建筑力學(xué)課件7

第十章截面幾何性質(zhì)§10.1形心、靜矩及其相互關(guān)系§10.2慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑§10.3慣性矩、慣性積的平行移軸和轉(zhuǎn)軸公式§10.4主慣性軸和主慣性矩結(jié)論與討論◆

構(gòu)件在外力作用下產(chǎn)生的應(yīng)力和變形，都與截面的形狀和尺寸有關(guān)。與平面圖形幾何形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，如截面面積A與拉壓應(yīng)力計(jì)算有關(guān)、EA為拉壓桿的剛度，與變形計(jì)算有關(guān)；極慣性矩IP與扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算有關(guān)、GIP為扭轉(zhuǎn)剛度，與扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算有關(guān)；慣性矩Iz與受彎的應(yīng)力計(jì)算有關(guān)，EIz為彎曲剛度，與彎曲變形有關(guān)；iz為慣性半徑，與壓桿的穩(wěn)定性計(jì)算有關(guān)。平面圖形的幾何量統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)?！暨@些幾何量不僅與截面的大小有關(guān)，而且與截面的幾何形狀有關(guān)。它們與研究對象的力學(xué)性質(zhì)無關(guān)，但研究桿件的應(yīng)力與變形，研究失效問題以及強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及截面圖形幾何性質(zhì)。為什么要研究截面圖形的幾何性質(zhì)截面圖形的幾何性質(zhì)包括：形心、靜矩、慣性矩、慣性半徑、極慣性矩、慣性積、主軸、主慣性矩等。截面圖形的幾何性質(zhì)內(nèi)容包括

§10.1形心、靜矩及其相互關(guān)系Centroidofarea,staticmoment1.形心Centroidofarea對于等厚度的平板，其重心坐標(biāo)截面的形心就是截面圖形的幾何中心，重心是針對實(shí)物體而言的，而形心是針對抽象幾何體而言的，對于密度均勻的實(shí)物體，即，則形心坐標(biāo)與重心坐標(biāo)重合。2.靜矩staticmomentyzOdAzy圖形對于z軸的靜矩圖形對于

y軸的靜矩靜矩量綱：[長度]3，可正、可負(fù)、可為零形心、靜矩及其相互關(guān)系已知靜矩可以確定圖形的形心坐標(biāo)已知圖形的形心坐標(biāo)可以確定靜矩形心軸的概念；對稱軸為形心軸組合圖形的形心、靜矩及其相互關(guān)系例1求形心位置解：建立參考坐標(biāo)系oyzyz對于由型鋼組合的截面圖形，必須查表確定各個(gè)圖形的面積、形心坐標(biāo)等參數(shù)?。?！§10.2慣性矩、慣性積、極慣性矩與慣性半徑（Momentofinertia;Productionofinertia;Polarmomentofinertia;Radiusofgyration）－圖形對z軸的慣性矩－圖形對y軸的慣性矩－圖形對yz軸的慣性積－圖形對O點(diǎn)的極慣性矩慣性矩、慣性積、極慣性矩的計(jì)算方法yzOdAzyrA量綱：[長度]4－圖形對y軸的慣性半徑－圖形對z軸的慣性半徑慣性半徑的計(jì)算方法yzOdAzy＞0＞0＞0＞0,＜0慣性矩、慣性積、極慣性矩的特征若有一軸為對稱軸，則yzOdAzy慣性矩、極慣性矩的關(guān)系yzOdAzyrA例2已知：圓截面直徑d

求：Iy，IzdrdrdACzyDdzy已知：矩形截面b×h，求：Iy，Iz，iy，izCzybhydydAzdzdA慣性半徑

思考題判斷的正負(fù)A1A2§10.3慣性矩、慣性積的平行移軸和轉(zhuǎn)軸公式

移軸定理（parallel-axistheorem）是指圖形對于互相平行軸的慣性矩、慣性積之間的關(guān)系。即通過已知圖形對于一對坐標(biāo)的慣性矩、慣性積，求圖形對另一對坐標(biāo)的慣性矩與慣性積。移軸定理y1yzz1O1OIyIy1Iz1Iy1z1IzIyzAyzOdAzyy1z1O′

移軸定理y1=y＋bz1=z＋a

已知：Iy、Iz、Iyz求：

Iy1、Iz1、Iy1z1z1y1ab

移軸定理AyzOdAzyy1z1O′z1y1ab

移軸定理如果y、z軸通過圖形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0，

移軸定理因?yàn)槊娣e及包含a2、b2的項(xiàng)恒為正，故自形心軸移至與之平行的任意軸，慣性矩總是增加的。a、b為原坐標(biāo)系原點(diǎn)在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，要注意二者的正負(fù)號；二者同號時(shí)abA為正，異號時(shí)為負(fù)。所以，移軸后慣性積有可能增加也可能減少。在所有互相平行的軸中，截面對形心軸的慣性矩最小假定x,y為形心軸則有以下結(jié)論：若只沿x軸或y軸移動，慣性積不變當(dāng)沿x軸或y軸移動時(shí)，或a=0，或b=0例求右圖對形心軸的慣性矩、慣性積。解：zyy(yc,zc)思考題bzhy已知，求

