2022年度福建省南平市峻德中學高一數學理測試題含解析

2022年度福建省南平市峻德中學高一數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知定義在R上的奇函數f（x）和偶函數g（x）滿足f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，則f（2）=（）A．2 B． C． D．{x∈R|﹣2＜x＜2}參考答案：C【考點】函數奇偶性的性質．【分析】根據條件構造關于g（2）和f（2）的方程組來求解．【解答】解：因為f（x）+g（x）=ax﹣a﹣x+2，所以，因為f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，所以，上述方程組中兩式相加得：2g（2）=4，即g（2）=2，因為g（2）=a，所以a=2，將g（2）=2，a=2代入方程組中任意一個可求得f（2）=，故選C．2.正方體ABCD﹣A1B1C1D1中與AD1垂直的平面是（）A．平面DD1C1C B．平面A1DB C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1參考答案：D【考點】直線與平面垂直的判定．【分析】由AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，得到AD1⊥平面A1DB1．【解答】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，在A中，AD1與平面DD1C1C相交但不垂直，故A錯誤；在B中，AD1與平面A1DB相交但不垂直，故B錯誤；在C中，AD1與平面A1B1C1D1相交但不垂直，故C錯誤；在D中，AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1=A1，∴AD1⊥平面A1DB1，故D正確．故選：D．3.某小組有2名男生和2名女生，從中任選2名同學去參加演講比賽，在下列選項中，互斥而不對立的兩個事件是(

)A．“至少有1名女生”與“都是女生”

B．“至少有1名女生”與“至多有1名女生”C.“恰有1名女生”與“恰有2名女生”

D．“至少有1名男生”與“都是女生”參考答案：C4.如果兩個球的體積之比為8：27，那么兩個球的表面積之比為（）A．8：27 B．2：3 C．4：9 D．2：9參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】據體積比等于相似比的立方，求出兩個球的半徑的比，表面積之比等于相似比的平方，即可求出結論．【解答】解：兩個球的體積之比為8：27，根據體積比等于相似比的立方，表面積之比等于相似比的平方，可知兩球的半徑比為2：3，從而這兩個球的表面積之比為4：9．故選C．5.觀察新生嬰兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生嬰兒體重在(2700，3000的頻率為(

).A.

0.25

B.

0.3

C.

0.4

D.

0.45

參考答案：B略6.設，則下列不等式中不成立的是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略7.拋擲一枚骰子，觀察擲出骰子的點數，設事件A為“出現奇數點”，事件B為“出現2點”，已知P(A)＝，P(B)＝，“出現奇數點或出現2點”的概率為()A. B. C. D.參考答案：D記“出現奇數點或2點”為事件C，因為事件A與事件B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.故選D.考點：互斥事件的概率.8.已知函數（其中為自然對數的底數），且滿足，則的值A．一定大于零

B．一定小于零

C．可能等于零

D．一定等于零參考答案：B9.已知函數，函數的最小值等于（

）A. B. C.5 D.9參考答案：C【分析】先將化為，由基本不等式即可求出最小值.【詳解】因為，當且僅當，即時，取等號.故選C【點睛】本題主要考查利用基本不等式求函數的最值問題，需要先將函數化為能用基本不等式的形式，即可利用基本不等式求解，屬于基礎題型.10.如圖，在透明塑料制成的長方體ABCD﹣A1B1C1D1容器內灌進一些水，將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法：①水的部分始終呈棱柱狀；②水面四邊形EFGH的面積不改變；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；④當E∈AA1時，AE+BF是定值．其中正確說法的是（）A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③參考答案：C【考點】平行投影及平行投影作圖法．【分析】①水的部分始終呈棱柱狀；從棱柱的特征平面判斷即可；②水面四邊形EFGH的面積不改變；可以通過EF的變化EH不變判斷正誤；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；利用直線與平面平行的判斷定理，推出結論；④當E∈AA1時，AE+BF是定值．通過水的體積判斷即可．【解答】解：①水的部分始終呈棱柱狀；從棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判斷①正確；②水面四邊形EFGH的面積不改變；EF是可以變化的EH不變的，所以面積是改變的，②是不正確的；③棱A1D1始終與水面EFGH平行；由直線與平面平行的判斷定理，可知A1D1∥EH，所以結論正確；④當E∈AA1時，AE+BF是定值．水的體積是定值，高不變，所以底面面積不變，所以正確．故選：C．【點評】本題是基礎題，考查棱柱的結構特征，直線與平面平行的判斷，棱柱的體積等知識，考查計算能力，邏輯推理能力．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數,在上的最大值是最小值的2倍，則m=

參考答案：2略12.若loga3b=﹣1，則a+b的最小值為．參考答案：【考點】對數的運算性質；基本不等式．【分析】把對數式化為指數式，再利用基本不等式的性質即可得出．【解答】解：∵loga3b=﹣1，∴a﹣1=3b，解得ab=．a，b＞0．則a+b≥2=，當且僅當a=b=時取等號，其最小值為．故答案為：．13.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若,，則角A的大小為____________________.參考答案：本題考查了三角恒等變換、已知三角函數值求角以及正弦定理，考查了同學們解決三角形問題的能力．由得，所以由正弦定理得，所以A=或（舍去）、14.如果數集{0，1，x＋2}中有3個元素，那么x不能取的值是________．參考答案：－2，－115.化簡的結果為______________.參考答案：略16.若函數的圖象經過點，則函數的圖象必定經過的點的坐標是

▲

.

