奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)09

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)是奈奎斯特于1932年提出的，是頻率法的重要內(nèi)容，簡稱奈氏判據(jù)。奈氏判據(jù)的主要特點有：1.根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，來研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性，而不必求閉環(huán)特征根；2.能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對穩(wěn)定性）。3.可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能，利于對系統(tǒng)的分析與設(shè)計；4.基于系統(tǒng)的開環(huán)奈氏圖，是一種圖解法。

Nyquist判據(jù)的主要理論依據(jù)是復(fù)變函數(shù)理論中的Cauch(柯西)幅角定理。一、映射原理式中–zi(i=1,2,…,m)為F(s)的零點，–pj(j=1,2,…,n)為F(s)的極點。函數(shù)F(s)是復(fù)變量s的單值函數(shù)，s可以在整個s平面上變化，對于其上的每一點，除有限(n)個極點外，函數(shù)F(s)都有唯一的一個值與之對應(yīng)。5.4.1幅角原理設(shè)輔助函數(shù)s平面F(s)平面

F(s)的零點原點

F(s)的極點無限遠點

s平面上的其他點原點外的有限點s平面上的點與F(s)平面上的點有對應(yīng)關(guān)系

注意，雖然函數(shù)F(s)從s平面到F(s)平面的映射是一一對應(yīng)的，然而逆過程往往并非如此。例如已知這個函數(shù)在有限的s平面上除s=0,－1,－2以外均解析，除此三點外，s平面上的每一個s值在F(s)平面只有一個對應(yīng)點，但是F(s)平面上的每一個點在s平面上卻有三個映射點。最簡單的說明方式就是將方程改寫成當(dāng)F(s)取一個常數(shù)時上式是一個三次方程，應(yīng)有三個根與之對應(yīng)?，F(xiàn)考慮s平面上一點s1映射到F(s)平面上的點F(s1)可以用一個向量來表示，即當(dāng)向量的幅值為向量的相角為二、幅角定理ReImReImS平面F(s)平面當(dāng)S平面上動點s從s1經(jīng)過某曲線CS到達s2，映射到F(s)平面上也將是一段曲線CF

，該曲線完全由F(s)表達式和s平面上的曲線CS決定。若只考慮動點s從s1到達s2相角的變化量，則有[例]設(shè)：,當(dāng)s平面上的動點沿平行于虛軸的直線，從(-1，j1)到(-1，j0)，映射到F(s)平面上的點將沿某曲線從(0，-j1)到(-1，-j0)，相角的變化為：現(xiàn)考慮s平面上既不經(jīng)過零點也不經(jīng)過極點的一條封閉曲線CS

。當(dāng)變點s沿CS順時針方向繞行一周，連續(xù)取值時，則在F(s)平面上也映射出一條封閉曲線CF

。在s平面上，用陰影線表示的區(qū)域，稱為CS的內(nèi)域。由于我們規(guī)定沿順時針方向繞行，所以內(nèi)域始終處于行進方向的右側(cè)。在F(s)平面上，由于CS映射而得到的封閉曲線CF的形狀及位置，嚴格地決定于CS

。示意圖在這種映射關(guān)系中，有一點是十分重要的，即：不需知道圍線CS的確切形狀和位置，只要知道它的內(nèi)域所包含的零點和極點的數(shù)目，就可以預(yù)知圍線CF是否包圍坐標原點和包圍原點多少次；反過來，根據(jù)已給的圍線CF是否包圍原點和包圍原點的次數(shù)，也可以推測出圍線CS的內(nèi)域中有關(guān)零、極點數(shù)的信息。1.圍線CS既不包圍零點也不包圍極點如圖所示，在s平面上當(dāng)變點s沿圍線CS按順時針方向運動一周時，我們來考察F(s)中各因子項的幅角的變化規(guī)律?，F(xiàn)以圖中未被包圍的零點-2為例。當(dāng)變點s沿CS繞行一周后，因子(s+2)的幅角a的變化為0°。同理，對未被包圍的極點也是一樣，因子項(s+0)的幅角b在變點s沿CS繞行一周后的變化也等于0°。于是，映射到F(s)平面上，當(dāng)變點F(s)沿CF繞行一周后的幅角變化也應(yīng)等于0°。這表明，圍線CF此時不包圍原點。ab2.圍線CS只包圍零點不包圍極點如圖所示圍線CS包圍一個零點z=-2，考察因子(s+2)幅角a，當(dāng)變點s沿CS順時針繞行一周時，a的變化為-360°。映射到F(s)平面上對應(yīng)變點F(s)沿CF繞行一周后的幅角變化也應(yīng)等于-360°。同理，當(dāng)圍線CS的內(nèi)域包含Z個零點時(但不包含極點)，CF應(yīng)順時針包圍原點Z次。a⒊圍線CS只包圍極點不包圍零點這種情況如圖所示，如果圍線CS包圍一個極點，則當(dāng)變點s沿CS順時針繞行一周時，因子(s+0)–1的幅角–b將變化360°。映射到F(s)平面上，圍線CF應(yīng)逆時針包圍原點一次。同理，當(dāng)圍線CS的內(nèi)域只包含P個極點時，CF應(yīng)逆時針包圍原點P次，或者說，CF順時針包圍原點－P次。b⒋