由平行軸定理得：其中，a為形心到z軸的距離，A為三角形的面積。轉(zhuǎn)軸定理rotation-axistheorem

所謂轉(zhuǎn)軸定理（rotation-axistheorem）是研究坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動時(shí)，圖形對這些坐標(biāo)軸的慣性矩和慣性積的變化規(guī)律。轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理已知：Iy、Iz、Iyz、求：

Iy1、Iz1、Iy1z1zyOz1y1z1y1dAzy轉(zhuǎn)動

轉(zhuǎn)軸定理zyOz1y1dAzyz1y1

轉(zhuǎn)軸定理

圖形對一對垂直軸的慣性矩之和與轉(zhuǎn)軸時(shí)的角度無關(guān)，即在軸轉(zhuǎn)動時(shí)，其和保持不變。zyOz1y1dAzyz1y1§10.4主慣性軸和主慣性矩

主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩zyOz1y1dAzyz1y1

主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩從而確定了一對互相垂直的坐標(biāo)軸y0軸z0軸。

當(dāng)

改變時(shí)，Iyl、Izl的數(shù)值也發(fā)生變化，而當(dāng)=0或=0+90。時(shí)，二者分別為極大值或極小值。zyOdAzy00z0y0

主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩Iy0、Iz0－主慣性矩坐標(biāo)軸y0軸z0軸稱為主慣性軸。

對于任意一點(diǎn)（圖形內(nèi)或圖形外）都有主軸，而通過形心的主軸稱為形心主軸，圖形對形心主軸的慣性矩稱為形心主慣性矩，簡稱形心主矩。工程計(jì)算中有意義的是形心主軸與形心主矩。

主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩

有對稱軸截面的慣性主軸zyCdAdAyyz-zIyz=(yizidA-yizidA)=0

主軸與形心主軸、主慣性矩與形心主慣性矩有對稱軸截面的慣性主軸

當(dāng)圖形有一根對稱軸時(shí)，對稱軸及與之垂直的任意軸即為過二者交點(diǎn)的主軸。

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法

工程計(jì)算中應(yīng)用最廣泛的是組合圖形的形心主慣性矩，即圖形對于通過其形心的主軸之慣性矩。為此，必須首先確定圖形的形心以及形心主軸的位置。

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法

因?yàn)榻M合圖形都是由一些簡單的圖形（例如矩形、正方形、圓形等）所組成，所以在確定其形心、形心主軸以至形心主慣性矩的過程中，均不采用積分，而是利用簡單圖形的幾何性質(zhì)以及移軸和轉(zhuǎn)軸定理。

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法

將組合圖形分解為若干簡單圖形，并確定組合圖形的形心位置。

以形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)Oyz坐標(biāo)系y、z

軸一般與簡單圖形的形心主軸平行。確定簡單圖形對自身形心軸的慣性矩，利用移軸定理（必要時(shí)用轉(zhuǎn)軸定理）確定各個(gè)簡單圖形對y、z軸的慣性矩和慣性積，相加（空洞時(shí)則減）后便得到整個(gè)圖形的Iy、Iz和Iyz。

計(jì)算形心主慣性矩Iy0和Iz0。

確定形心主軸的位置，即形心主軸與z軸的夾角。

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法例題

圖形尺寸如圖所示，求：圖形的形心主矩

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法例題1．將所給圖形分解為簡單圖形的組合

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法例題2.建立初始坐標(biāo)，確定形心位置yzyC

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法例題yzyCyz

Iy0=Iy0(Ⅰ)+Iy0(Ⅱ)

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法例題yz

Iz0=Iz0(Ⅰ)+Iz0(Ⅱ)

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法試求圖示平面圖形的形心主慣性矩。

(a)

10

10

16

2

2

2

C

o22

z

y

z0

y0

(-4,9)

(4,

-9)

1．求形心位置，由對稱性可知，對稱中心C為形心。

2．求圖形對軸和軸的慣性矩和慣性積mm4mm4

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法

(a)

10

10

16

2

2

2

C

o22

z

y

z0

y0

(-4,9)

(4,

-9)

3．求形心主軸的位置

或

確定組合圖形的形心主軸和形心主矩的方法

(a)

10

10

16

2

2

2

C

o22

z

y

z0

y0

(-4,9)

(4,

-9)

4．求形心主慣性矩

結(jié)論與討論怎樣判斷主軸？

結(jié)論與討論怎樣判斷主軸？aa

結(jié)論與討論怎樣判斷主軸？aaxy

結(jié)論與討論Ixy=0，Ix=Iy=a4/12代入轉(zhuǎn)軸公式，對于任意的角度，得Ix1y1=0，所以坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)任何角度都是主軸.

Ix1=Iy1=a4/12a+a-=2co