概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章

概率論與數(shù)理統(tǒng)計在我們所生活的世界上，

充滿了不確定性

從扔硬幣、擲骰子和玩撲克等簡單的機會游戲，到復雜的社會現(xiàn)象；從嬰兒的誕生，到世間萬物的繁衍生息；從流星墜落，到大自然的千變?nèi)f化……，我們無時無刻不面臨著不確定性和隨機性.A.太陽從東方升起；B.明天的最高溫度；C.上拋物體一定下落；D.新生嬰兒的體重.下面的現(xiàn)象哪些是隨機現(xiàn)象？

隨機現(xiàn)象帶有隨機性、偶然性的現(xiàn)象.隨機現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律?否！在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性.例如:

一門火炮在一定條件下進行射擊，個別炮彈的彈著點可能偏離目標而有隨機性的誤差，但大量炮彈的彈著點則表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等.再如:

測量一物體的長度，由于儀器及觀察受到的環(huán)境的影響，每次測量的結(jié)果可能是有差異的.但多次測量結(jié)果的平均值隨著測量次數(shù)的增加逐漸穩(wěn)定于一常數(shù)，并且諸測量值大多落在此常數(shù)的附近，越遠則越少，因而其分布狀況呈現(xiàn)“兩頭小，中間大，左右基本對稱”.

隨機現(xiàn)象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，這種必然性表現(xiàn)在大量重復試驗或觀察中呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.概率論正是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科.現(xiàn)在，就讓我們一起，步入這充滿隨機性的世界，開始第一步的探索和研究.樣本空間與隨機事件1.1為了研究隨機現(xiàn)象，就要對研究對象進行觀察試驗，即隨機試驗，簡稱試驗。1.實驗可以在相同條件下重復進行2.每次試驗的可能結(jié)果不只一個，且實驗之前不能肯定會出現(xiàn)哪一個結(jié)果。試驗的特點隨機試驗

壽命試驗測試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命.統(tǒng)計一天中進入某商店的顧客人數(shù).樣本空間與樣本點隨機試驗的每個基本結(jié)果稱為樣本點，記為ω。全體樣本點的集合稱為樣本空間，記為Ω。.

ΩA樣本點ω.....在隨機實驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象稱為隨機事件，簡稱事件.隨機事件"擲出奇數(shù)點"如在擲色子試驗中，觀察擲出的點數(shù).“擲出2點”當且僅當屬于集合的某一個樣本點在實驗中出現(xiàn)事件就是由樣本點組成的某個集合..

ΩA樣本點ω.....事件用集合表示時，如何理解“事件發(fā)生”？事件基本事件復合事件（實驗中不可再分解的事件）（兩個或一些基本事件并在一起，就構(gòu)成一個復合事件）"擲出奇數(shù)點"“擲出2點”事件間的關(guān)系1.事件的包含2.事件的相等3.事件的積（交）4.互不相容事件5.事件的和（并）6.對立事件6.差事件A-B事件的運算法則1.交換率2.結(jié)合率3.分配率4.對偶原則例2：某人連續(xù)買了3期彩票，設(shè)表示事件“第i期中獎”（i=1,2,3

）,試用及對立事件表示下列事件：

3期中至少有1期中獎；

3期都中獎；3.3期中恰好有1期中獎；4.3期都不中獎；5.3期中最多有1期中獎。

研究隨機現(xiàn)象，不僅關(guān)心試驗中會出現(xiàn)哪些事件，更重要的是想知道事件出現(xiàn)的可能性大小。事率件概的概率的直觀意義1.2在n次重復實驗中，事件A出現(xiàn)m次，則n次實驗中，事件A出現(xiàn)的頻率fn(A)=m/n拋硬幣實驗統(tǒng)計概率實驗者拋擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)m正面出現(xiàn)頻率m/n德摩爾根204810610.518蒲豐404020480.5069弗勒1000049790.4979皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998頻率有什么規(guī)律？

指的是：當各輪試驗次數(shù)n1,n2,…,ns

充分大時，在各輪試驗中事件A出現(xiàn)的頻率總在一個定值附近擺動.

