上海市彭浦中學2023年高三數學理模擬試題含解析

上海市彭浦中學2023年高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若向量,且，則的值是 （

）A．

B．

C．

D．2參考答案：A.

2.已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝()A．0B．2

C．4

D．8參考答案：B3.命題p：在中，是的充分不必要條件；命題q：是的充分不必要條件。則

（

）

A．真假

B．假真

C．“或”為假

D．“且”為假參考答案：答案:C4.設全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，則A∩（?UB）=(

)A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}參考答案：B【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】集合．【分析】進行補集、交集的運算即可．【解答】解：?RB={1，5，6}；∴A∩（?RB）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故選：B．【點評】考查全集、補集，及交集的概念，以及補集、交集的運算，列舉法表示集合．5.將函數f(x)=cosx－sinx(xR)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度后，所得到的圖象關于原點對稱，則a的最小值是

A.B.C.D、參考答案：B

【知識點】三角函數中的恒等變換應用；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．C4C7解析：函數f（x）=cosx﹣==2cos（x+），函數圖象向左平移a個單位得到：g（x）=2cos（x+a+）得到的函數的圖象關于原點對稱，則：，解得：a=（k∈Z），當k=0時，，故選：B．【思路點撥】首先通過三角函數的恒等變換，把函數的關系式變形成余弦型函數，進一步利用函數的平移變換和函數圖象關于原點對稱的條件求出結果．6.設的定義域為D，若滿足條件：存在，使在上的值域是，則稱為“倍縮函數”.若函數為“倍縮函數”，則t的范圍是A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.已知為R上的可導函數，且滿足，對任意正實數，下面不等式恒成立的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D令，因為，所以，所以函數在R上單調遞減，所以對任意正實數，8.定義在上的函數同時滿足以下條件：①在（0，1）上是減函數，在上是增函數；②是偶函數；③在處的切線與直線垂直.（1）求函數的解析式；（2）設，若存在，使，求實數的取值范圍.參考答案：解：（1）在（0，1）上是減函數，在上是增函數，

（*）………………1分由是偶函數得：

………2分又在處的切線與直線垂直，

…………3分代入（*）得：，即

………4分（2）由已知得：若存在，使，即存在，使（3）設則

…………6分令，…………………7分當時，在上為減函數，當時，在上為增函數，在上有最大值.………9分又最小值為.…………11分于是有為所求.

…………………12分9.將1，2，3，…，9這9個數字填在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右，每一列從上到下分別依次增大.當3，4固定在圖中的位置時，填寫空格的方法為A.6種 B.12種 C.18種 D.24種參考答案：A10.如圖所示是函數y=f（x）的圖象，則函數f（x）可能是（）A．（x+）cosx B．（x+）sinx C．xcosx

D．參考答案：A【考點】函數的圖象．【分析】判斷函數的奇偶性，排除選項，然后利用函數的變換趨勢推出結果即可．【解答】解：由函數的圖形可知：函數是奇函數，可知y=（x+）sinx不滿足題意；當x→+∞時，y=（x+）cosx與y=xcosx滿足題意，y=不滿足題意；當x→0時，y=（x+）cosx滿足題意，y=xcosx不滿足題意，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（4分）（2015?楊浦區(qū)二模）函數f（x）=的定義域是．參考答案：﹣2＜x≤1【考點】：函數的定義域及其求法．【專題】：函數的性質及應用．【分析】：只需被開方數為非負數、分母不為零同時成立即可．解：根據題意，只需，即，解得﹣2＜x≤1，故答案為：﹣2＜x≤1．【點評】：本題考查函數的定義域，屬于基礎題．12.設點是函數與的圖象的一個交點，則=

．參考答案：113.已知平面區(qū)域的面積是5,則實數____參考答案：答案:

14.已知函數時，，時，，則函數的零點個數有

個.參考答案：3略15.已知下列四個命題：

①若；

②函數是奇函數；

③“”是“”的充分不必要條件；

④在△ABC中，若，則△ABC是直角三角形.其中所有真命題的序號是

.參考答案：①②④，所以①正確；為奇函數，所以②正確；由可知，所以“”是“”的充要條件，所以③不正確；由得,所以，所以，即，所以△ABC是直角三角形，所以④正確，所以真命題的序號是①②④.16.已知銳角滿足，則的最大值為

。參考答案：因為，所以，即，因為，所以。所以，當且僅當，即，時，取等號，所以的最大值是。17.設F為拋物線的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，當且時，此拋物線的方程為_________

