2022湖北省孝感市孝昌縣白沙中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022湖北省孝感市孝昌縣白沙中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線上存在點(diǎn)P，使得，則雙曲線的離心率為

（

）A．2 B． C． D．參考答案：D略2.若點(diǎn)P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=x﹣2的最小距離為(

)A． B．1 C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由題意知，當(dāng)曲線上過(guò)點(diǎn)P的切線和直線y=x﹣2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x﹣2的距離最?。蟪銮€對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線y=x﹣2的距離即為所求．【解答】解：點(diǎn)P是曲線y=x2﹣lnx上任意一點(diǎn)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)P的切線和直線y=x﹣2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x﹣2的距離最?。本€y=x﹣2的斜率等于1，令y=x2﹣lnx，得y′=2x﹣=1，解得x=1，或x=﹣（舍去），故曲線y=x2﹣lnx上和直線y=x﹣2平行的切線經(jīng)過(guò)的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)（1，1）到直線y=x﹣2的距離等于，∴點(diǎn)P到直線y=x﹣2的最小距離為，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．3.過(guò)正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作平面α，使棱AB，AD，AA1所在直線與平面α所成角都相等，則這樣的平面α可以作（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)參考答案：D【考點(diǎn)】直線與平面所成的角．【分析】直線AB、AD、AA1與平面A1BD所成角都相等，過(guò)頂點(diǎn)A作平面α∥平面A1BD，過(guò)頂點(diǎn)A分別作平面α與平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直線AB、AD、AA1與平面α所成的角都相等．【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱錐A﹣A1BD是正三棱錐，直線AB、AD、AA1與平面A1BD所成角都相等，過(guò)頂點(diǎn)A作平面α∥平面A1BD，則直線AB、AD、AA1與平面α所成角都相等，同理，過(guò)頂點(diǎn)A分別作平面α與平面C1BD、平面B1AC，平面D1AC平行，直線AB、AD、AA1與平面α所成的角都相等，∴這樣的平面α可以作4個(gè)．故選：D．4..點(diǎn)P是雙曲線左支上的點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，若為線段的中點(diǎn),且到原點(diǎn)的距離為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A5.已知集合,，則中所含元素的個(gè)數(shù)為

A．6

B．8

C．10

D．12

參考答案：D6.已知等比數(shù)列，則

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A7.下列命題是真命題的有(

)個(gè)（1）＜

（2）若，則a，b，c成等比數(shù)列;（3）當(dāng)且時(shí)，有；（4）若函數(shù)f（x）＝，則，都有；A0

B1

C2

D3參考答案：B略8.若定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

(

)A．0

B．2

C．4

D．8參考答案：C略9.函數(shù)的解集為

A．

B．

C．

D．參考答案：A10.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長(zhǎng)為的正方形，兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是A.

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y＝asinx－bcosx的一個(gè)對(duì)稱軸方程為x＝，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為_(kāi)_______．參考答案：13512.某課題組進(jìn)行城市空氣質(zhì)量調(diào)查，按地域把24個(gè)城市分成甲、乙、丙三組，對(duì)應(yīng)城市數(shù)分別為4、12、8．若用分層抽樣抽取6個(gè)城市，則甲組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為_(kāi)___．參考答案：13.向量，，若，則_________.參考答案：【分析】先求出與的坐標(biāo)，再利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求解即可.【詳解】向量，，所以，又因?yàn)?，所以，即，解得，故答案?【點(diǎn)睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.14.冪函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為

。參考答案：215.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則=

．參考答案：116.已知雙曲線，（，）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，若，則C的離心率為_(kāi)______．參考答案：

如圖，，

∵，∴，∴又∵，∴，解得∴ 17.曲線以點(diǎn)（1，-）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為

參考答案：45略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.對(duì)于雙曲線，定義為其伴隨曲線，記雙曲線的左、右頂點(diǎn)為、.（1）當(dāng)時(shí)，記雙曲線的半焦距為，其伴隨橢圓的半焦距為，若，求雙曲線的漸近線方程；（2）若雙曲線的方程為，過(guò)點(diǎn)且與的伴隨曲線相切的直線交曲線于、兩點(diǎn)，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）（3）若雙曲線的方程為，弦軸，記直線與直線的交點(diǎn)為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

參考答案：解：（1）∵，

………1分由，得，即可得

………3分∴的漸近線方程為

………4分（2）雙曲線的伴隨曲線的方程為，設(shè)直線的方程為，由與圓相切知

即

解得

……………6分當(dāng)時(shí)，設(shè)、的坐標(biāo)分別為、由

得，即，∵，=

∴∴

………8分∴由對(duì)稱性知，當(dāng)時(shí)，也有

…………10分（3）設(shè)，，又、，∴直線的方程為…………①直線的方程為…………②

…………12分由①②得

……14分∵在雙曲線上∴

∴

……16分略19.甲、乙兩個(gè)學(xué)校高三年級(jí)分別有1100人，1000人，為了統(tǒng)計(jì)兩個(gè)學(xué)校在本地區(qū)一模考試的數(shù)學(xué)科目的成績(jī)，采用分層抽樣抽取了105名學(xué)生的成績(jī)，并作了如下頻率分布表。（規(guī)定成績(jī)?cè)趦?nèi)為優(yōu)秀）甲校：分組頻數(shù)23101515x31乙校：分組頻數(shù)12981010y3