圍線CS包圍Z個零點和P個極點由上述討論顯然可知，當(dāng)變點s沿CS順時針繞行一周時，CF應(yīng)順時針包圍原點Z－P次。亦即CF順時針包圍原點次數(shù)N=Z－P。這就是所謂幅角原理。設(shè)CS為s平面上不含F(xiàn)(s)任何奇點的封閉曲線，該曲線內(nèi)包含了F(s)的P個極點和Z個零點，當(dāng)動點s沿CS順時針運動一周，映射到F(s)平面上的曲線CF包圍原點的方向和周數(shù)為：

CF順時針包圍原點N周；

CF不包圍原點；

CF逆時針包圍原點N周；[柯西幅角原理]順時針包圍原一周；逆時針包圍原一周；不包圍原點；一、控制系統(tǒng)的輔助函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù)為：特征多項式為：取為輔助函數(shù)，閉環(huán)極點，也就是特征方程的根；F(s)的零點：N(s)=0的根，即開環(huán)極點；閉環(huán)傳遞函數(shù)為：F(s)的極點：5.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

對于一個控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于上面討論的輔助函數(shù)F(s)＝1＋Gk(s)，其零點恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點，因此，只要搞清F(s)的零點在s右半平面的個數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點個數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

奈奎斯特為了應(yīng)用柯西幅角原理研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此設(shè)想：

如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)柯西幅角原理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點的次數(shù)應(yīng)為：

N=F(s)的右半零點數(shù)－F(s)的右半極點數(shù)

=閉環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù)－開環(huán)系統(tǒng)右半極點數(shù)當(dāng)已知開環(huán)右半極點數(shù)時，便可由N判斷閉環(huán)右極點數(shù)。二、奈奎斯特軌跡這里需要解決兩個問題：1、如何構(gòu)造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對原點的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性Gk(jw)相聯(lián)系？①正虛軸：第1個問題：先假設(shè)F(s)在虛軸上沒有零、極點。按順時針方向做一條曲線CS包圍整個s右半平面，這條封閉曲線稱為奈奎斯特路徑。如下圖所示。它可分為三部分：ⅠⅡⅢ②右半平面上半徑為無窮大的半圓：③負虛軸：F(s)平面上的映射是這樣得到的：

得到映射曲線后，就可由柯西幅角定理計算N=Z－P，式中Z、P是F(s)在s右半平面的零點數(shù)和極點數(shù)。

若已知P，并能確定N，可求出Z=N+P

。當(dāng)Z=0時，系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。①以s=jw

代入F(s)，令w從0→∞變化，得第一部分的映射；③以s=jw代入F(s)，令w從－∞→0，得第三部分的映射。②以s=R·ejq

代入F(s)，令R→∞，q:，得第二部分的映射；③F(s)的極點就是Gk(s)的極點，因此F(s)在右半平面的極點數(shù)就是Gk(s)在右半平面的極點數(shù)。②F(s)對原點的包圍，相當(dāng)于Gk(s)對(-1,j0)的包圍；即映射曲線F(s)對原點的包圍次數(shù)N與Gk(s)對(-1,j0)點的包圍的次數(shù)一樣。奈奎斯特路徑的第I部分的映射是Gk(jw)曲線向右移1；①由Gk(jw)可求得F(jw)，而Gk(jw)是開環(huán)頻率特性。第2個問題：如何確定相應(yīng)的映射F(s)對原點的包圍次數(shù)N，并將它和開環(huán)頻率特性Gk(jw)相聯(lián)系？

奈奎斯特所構(gòu)造的的F(s)＝1＋Gk(s)，Gk(s)為開環(huán)傳遞函數(shù)。因此，有以下三點是明顯的：

第II部分的映射，一般在Gk(s)中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng)s=R·ejq

