ch極限與連續(xù)實用

會計學1ch極限與連續(xù)實用例如數(shù)列是整標函數(shù)第1頁/共114頁第2頁/共114頁問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:第3頁/共114頁第4頁/共114頁如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：第5頁/共114頁幾何解釋:其中第6頁/共114頁例1證所以,第7頁/共114頁例2證所以,說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).第8頁/共114頁例3證第9頁/共114頁§2.2函數(shù)的極限一、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限第10頁/共114頁一、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限12第11頁/共114頁12第12頁/共114頁第13頁/共114頁第14頁/共114頁幾何解釋:注意：第15頁/共114頁例1證函數(shù)在點x=1處沒有定義.第16頁/共114頁單側極限:第17頁/共114頁左極限右極限第18頁/共114頁左右極限存在但不相等,例2證第19頁/共114頁它是偶函數(shù)，圖形關于y軸對稱.1第20頁/共114頁通過上面演示實驗的觀察:第21頁/共114頁第22頁/共114頁幾何解釋:第23頁/共114頁例3證第24頁/共114頁第25頁/共114頁第26頁/共114頁過程時刻從此時刻以后過程時刻從此時刻以后第27頁/共114頁第28頁/共114頁§2.3無窮小量與無窮大量四、無窮大量一、無窮小量的概念二、無窮小量的性質三、無窮小量的比較第29頁/共114頁定義:極限為零的變量稱為無窮小量.一、無窮小量的概念例如,第30頁/共114頁注意：（1）定義中所稱極限，包括數(shù)列極限和函數(shù)極限的各種情形；（4）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).（2）無窮小需指明相應的變化過程。如（3）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;第31頁/共114頁無窮小與函數(shù)極限的關系:證必要性充分性定理其中是當時的無窮小.

此定理對函數(shù)極限的其它變化過程仍成立。第32頁/共114頁第33頁/共114頁以上定理表明：“f(x)以A為極限”＜＝＞“f(x)與A之差f(x)-A為無窮小”該定理在今后的討論證明中常會用到第34頁/共114頁二、無窮小的性質:性質1在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證第35頁/共114頁性質2在同一過程中,有限個無窮小之積仍是無窮小.證第36頁/共114頁性質3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證第37頁/共114頁都是無窮小。是無窮小。第38頁/共114頁性質4無窮小除以極限存在且不為零的函數(shù)仍是無窮小.證不妨假設A>0.第39頁/共114頁三、無窮小的比較極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.同一變化過程中的無窮小趨于零的速度各不相同。第40頁/共114頁定義:第41頁/共114頁例如，第42頁/共114頁四、無窮大量定義在自變量的某一變化過程中，若函數(shù)f(x)的絕對值無限增大，則稱f(x)為無窮大量,記作若在自變量的某一變化過程中，函數(shù)f(x)(-f(x))無限增大，則稱f(x)為正(負)無窮大量,記作例如第43頁/共114頁注意：（1）無窮大量的定義對數(shù)列也適用;（3）無窮大量是變量,不能與很大的數(shù)混淆;（2）無窮大量需指明相應的變化過程。如第44頁/共114頁無窮小量與無窮大量的關系在同一過程中,無窮大量的倒數(shù)為無窮小量;恒不為零的無窮小量的倒數(shù)為無窮大量.即第45頁/共114頁

§2.4極限的性質與運算法則一、極限的性質二、極限的四則運算法則第46頁/共114頁一、極限的性質性質1(唯一性)若極限limf(x)存在，則極限值唯一。矛盾。故極限值唯一。第47頁/共114頁性質2(局部有界性)若極限limf(x)存在，則f(x)在x0的某空心領域內有界。體會局部的含義，例如f(x)=1/x在0.001處局部有界第48頁/共114頁性質3(局部保號性)若極限limf(x)=A,A>0(或A<0)，則在x0的某空心領域內f(x)>0(或f(x)<0)。同理可證A<0的情形。體會局部的含義，例如f(x)=x-1在1.001處局部保號第49頁/共114頁性質4若極限limf(x)=A，且在x0的某空心領域內f(x)≥0(或f(x)≤0),則A≥0(或A≤0)。性質5若極限limf(x)=A，limg(x)=B，且在x0的某空心領域內f(x)≥g(x),則A≥B。上述性質對函數(shù)極限的其它情形及數(shù)列的極限也成立。思考：將上述兩個性質中的不嚴格不等號都改為嚴格不等號對嗎？例如：1/n>1/n2，但是n→∞時，二者極限相等第50頁/共114頁二、極限的四則運算法則定理證由無窮小運算法則,得第51頁/共114頁第52頁/共114頁推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2推論3推論4推論5第53頁/共114頁例1解第54頁/共114頁解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得例2第55頁/共114頁解例3第56頁/共114頁例4解第57頁/共114頁例5解要看清自變量變化趨勢第58頁/共114頁例6解第59頁/共114頁小結:注意推廣到數(shù)列情形第60頁/共114頁例7解先變形再求極限.極限為0對嗎?第61頁/共114頁第62頁/共114頁第63頁/共114頁錯誤！第64頁/共114頁§2.5極限存在性定理與兩個重要極限一、極限存在準則二、兩個重要極限第65頁/共114頁一、極限存在準則1.夾逼定理證第66頁/共114頁上兩式同時成立,第67頁/共114頁上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限。第68頁/共114頁例1解由夾逼定理得第69頁/共114頁2.單調有界準則單調增加單調減少單調數(shù)列幾何解釋:有界數(shù)列準則Ⅱ單調有界數(shù)列必有極限.