（I）計(jì)算x，y的值，并分別估計(jì)兩個(gè)學(xué)校在此次一模考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率（精確到0.0001）；

（II）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為兩個(gè)學(xué)校的數(shù)學(xué)成績(jī)有差異，并說(shuō)明理由。

甲校乙?？傆?jì)優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計(jì)

附：

0．100．050．0250．0102．7063．8415．0246．635

參考答案：解:I）若該運(yùn)動(dòng)員希望獲得該項(xiàng)目的第一名，應(yīng)選擇甲系列．……1分

理由如下：選擇甲系列最高得分為100＋40＝140＞118，可能獲得第一名；而選擇乙系列最高得分為90＋20＝110＜118，不可能獲得第一名．

……2分

記“該運(yùn)動(dòng)員完成K動(dòng)作得100分”為事件A，“該運(yùn)動(dòng)員完成D動(dòng)作得40分”為事件B，則P（A）＝，P（B）＝．

…………4分

記“該運(yùn)動(dòng)員獲得第一名”為事件C，依題意得

P（C）＝P（AB）＋＝＝．

該運(yùn)動(dòng)員獲得第一名的概率為．…………6分

（II）若該運(yùn)動(dòng)員選擇乙系列，X的可能取值是50，70，90，110，

…………7分

則P（X＝50）＝＝，

P（X＝70）＝＝，P（X＝90）＝＝，

P（X＝110）＝＝．

…………9分

X的分布列為：X507090110P

∴＝50×＋70×＋90×＋110×＝104．

……12分略20.已知橢圓（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)P（2，1），且離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l與x軸不垂直，與橢圓相交于不同于P的兩點(diǎn)A，B，直線PA，PB分別交y軸于M，N，若=（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由已知可得，解得a2，b2．（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．由，可得（4k2+1）x2+8ktx+（4t2﹣8）=0．△=16（8k2﹣t2+2）＞0，．寫出直線PA、的方程，求出M、N坐標(biāo)，由=得（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0．把①代入②化簡(jiǎn)得（t+2）（2k+t﹣1）=0．得t．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，解得a2=8，b2=2．∴橢圓的方程為：．（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程：y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2）．由，可得（4k2+1）x2+8ktx+（4t2﹣8）=0．△=16（8k2﹣t2+2）＞0，…①直線PA的方程，∴M（0，）同理N（0，）．由=得，?（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0…②把①代入②化簡(jiǎn)得（t+2）（2k+t﹣1）=0．因?yàn)橹本€不過(guò)點(diǎn)P，∴2k+t﹣1≠0，∴t=﹣2故直線l是否過(guò)定點(diǎn)Q（0，﹣2）21.（本小題滿分13分）已知數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立．參考答案：（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，,

所以．

又由，可推知對(duì)一切正整數(shù)均有，

∴數(shù)列是等比數(shù)列．

………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為4，

∴．當(dāng)時(shí)，，又，∴

………７分

（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

，

又，

∴．

………９分

，

當(dāng)時(shí)，＝

．

………12分又因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)都有所以單調(diào)遞增，即，所以對(duì)于任意的正整數(shù)，都有成立．………1３分略22.如圖，F(xiàn)是橢圓+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，|OF|=，過(guò)F作OF的垂線交橢圓于P0，Q0兩點(diǎn)，△OP0Q0的面積為．（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l與上下半橢圓分別交于點(diǎn)P、Q，與x軸交于點(diǎn)M，且|PM|=2|MQ|，求△OPQ的面積取得最大值時(shí)直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】方程思想；分析法；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）由題意可得c=，再由弦長(zhǎng)，運(yùn)用直角三角形的面積公式，解方程可得a=3，b=2，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)M（t，0），且＜1，即﹣3＜t＜3．直線PQ：x=my+t，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由由|PM|=2|MQ|，可得=2，運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合△OPQ的面積為S=|t|?|y1﹣y2|，化簡(jiǎn)整理，運(yùn)用二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最大值，及對(duì)應(yīng)的直線方程．【解答】解：（1）由題意可得c=，將x=c代入橢圓方程可得y=±b=±，即有△OP0Q0的面積為|PQ|?c=，即=，且a2﹣b2=5，解得a=3，b=2，即有橢圓方程為+=1；（2）設(shè)M（t，0），且＜1，即﹣3＜t＜3．直線PQ：x=my+t，代入橢圓方程，可