時，Gk(s)→0，即F(s)=1。若分母階數(shù)=分子階數(shù)，則Gk(s)→K(零極點形式的開環(huán)增益)，即F(s)=1+K。第III部分的映射是第I部分的映射關(guān)于實軸的對稱。將GH平面原點左移一個單位，即F(s)的原點

幅角定理可以用GH平面上對（-1，j0）點的包圍來討論。[奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的另一種描述]：

設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gk(s)在右半s平面上的極點數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：在Gk(s)平面上的開環(huán)頻率特性曲線及其鏡象當(dāng)w從–∞變化到+∞時，將以逆時針的方向圍繞(–1，j0)點P圈。

對于開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的情況，P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是開環(huán)頻率特性曲線及其鏡象不包圍(–1，j0)點。

不穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的極點數(shù)為：Z=N+P。

根據(jù)上面的討論，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈奎斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。[奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)]：若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面上有P個極點，且開環(huán)頻率特性曲線對(–1，j0)點包圍的次數(shù)為N，（N>0順時針，N<0逆時針），則閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點數(shù)為：Z=N+P。若Z=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。三、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：

當(dāng)參數(shù)K，T1和T2為任何正值時，P=0。

開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖如右。在s右半平面的極點數(shù)為0，繞(－1，j0)點的圈數(shù)N=0，則閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面的個數(shù)：Z=N+P=0。故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

另外，作為對比可求出閉環(huán)傳遞函數(shù)

由勞斯判據(jù)知閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。[例]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：令，解得，此時令，解得和，此時當(dāng)K=52時，開環(huán)極點為–2，–1±j2，都在s左半平面，所以P=0。奈氏圖如右。從圖中可以看出：奈氏圖順時針圍繞(–1，j0)點2圈。所以閉環(huán)系統(tǒng)在s右半極點數(shù)為：Z=N+P=2，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。若要系統(tǒng)穩(wěn)定，則即K<26時，奈氏圖不圍繞(－1，j0)點。當(dāng)K<0時，原極坐標圖順時針轉(zhuǎn)過180°，此時與負實軸的交點為K/10，若要滿足K/10>－1，則要求K>－10。于是系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為－10<K<26。

上述結(jié)論同樣可由勞斯判據(jù)得到。勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則第一列都大于0于是得：－10<K<26。[例]系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右：試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論穩(wěn)定性和K的關(guān)系。-[解]：令，解得和，對應(yīng)和開環(huán)系統(tǒng)奈氏圖是一個半徑為，圓心在的圓。由圖中看出：當(dāng)K>1時,奈氏曲線逆時針包圍(－1，j0)點一圈，N=－1，而P=1，則Z=N+P=0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。顯然，K>1時，包圍(－1，j0)點，K<1時不包圍(－1，j0)點。K=1時穿過(－1，j0)點。當(dāng)K=1時，奈氏曲線通過(－1，j0)點，屬臨界穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)K<1時，奈氏曲線不包圍(－1，j0)點，N=0，P=1，所以Z=N+P=1，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

上面討論的奈奎斯特判據(jù)和例子，都是假設(shè)虛軸上沒有開環(huán)極點，即開環(huán)系統(tǒng)都是0型的，這是為了滿足柯西幅角定理的條件。但是對于Ⅰ、Ⅱ型的開環(huán)系統(tǒng)，由于在虛軸上（原點）有極點，因此不能使用柯西幅角定理來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為了解決這一問題，需要重構(gòu)奈奎斯特路徑。具有極點為0的開環(huán)系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：

可見，在原點有v重0極點。也就是在s=0點，Gk(s)不解析，若取奈氏路徑同上時(通過虛軸的包圍整個s右半平面的半圓)，不滿足柯西幅角定理。為了使奈氏路徑不經(jīng)過原點而仍然能包圍整個s右半平面，重構(gòu)奈氏路徑如下：以原點為圓心，半徑為無窮小做右半圓。這時的奈氏路徑由以下四部分組成：5.4.3開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用④半徑為無窮小的右半圓，下面討論對于這種奈奎斯特路徑的映射：1、第I和第III部分：常規(guī)的奈氏圖關(guān)于實軸對稱；2、第Ⅱ部分：，。假設(shè)的分母階數(shù)比分子階數(shù)高；ⅠⅡIIIⅣ①正虛軸：②右半平面上半徑為無窮大的半圓：③負虛軸：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個圓（順時針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓。3、第Ⅳ部分：(a)對于I型系統(tǒng)：將代入中，當(dāng)，可得：(b)對于Ⅱ型系統(tǒng)：將代入中，當(dāng)，可得：[結(jié)論]用上述形式的奈氏路徑,奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)。例，T1>0、T2>0ⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣ-1-1P=0，若要穩(wěn)定則奈奎斯特圖不包圍(－1，j0)[例]某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。從圖上可以看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)兩圈。因為，所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。[解]：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用步驟1.畫出開環(huán)系統(tǒng)奈奎斯特圖（包括正負頻率及s平面中特定路徑在Gk(s)平面的映射）；2.確定開環(huán)右極點數(shù)P；3.確定N；4.計算Z=N+P，當(dāng)Z=0時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)Z>0時閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)Z<0時計算有誤。[例]已知非最小相位系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。不穩(wěn)定時求出閉環(huán)右極點數(shù)。[解]：