第70頁/共114頁例2證(舍去)第71頁/共114頁二、兩個重要極限(1)第72頁/共114頁準備用夾逼定理注：x～sinx，(x→0)第73頁/共114頁例3解例4解注：x～tanx，(x→0)第74頁/共114頁例5解注：1-cosx～x2/2，(x→0)第75頁/共114頁第76頁/共114頁例6解第77頁/共114頁100

不存在010

不存在第78頁/共114頁(2)類似地,第79頁/共114頁第80頁/共114頁準備用夾逼定理第81頁/共114頁第82頁/共114頁第83頁/共114頁例7解例8解用乘除湊解題更簡單第84頁/共114頁例9設一筆本金A0存入銀行,年復利率為r,在下列情況下,分別計算t年后的本利和：

a)一年結算一次；

b)一年分n期計息,每期利率按r/n計算；

c)銀行連續(xù)不斷地向顧客付利息,此種計息方式稱為連續(xù)復利.解a)一年結算一次時,一年后的本利和為A1=A0+A0r=A0(1+r),第二年后的本利和為A2=A1(1+r)=A0(1+r)2,依此遞推關系,t年后的本利和為At=A0(1+r)t.第85頁/共114頁類似于連續(xù)復利問題的數(shù)學模型,在研究人口增長、林木生長、設備折舊等問題時都會遇到,具有重要的實際意義.

b)一年結算n次,t年共結算nt次,每期利率為,則t年后的本利和為t=A0(1+)nt.

c)計算連續(xù)復利時,t年后的本利和t為b)中結果t在時的極限第86頁/共114頁

§2.6函數(shù)的連續(xù)性一、變量的改變量二、連續(xù)函數(shù)的概念三、函數(shù)的間斷點四、連續(xù)函數(shù)的性質五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質第87頁/共114頁一、變量的改變量第88頁/共114頁第89頁/共114頁二、連續(xù)函數(shù)的概念定義1設函數(shù)在點的某領域內有定義,如果當自變量的改變量趨向于零時,對應的函數(shù)的改變量也趨向于零,即則稱函數(shù)在點處連續(xù),稱為的連續(xù)點.第90頁/共114頁例2證第91頁/共114頁第92頁/共114頁例3證第93頁/共114頁第94頁/共114頁例4解第95頁/共114頁如果函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內每一點都連續(xù),則稱函數(shù)在在開區(qū)間(a,b)內連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.第96頁/共114頁三、函數(shù)的間斷點第97頁/共114頁第98頁/共114頁注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.例4中，x=0示跳躍間斷點。第99頁/共114頁第100頁/共114頁第101頁/共114頁例如,四、連續(xù)函數(shù)的性質1.連續(xù)函數(shù)的四則運算第102頁/共114頁2.復合函數(shù)的連續(xù)性第103頁/共114頁單調連續(xù)函數(shù)必有連續(xù)的反函數(shù)，且單調性不變.例如,反三角函數(shù)在其定義域內皆連續(xù).3.反函數(shù)的連續(xù)性第104頁/共114頁三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內是連續(xù)的.★★★4.初等函數(shù)的連續(xù)性★均在其定義域內連續(xù).基本初等函數(shù)在定義域內是連續(xù)的.一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.第105頁/共114頁例5例6解解第106頁/共114頁例7解例8解ln(1+X)～X，X→0ex-1～X，X→0第107頁/共114頁例9解第10