參考答案：_4_略17.函數，則該函數值域為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直角梯形中，，，當分別在線段上,,，現將梯形沿折疊，使平面與平面垂直。（1）判斷直線與是否共面，并證明你的結論；（2）當直線與平面所成角正切值為多少時，二面角的大小是?參考答案：（1）略

（2）正切值：19.已知數列{an}滿足對任意的n∈N*，都有a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2且an＞0．（1）求a1，a2的值；（2）求數列{an}的通項公式；（3）若bn=，記Sn=，如果Sn＜對任意的n∈N*恒成立，求正整數m的最小值．參考答案：【考點】8E：數列的求和．【分析】（1）由題設條件知a1=1．當n=2時，有a13+a23=（a1+a2）2，由此可知a2=2．（2）由題意知，an+13=（a1+a2++an+an+1）2﹣（a1+a2++an）2，由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2++an）+an+1．同樣有an2=2（a1+a2++an﹣1）+an（n≥2），由此得an+12﹣an2=an+1+an．所以an+1﹣an=1．所以數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列，由通項公式即可得到所求．（3）求得bn===2[﹣]，運用數列的求和方法：裂項相消求和，可得Sn，結合不等式的性質，恒成立思想可得m≥，進而得到所求最小值．【解答】解：（1）當n=1時，有a13=a12，由于an＞0，所以a1=1．當n=2時，有a13+a23=（a1+a2）2，將a1=1代入上式，可得a22﹣a2﹣2=0，由于an＞0，所以a2=2．（2）由于a13+a23+…+an3=（a1+a2+…+an）2，①則有a13+a23+…+an3+an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2．②②﹣①，得an+13=（a1+a2+…+an+an+1）2﹣（a1+a2+…+an）2，由于an＞0，所以an+12=2（a1+a2+…+an）+an+1．③同樣有an2=2（a1+a2+…+an﹣1）+an（n≥2），④③﹣④，得an+12﹣an2=an+1+an．所以an+1﹣an=1．由于a2﹣a1=1，即當n≥1時都有an+1﹣an=1，所以數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列．故an=n．（3）bn===2[﹣]，則Sn=2[﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣]=2[+﹣﹣]＜2×=，Sn＜對任意的n∈N*恒成立，可得≥，即有m≥，可得正整數m的最小值為4．20.已知函數f（x）=．（1）在直角坐標系中畫出該函數圖象的草圖；（2）根據函數圖象的草圖，求函數y=f（x）值域，單調區(qū)間及零點．參考答案：【考點】分段函數的應用．【專題】作圖題；數形結合；數形結合法；函數的性質及應用．【分析】（1）直接描點畫圖即可，（2）由草圖可知函數y=f（x）值域，單調區(qū)間及零點【解答】解：（1）（2）由（1）中草圖得函數y=f（x）的值域為R，單調遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（1，+∞）；單調遞減區(qū)間為（0，1），函數的零點為x=±1．【點評】本題考查了分段函數圖象的畫法和識別，屬于基礎題．21.若在定義域內存在實數，使得成立，則稱函數有“和一點”.（1）函數是否有“和一點”？請說明理由；（2）若函數有“和一點”，求實數a的取值范圍；（3）求證：有“和一點”.參考答案：（1）不存在；（2）a＞﹣2；（3）見解析【分析】（1）解方程即可判斷；（2）由題轉化為2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，分離參數a＝2x﹣2求值域即可求解；（3）由題意判斷方程cos（x+1）＝cosx+cos1是否有解即可．【詳解】（1）若函數有“和一點”，則不合題意故不存在（2）若函數f（x）＝2x+a+2x有“和一點”.則方程f（x+1）＝f（x）+f（1）有解，即2（x+1）+a+2x+1＝2x+a+2x+2+a+2有解，即a＝2x﹣2有解，故a＞﹣2；（3）證明：令f（x+1）＝f（x）+f（1），即cos（x+1）＝cosx+cos1，即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx＝cos1，即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1＝cos1，故存在θ，故cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ）＝cos1，即cos（x+θ），∵cos21﹣（2﹣2cos1）＝cos21+2cos1﹣2＜cos22cos22＜0，故01，故方程cos（x+1）＝cosx+cos1有解，即f（x）＝cosx函數有“和一點”.【點睛】本題考查了新定義及分類討論的思想應用，同時考查了三角函數的化簡與應用，轉化為有解問題是關鍵，是中檔題22.（14分）已知二次函數f（x）的圖象過點（0，4），對任意x滿足f（3﹣x）=f（x），且有最小值．（1）求函數f（x）的解析式；（2）求函數h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x（t∈R）在區(qū)間[0，1]上的最小值；（3）是否存在實數m，使得在區(qū)間[﹣1，3]上函數f（x）的圖象恒在直線y=2x+m的上方？若存在，求出實數m的取值范圍，若不存在，說明理由．參考答案：考點： 二次函數的性質；函數的最值及其幾何意義．專題： 綜合題；函數的性質及應用．分析： （1）用待定系數法設出函數解析式，利用條件圖象過點（0，4），f（3﹣x）=f（x），最小值得到三個方程，解方程組得到本題結論；（2）分類討論研究二次函數在區(qū)間上的最小值，得到本題結論；（3）將條件轉化為恒成立問題，利用參變量分離，求出函數的最小值，得到本題結論．解答： （1）二次函數f（x）圖象經過點（0，4），任意x滿足f（3﹣x）=f（x），則對稱軸x=，f（x）存在最小值，則二次項系數a＞0，設f（x）=a（x﹣）2+．將點（0，4）代入得：f（0）=+=4，解得：a=1∴f（x）=（x﹣）2+=x2﹣3x+4．（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x=x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．當對稱軸x=t≤0時，h（x）在x=0處取得最小值h（0）=4