當(dāng)K<6時，奈氏曲線不包圍(–1，j0)點，N=0，Z=N+P=2，系統(tǒng)不穩(wěn)定。(－1，j0)(－1，j0)(－1，j0)

開環(huán)系統(tǒng)有2個右極點，P=2。

當(dāng)6<K<8時，奈氏曲線逆時針包圍(–1，j0)點2圈，N=–2，Z=N+P=0,系統(tǒng)穩(wěn)定。

當(dāng)K>8時，奈氏曲線逆時針包圍(–1，j0)點1圈，N=–1，Z=N+P=1,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

只有當(dāng)開環(huán)增益保持在一定范圍內(nèi)才穩(wěn)定的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。[例5.5.3]設(shè)I型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。[解]：I型系統(tǒng)，先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時針包圍(–1，j0)一圈，逆時針包圍(–1，j0)一圈，所以N=1–1=0，而P=0，故Z=N+P=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。條件穩(wěn)定系統(tǒng)例題能否只畫出正頻率部分的極坐標圖來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性通常，只畫出w從0→+∞的開環(huán)奈氏圖，這時閉環(huán)系統(tǒng)在s右半平面上的極點數(shù)為：Z=2N'+P=0。式中，N'為w從0→+∞變化時，開環(huán)奈氏圖順時針包圍(－1，j0)點的圈數(shù)。不包圍(－1，j0)點，N'=00型系統(tǒng)包圍(－1，j0)點，N'=1I型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)對應(yīng)的奈奎斯特路徑分別為：這時奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可以描述為：設(shè)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)Gk(s)在右半平面的極點為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)w從–∞→+∞時，頻率特性曲線在實軸(–∞，–1)段的正負穿越次數(shù)差為P。若只畫正頻率特性曲線，則正負穿越次數(shù)差為P/2。

頻率特性曲線對(－1，j0)點的包圍情況可用頻率特性的正負穿越情況來表示。當(dāng)w

增加時，頻率特性從上半s平面穿過負實軸的(–∞，–1)段到下半s平面，稱為頻率特性對負實軸的(–∞，–1)段的正穿越（這時隨著w的增加，頻率特性的相角也是增加的）；意味著逆時針包圍(–1，j0)點。反之稱為負穿越。正穿越負穿越

奈氏圖頻率特性曲線在(–∞，–1)上的正負穿越在對數(shù)坐標圖上的對應(yīng)關(guān)系：在對數(shù)坐標圖上L(w)>0(A(w)>1)的范圍內(nèi)，當(dāng)w增加時，相頻特性曲線從下向上穿過–180度相位線稱為正穿越。因為相角值增加了。反之稱為負穿越。5.4.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)在伯德圖中的應(yīng)用

開環(huán)系統(tǒng)的極坐標圖（奈氏圖）和對數(shù)坐標圖（波德圖）有如下的對應(yīng)關(guān)系：1、奈氏圖上單位圓對應(yīng)于對數(shù)坐標圖上的零分貝線； A(w)=1，20lgA(w)=0。2、奈氏圖上的負實軸對應(yīng)于對數(shù)坐標圖上的－180度相位線。

對照圖如下：正穿越負穿越正穿越負穿越相角方向為正w增加時，相角增大對數(shù)坐標圖上奈氏穩(wěn)定判據(jù)如下：

設(shè)開環(huán)頻率特性Gk(s)在s右半平面的極點數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：對數(shù)坐標圖上幅頻特性L(w)>0的所有頻段內(nèi)，當(dāng)頻率增加時，對數(shù)相頻特性對－180度線的正負穿越次數(shù)差