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文檔簡介

會計學1D72可分離變量微分方程58395例1.求微分方程的通解.解:

分離變量得兩邊積分得即(C

為任意常數(shù))或說明:

在求解過程中每一步不一定是同解變形,因此可能增、減解.(此式含分離變量時丟失的解y=0)第1頁/共14頁例2.

解初值問題解:

分離變量得兩邊積分得即由初始條件得C=1,(C

為任意常數(shù))故所求特解為第2頁/共14頁例3.

求下述微分方程的通解:解:

令則故有即解得(C為任意常數(shù)

)所求通解:第3頁/共14頁練習:解法1分離變量即(C<0

)解法2故有積分(C

為任意常數(shù))所求通解:積分第4頁/共14頁例4.子的含量

M

成正比,求在衰變過程中鈾含量M(t)

隨時間t

的變化規(guī)律.解:

根據(jù)題意,有(初始條件)對方程分離變量,即利用初始條件,得故所求鈾的變化規(guī)律為然后積分:已知

t=0時鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原第5頁/共14頁例5.成正比,求解:根據(jù)牛頓第二定律列方程初始條件為對方程分離變量,然后積分:得利用初始條件,得代入上式后化簡,得特解并設降落傘離開跳傘塔時(t=0)速度為0,設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度降落傘下落速度與時間的函數(shù)關系.t

足夠大時第6頁/共14頁例6.有高1m的半球形容器,水從它的底部小孔流出,開始時容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中,容器里水面的高度h

隨時間

t

的變解:由水力學知,水從孔口流出的流量為即求水小孔橫截面積化規(guī)律.流量系數(shù)孔口截面面積重力加速度設在內(nèi)水面高度由

h

降到第7頁/共14頁對應下降體積因此得微分方程定解問題:將方程分離變量:第8頁/共14頁兩端積分,得利用初始條件,得則得容器內(nèi)水面高度h與時間

t

的關系:可見水流完所需時間為

因此第9頁/共14頁內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的概念微分方程;定解條件;2.可分離變量方程的求解方法:說明:

通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一個解.例如,方程分離變量后積分;根據(jù)定解條件定常數(shù).解;階;通解;特解y=–x

及

y=C

第10頁/共14頁

找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法:1)根據(jù)幾何關系列方程(如:P298題5(2))

2)根據(jù)物理規(guī)律列方程3)根據(jù)微量分析平衡關系列方程(2)利用反映事物個性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3)求通解,并根據(jù)定解條件確定特解.3.解微分方程應用題的方法和步驟例4例5例6第11頁/共14頁思考與練習

求下列方程的通解:提示:(1)

分離變量(2)

方程變形為第12頁/共14頁作業(yè)P3041(1),(5)

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