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某公司購買了A，B，C三種不同品牌的電動智能送風口罩．為了解三種品牌口罩的電池性能，現采用分層抽樣的方法，從三種品牌的口罩中抽出25臺，測試它們一次完全充電后的連續(xù)待機時長，統(tǒng)計結果如下（單位：小時）：A444.555.566

B4.5566.56.5777.5

C555.566777.588（Ⅰ）已知該公司購買的C品牌電動智能送風口罩比B品牌多200臺，求該公司購買的B品牌電動智能送風口罩的數量；（Ⅱ）從A品牌和B品牌抽出的電動智能送風口罩中，各隨機選取一臺，求A品牌待機時長高于B品牌的概率；（Ⅲ）再從A，B，C三種不同品牌的電動智能送風口罩中各隨機抽取一臺，它們的待機時長分別是a，b，c（單位：小時）．這3個新數據與表格中的數據構成的新樣本的平均數記為μ1，表格中數據的平均數記為μ0．若μ0≤μ1，寫出a+b+c的最小值（結論不要求證明）．參考答案：【考點】函數模型的選擇與應用．【分析】（I）利用該公司購買的C品牌電動智能送風口罩比B品牌多200臺，建立方程，即可求該公司購買的B品牌電動智能送風口罩的數量；（Ⅱ）根據古典概型概率計算公式，可求出A品牌待機時長高于B品牌的概率；（Ⅲ）根據平均數的定義，寫出a+b+c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）設該公司購買的B品牌電動智能送風口罩的數量為x臺，則購買的C品牌電動智能送風口罩為臺，由題意得，所以x=800．答：該公司購買的B品牌電動智能送風口罩的數量為800臺..…（Ⅱ）設A品牌待機時長高于B品牌的概率為P，則．答：在A品牌和B品牌抽出的電動智能送風口罩中各任取一臺，A品牌待機時長高于B品牌的概率為..…（Ⅲ）18．…19.已知以點C為圓心的圓經過點A（﹣1，0）和B（3，4），且圓心在直線x+3y﹣15=0上．（Ⅰ）求圓C的方程；（Ⅱ）設點P在圓C上，求△PAB的面積的最大值．參考答案：【考點】直線和圓的方程的應用．【分析】（Ⅰ）依題意，所求圓的圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y﹣15=0的交點，求出圓心與半徑，即可求圓C的方程；（Ⅱ）求出|AB|，圓心到AB的距離d，求出P到AB距離的最大值d+r，即可求△PAB的面積的最大值．【解答】解：（Ⅰ）依題意，所求圓的圓心C為AB的垂直平分線和直線x+3y﹣15=0的交點，∵AB中點為（1，2）斜率為1，∴AB垂直平分線方程為y﹣2=（x﹣1）即y=﹣x+3…聯(lián)立，解得，即圓心（﹣3，6），半徑…∴所求圓方程為（x+3）2+（y﹣6）2=40…（Ⅱ），…圓心到AB的距離為…∵P到AB距離的最大值為…∴△PAB面積的最大值為…20.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為邊長為4的正方形，M是BC的中點，EF∥平面ABCD，且EF=2，AE=DE=BF=CF=．（1）求證：ME⊥平面ADE；（2）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）取AD的中點N，連結NM，NE，推導出AD⊥ME，過E點，作EO⊥NM于O，推導出NE⊥ME，由此能證明ME⊥面ADE．（2）建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【解答】證明：（1）取AD的中點N，連結NM，NE，則AD⊥NM，AD⊥NE，∵NM∩NE=N，∴AD⊥平面NME，∴AD⊥ME，過E點，作EO⊥NM于O，根據題意得NO=1，OM=3，NE=2，∴OE=，EM=2，∴△ENM是直角三角形，∴NE⊥ME，∴ME⊥面ADE．解：（2）如圖建立空間直角坐標系O﹣xyz，根據題意得：A（2，﹣1，0），B（2，3，0），D（﹣2，﹣1，0），E（0，0，），M（0，3，0），設平面BAE的法向量=（x，y，z），∵=（0，4，0），=（﹣2，1，），∴，取z=2，得=（，0，2），由（1）知=（0，﹣3，）為平面ADE的法向量，設二面角B﹣AE﹣D的平面角為θ，則cosθ==，∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值為．【點評】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．21.（本題滿分12分）已知數列滿足：，

，記，為數列的前項和.

(1)證明數列為等比數列，并求其通項公式；

(2)若對任意且，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

(3)令，證明：.參考答案：解：(1)因為，由已知可得，又，則數列是首項和公比都為等比數列，故.

…………4分(2)因為若對任意且，不等式恒成立，則，故的取值范圍是.……