第1講 等比數(shù)列

第一講等比數(shù)列模塊一、等比數(shù)列的概念1．等比數(shù)列的概念等比數(shù)列：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于一個非零常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。2．等比數(shù)列中基本量的關(guān)系首項a1：等比數(shù)列中的第一個數(shù)；末項an：等比數(shù)列中的第n個數(shù)；公比q：等比數(shù)列中后項與前項的比（注意不能為0）；那么這幾個值之間存在如下關(guān)系：。3．用錯位相減法求等比數(shù)列前n項和Sn：當(dāng)q=1時，Sn=na1；當(dāng)q>1時，；當(dāng)0<q<1時，；4．等比數(shù)列中的常用結(jié)論：（1）；（2）當(dāng)m+n=p+q時，am×an=ap×aq；（3）。例1．（1）在等比數(shù)列{an}中，若a3=4，a9=1，則a6=；若a3=4，a11=1，則a7=；（2）在等比數(shù)列{an}中，若a5+a6=a(a≠0)，a15+a16=b，則a25+a26=。解：（1）在等比數(shù)列{an}中，若a3=4，a9=1，則a62=a3×a9=4，所以a6=2；若a3=4，a11=1，則a72=a3×a11=4，所以a7=2.（2）在等比數(shù)列{an}中，若a5+a6=a(a≠0)，a15+a16=b，則a25+a26=。例2．已知等比數(shù)列{an}中，有a3a11=4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7=a7，則b5+b9的值是。解：等比數(shù)列{an}中，有a3a11=4a7，則a72=4a7，所以a7=4，得b7=4，在等差數(shù)列{bn}中，b5+b9=2b7=8.例3．（1）已知等比數(shù)列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，則an=;（2）已知{an}是等比數(shù)列，且Sm=10，S2m=30，則S3m=；（3）在等比數(shù)列{an}中，公比q=2，前99項的和S99=56，則a3+a6+a9+……+a99=.解：（1）等比數(shù)列{an}中，a1a2a3=a23=8，所以a2=2，又a1+a2+a3=7，所以a1+a3=5，其中a1=，a3=2q，解得a1=1，q=2，此時an=2n?1；或a1=4，q=，an=4×()n?1.（2）{an}是等比數(shù)列，且Sm=10，S2m=30，所以前m項的和為10，它后面m項的和是30?10=20，最后m項之和為40，所以前3m項的和S3m=10+20+40=70.（3）在等比數(shù)列{an}中，公比q=2，前99項的和S99=56，所以=a1×(299?1)=56，對于a3、a6、a9、……、a99，首項a3=4a1，公比為8，一共33項所以a3+a6+a9+……+a99===32.模塊二、錯位相減法與等比數(shù)列求和例4．（1）1+2+22+23+……+210=；（2）=。解：（1）1+2+22+23+……+210=；（2）==。例5．在等比數(shù)列{an}中，若公比q=4，且前3項之和等于21，那么這個數(shù)列的第5項a5=.解：在等比數(shù)列{an}中，a1+4a1+161=21，所以a1=1，所以a5=44=256.例6．記等比數(shù)列的前n項和為Sn，若S3=2，S6=18，則=。解：S6=，S3=，所以，所以q=2，==25+1=33.模塊三、等比數(shù)列公式的運用例7．已知正項等比數(shù)列{an}中，a1a5+2a2a6+a3a7=100，a2a4?2a3a5+a4a6=36，求數(shù)列an的通項公式an=，和前n項和Sn=。解：由題意知a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=100，a32?2a3a5+a52=36，得到或，解得，此時a1=32，q=，an=32×()n?1，Sn=；或，此時a1=，q=2，an=×2n?1=2n?2，Sn=；例8．在等比數(shù)列{an}中，a1+an=66，a2×an?1=128，Sn=126，求n=，q=.解：a2×an?1=a1×an=128，又a1+an=66，解得，又Sn=，得，所以64q?2=126q?126，62q=124，所以q=2，n=6；或者，由a1+an=66，解得，又Sn=，得，2q?64=126q?126，解得124q=62，所以q=，n=6.隨堂測試1．在等比數(shù)列{an}中，a2=8，a5=64，則公比q為（）A．2B．3C．4D．8解：a2=8，a5=64，所以a5=a2×q3，于是q3=，q=2，選A。2．一種草的生長速度很快，每天都比原來的長度增加一倍，如果它長到4米用了15天，那么它長到0.125米用了天。解：由題意這是一個等比數(shù)列，公比q=2，a15=4，an=0.12，則an×215?n=a15，所以215?n==25，即15?n=5，所以n=10.3．計算：1.04+2.08+4.12+8.16+16.2+32.24+64.28+128.32+256.36=.解：這是一個等比數(shù)列與等差數(shù)列組合而成的問題，從整數(shù)部分看1+2+4+8+……+256=512?1=511，小數(shù)部分是等差數(shù)列，0.04+0.08+0.12+0.16+……+0.36=所以原式=511+1.8=512.8.4．=。解：等比數(shù)列的公比為，一共7項，所以==。5．設(shè)等比數(shù)列的前n項和為Sn，若a1=1，S6=4S3，則a4=。解：等比數(shù)列的前n項和為Sn，若a1=1，S6=4S3，，所以1+q3=3，q3=3，所以a4=a1×q3=3。6．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q=，前n項和為Sn，則=。解：等比數(shù)列{an}的公比q=，所以a4=a1×()3=，S4===，所以=÷=15.7．若等比數(shù)列{an}滿足，則公比為。解：等比數(shù)列{an}中，，當(dāng)n=1時，a1×a2=16，當(dāng)n=2時，a2×a3=162=256，兩式相除，得，即q2=16，所以q=4.8．成語“愚公移山”比喻做事有毅力，不怕困難，假設(shè)愚公家門口的大山有80萬噸重，愚公有兩個兒子，他的兒子又分別有兩個兒子，依次類推，愚公和他的子孫每人一生能搬運100噸石頭，如果愚公是第一代，那么到了第代，這座大山可以搬完。解：愚公為第一代，可以運走10