zhuǎn)到x軸時(shí)盤的w=?a=?解：m下落h高度：碰撞

t

極小，對(duì)m+盤系統(tǒng)，沖力遠(yuǎn)大于重力，故重力對(duì)O力矩可忽略，角動(dòng)量守恒：oRθ碰前土塊對(duì)o點(diǎn)的角動(dòng)量(2)IMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)對(duì)m

+M

+地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，則：1mgRIIosinqww+=12222(5)令P轉(zhuǎn)到與x軸重合時(shí)Ep=0由(3)(4)(5)得：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()q=()60oP轉(zhuǎn)到x軸時(shí)的角速度例一半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間的摩擦系數(shù)為m，令圓盤最初以角速度w0繞通過(guò)中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問(wèn)它將經(jīng)過(guò)多少時(shí)間才停止轉(zhuǎn)動(dòng)？Rr（解一）（解二）用求q再由運(yùn)動(dòng)方程求t。（1）求摩擦力矩的功w0+①Rrw0+常力矩摩擦力矩的功②（2）③④（3）將②、③、④代入①得：（4）受常力矩作用，作勻變角速轉(zhuǎn)動(dòng)Rrw0+例

一長(zhǎng)為l,質(zhì)量為

的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng).一質(zhì)量為、速率為

的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30o.問(wèn)子彈的初速率為多少?(1)碰撞過(guò)程，把子彈和竿看作一個(gè)系統(tǒng).子彈射入竿的過(guò)程系統(tǒng)角動(dòng)量守恒解:

(2)上升過(guò)程：（法一）用動(dòng)能定理+代入動(dòng)能定理得：（法二）以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)

機(jī)械能守恒.解:例

一均勻細(xì)棒長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，可繞過(guò)棒端且垂直于棒的光滑水平固定軸O在