而且，試驗次數(shù)越多，一般來說擺動越小.頻率穩(wěn)定在某個值

附近頻率的穩(wěn)定值說明隨機事件發(fā)生的可能性大小是客觀存在的，是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀規(guī)律，這正是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。頻率穩(wěn)定性在相同條件下對實驗E重復進行n次，其中事件A出現(xiàn)m次。當實驗次數(shù)n充分大時，事件A出現(xiàn)的頻率fn(A)=m/n的穩(wěn)定值p,稱為事件A的概率，記為P(A).P=P(A)≈fn(A)=m/n概率的統(tǒng)計定義0≤P(A)≤1

事件A發(fā)生的概率P(A)取值范圍是什么？P(Ω)=1P(φ)=0非負性規(guī)范性

例如，若我們希望知道某射手中靶的概率，應(yīng)對這個射手在同樣條件下大量射擊情況進行觀察記錄.若他射擊n發(fā)，中靶m發(fā)，當n很大時，可用頻率m/n作為他中靶概率的估計.23479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，其中六個紅球，四個黑球，把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球，求取到紅球的概率。古典概率古典概型實驗

1.試驗有有限個基本事件

2.任何兩個基本事件不可能同時出現(xiàn)，且每次實驗中各可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性均相同e1,e2,…，eN

,這樣的實驗稱為古典概型實驗。概率的古典定義若試驗中只有n個等可能的基本事件，而某個事件A由其中m個基本事件組成,則m/n為事件A的概率，即P(A)=具有事件A屬性的基本事件數(shù)所有可能的基本事件數(shù)=m/nn個基本事件m個古典概率P(A)的性質(zhì)？0≤P(A)≤1P(Ω)=1P(φ)=0非負性規(guī)范性有限可加性若事件A1，A2,…,An兩兩互不相容，則有P(A1+A2+…+An)=P(A1)+…+P(An)古典概率計算舉例例1.一批產(chǎn)品共有200個，其中6個是廢品。求b.任取2個全是廢品的概率。c.任取2個恰有1個是廢品的概率。a.任取一個恰是廢品的概率。d.任取2個至少1個是廢品的概率.例2.一批產(chǎn)品共有N件，其中M件是廢品?，F(xiàn)在從全部N件產(chǎn)品中隨機的抽取n件（n≤m),求恰好取到p（p≤M)件次品的概率。例4.從0，1，2,…，9共10個數(shù)字中任取1個，假定每個數(shù)字都以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出4個數(shù)字，試求下列各事件的概率。

1．

“4個數(shù)字各不相同”

2．

“4個數(shù)字組成一個3位數(shù)”

3．

“4個數(shù)字組成一個4位偶數(shù)”

4. “4個數(shù)字恰好有2個0”

幾何概率A向該正方形隨機投針，求針落在紅色區(qū)域A的概率1.樣本空間是直線、平面或空間上的某個區(qū)域，含有無限多個樣本點；2.各個樣本點對應(yīng)的基本事件的發(fā)生是等可能的。幾何概型實驗幾何概率定義P(A)=D的幾何度量Ω的幾何度量其中“測度”即長度、面積或體積等。設(shè)隨機實驗E的每一個可能結(jié)果是等可能地落在區(qū)域Ω上的一點M（稱為隨機點），且,則點M落在區(qū)域D（事件A)上的概率為幾何概率應(yīng)用1.設(shè)公共汽車每5分鐘一班，求乘客在車站等車不超過1分鐘的概率。2.在圓周上任取三個點A,B,C,求三角形ABC為銳角三角形的概率。概率的公理化定義1.3概率的公理化定義設(shè)隨機試驗E的樣本空間為Ω

，所有事件構(gòu)成事件集合L，對于L上的任一事件A賦予一個實數(shù)P(A),滿足：1.0≤P(A)≤12.P(Ω)=13.對于E的兩兩不相容的事件A1,A2,…,有則稱實數(shù)P(A)為事件A的概率。概率的重要性質(zhì)1.不可能事件的概率為0。即P(φ)=02.(有限可加性）若隨機事件 互不相容，則3.對任一隨機事件A,有4.設(shè)兩個事件A、B滿足 ，則有P(A-B)=P(A)-P(B)5.對任意事件A、B,則有

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)例1：已知 在下列3種情況下分別求出 的值。A與B互不相容；

；

例2.有n個人，設(shè)每個人的生日是任一天的概率為1/365.求這n(n≤365)個人中至少有兩個人的生日相同的概率.條件概率與乘法公式1.4定義設(shè)Ａ、B是隨機試驗E的兩個隨機事件，且P(A)>0,則稱為已知事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率。條件概率例1：一個家庭中有兩個小孩，已知其中有一個是男孩，問另一個也是男孩的概率是多少（假設(shè)生男生女是等可能的）？

推廣到n個事件的情況乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A),設(shè)A，B為任意事件，若P(A)>0

P(AB)=P(B)P(A|B)若P(B)>0例2：箱中有5個紅球和3個白球，現(xiàn)不放回地取出2球，假設(shè)每次抽取時，箱中各球被取出是等可能的，問a.已知第一次取出紅球，則第二次仍取出紅球的概率是多少？

b.兩次都是紅球的概率。例3:已知某廠家的一批產(chǎn)品共100件，其中有5件次品，但是采購員并不知道有幾件次品，為慎重起見，他對產(chǎn)品進行不放回的抽樣檢查，如果在被他抽查的3件產(chǎn)品中至少有一件是次品，則他拒絕購買這一批產(chǎn)品，求采購員購買這批產(chǎn)品的概率。例4：10個考簽中有4個難簽，甲乙兩人依次抽簽。求：a.甲乙都抽到難簽的概率。b.甲乙各自抽到難簽的概率。全概率公式設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組，P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且則對于事件B,有定理例1:某保險公司把被保險人分為三類：“安全的”、“一般的”與“危險的”。統(tǒng)計資料表明，對于上述3種人而言，在一年期間內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.65、0.15與0.30。如果在被保險人中“安全的”占15%，“一般的”占55%，“危險的”占30%，試問任一被保險人在一年中發(fā)生事故的概率是多少？貝葉斯公式設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組，P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且 ，則B已發(fā)生的條件下，Ak發(fā)生的概率為例2：甲胎蛋白試驗法是早期發(fā)現(xiàn)肝癌的一種有效手段。據(jù)統(tǒng)計，肝癌患者甲胎蛋白試驗呈陽性反應(yīng)的概率為95%，非肝癌患者甲胎蛋白試驗呈陽性反應(yīng)的概率為4%。已知某地人群中肝癌患者占0.4%，現(xiàn)在此地有一人用甲胎蛋白試驗法進行檢查，結(jié)果顯示陽性，問這人確定是肝癌患者的概率是多少？事件的獨立性定義：若兩事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B)則稱A、B獨立，或稱A、B相互獨立.事件獨立性若兩事件A、B，P(A)>0,且有P(B)=P(B|A),則A、B獨立.概率為零的事件與任何事件相互獨立相關(guān)定理定理1若兩事件A、B獨立，則

也相互獨立.已知事件A、B，P(A)>0,P(B)>0若A、B互斥,它們相互獨立嗎？若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨立.反之，若A與B獨立，且P(A)>0,P(B)>0,則A

、B不互斥.設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)課堂練習對于三個事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)四個等式同時

P(AC)=P(A)P(C)成立,則稱事件

P(BC)=P(B)P(C)A、B、C相互

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)獨立.

多個事件的獨立性定義(三個事件的獨立性）區(qū)別兩兩獨立例1：如果將一枚硬幣拋擲