上海市新滬高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

上海市新滬高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.命題“若，則”的逆否命題是

（

）A．若,則

B．若,則C．若,則

D．若,則參考答案：A2.運(yùn)行如右圖程序，若輸入的是－2，則輸出的結(jié)果是（ ）

A.3 B.9 C.0 D.－3參考答案：B分析：首先根據(jù)框圖中的條件，判斷-2與1的大小，從而確定出代入哪個(gè)解析式，從而求得最后的結(jié)果，得到輸出的值.詳解：首先判斷－2＜1成立，代入中，得到，從而輸出的結(jié)果為9，故選B.

3.設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和,,則（

）A、 B、 C、 D、

參考答案：B略4.如圖是謝賓斯基三角形，在所給的四個(gè)三角形圖案中，黑色的小三角形個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，則{an}的通項(xiàng)公式可以是（

）A．

B． C．

D．參考答案：A5.有一段“三段論”推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，若，則是函數(shù)的極值點(diǎn).因?yàn)樵谔幍膶?dǎo)數(shù)值，所以是的極值點(diǎn).以上推理中（

）

A．大前提錯(cuò)誤

B．小前提錯(cuò)誤

C．推理形式錯(cuò)誤

D．結(jié)論正確參考答案：A6.設(shè)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)到與點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 (A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B7.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，到時(shí)，不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)為（）A. B.C. D.參考答案：C【分析】先列出當(dāng)和時(shí)左邊的式子，然后相減即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，左邊=當(dāng)時(shí)，左邊=所以不等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)為故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟，數(shù)學(xué)歸納法的第二步從到時(shí)命題增加項(xiàng)可能不止一項(xiàng).8.已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn)，N是棱CD上異于端點(diǎn)C，D的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（）（1）MN⊥AB；（2）若N為中點(diǎn)，則MN與AD所成角為60°；（3）平面CDM⊥平面ABN；（4）不存在點(diǎn)N，使得過MN的平面與AC垂直．A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：C逐一考查所給的四個(gè)說(shuō)法：(1)連結(jié)MC，MD，由三角形三線合一可得AB⊥CM，AB⊥DM，∴AB⊥平面MCD，∵M(jìn)N?平面MCD,∴AB⊥MN,故(1)正確；(2)取BD中點(diǎn)E，連結(jié)ME，NE，則∠NME或其補(bǔ)角為MN與AD所成角，連結(jié)BN,由(1)知BM⊥MN,設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為1,則，,∴cos∠NME=,∴∠NME=45°,故(2)不正確；(3)由(1)知AB⊥平面CDM,∵AB?平面ABN,∴平面CDM⊥平面ABN,故(3)正確；(4)取BC中點(diǎn)F，連結(jié)MF，DF，假設(shè)存在點(diǎn)N，使得過MN的平面與AC垂直，∴AC⊥MN,∵M(jìn)F∥AC，∴MF⊥MN，∵DF=DM=,∴∠FMD<90°,很明顯∠CMF<90°.當(dāng)N從D向C移動(dòng)時(shí),∠FMN先減小,后增大,故∠FMN<90°，與MF⊥MN矛盾.∴不存在點(diǎn)N,使得過MN的平面與AC垂直,故(4)正確.本題選擇C選項(xiàng).9.關(guān)于的不等式的解集為(－1,2)，則關(guān)于的不等式

的解集為

（

）

A.(－2,1)

B.

C.

D.

(－1,2)參考答案：B10.制作一個(gè)面積為1m2，形狀為直角三角形的鐵架框，有下列四種長(zhǎng)度的鐵管供選擇，較經(jīng)濟(jì)的(夠用，又耗材最少)是()A．4.6mB．4.8m

C．5mD．5.2m參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為1，則此三棱錐的體積為

▲

．參考答案：12.如圖所示正方形O'A'B'C'的邊長(zhǎng)為2cm，它是一個(gè)水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積是______．參考答案：【分析】根據(jù)原幾何圖形的面積與直觀圖的面積之比可快速的計(jì)算出答案．【詳解】解：由直觀圖可得：原幾何圖形的面積與直觀圖的面積之比為：1又∵正方形O'A'B'C'的邊長(zhǎng)為2cm，∴正方形O'A'B'C'的面積為4cm2，原圖形的面積S=cm2，【點(diǎn)睛】本題考查平面圖形的直觀圖，考查直觀圖面積和原圖面積之間關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．13.已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則|z|=

▲_參考答案：，所以，故答案是.

14.若菱形的邊長(zhǎng)為，則__________。參考答案：2

15.設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為

.參考答案：1316.已知向量滿足則，則

。參考答案：略17.復(fù)數(shù)

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分10分）設(shè)(1)求x2，x3，x4的值；(2)歸納并猜想{xn}的通項(xiàng)公式；(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．參考答案：19.過拋物線

=2（0<<3）的焦點(diǎn)F，傾斜角為30的直線與圓（－3）＋＝1相切，求此拋物線的準(zhǔn)線方程.參考答案：解析：由題意知直線方程為：，即，又圓心（3，0），半徑，且直線與圓相切，，解得或（舍去），拋物線方程為

=4，其準(zhǔn)線方程為.20.已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點(diǎn),求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.參考答案：（1）先求函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)“若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則是導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)”；（2）利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)分析原函數(shù)的單調(diào)性，按照列表分析.試題解析：（1）函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以

解得或

經(jīng)檢驗(yàn)，或時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，又因?yàn)閍>0所以

（2）若，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；若，令，解得當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表-0+極大值所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是略21.已知函數(shù)f（x）=（x2﹣k）ex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828，k∈R）．（1）當(dāng)k=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對(duì)于任意x∈[1，2]，都有f（x）＜2x成立，求k的取值范圍；（3）求函數(shù)y=f（x）在x∈[0，1]上的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）等價(jià)于k＞x2﹣對(duì)x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x2﹣，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出k的范圍即可；（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出f（x）的最大值即可．【解答】解：（1）k=3，f（x）=（x2﹣3）ex，f′（x）=（x+3）（x﹣1）ex，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣3，令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜1，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣3），（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（﹣3，1）；當(dāng)x=﹣3時(shí)，f（x）取得極大值6e﹣3；當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值﹣2e．（2）依據(jù)題意有（x2﹣k）ex＜2x，等價(jià)于k＞x2﹣對(duì)x∈[1，2]恒成立，令g（x）=x2﹣，g′（x）=2x﹣，由1≤x≤2，所以＜0，則g′（x）＞0成立，所以g（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，所以k＞g（2），故k＞4﹣．（3）f′（x）=（x2+2x﹣k）ex，令h（x）=x2+2x﹣k，當(dāng)h（0）≥0，即k≤0時(shí)，h（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立，則f′（x）≥0，所以f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）的最大值為f（1）；當(dāng)h（1）≤0，即k≥3時(shí)，h（x）≤0在x∈[0，1]上恒成立，則f′（x）≤0，所以f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f（x）的最大值f（0）；當(dāng)，0＜k＜3時(shí)，設(shè)f′（x0）=0，f（x）在[0，x0]上單調(diào)遞減，在[x0，1]上遞增，所以函數(shù)的最大值在x=0或1處取得，f（1）﹣f（0）=（1﹣k）e+k，當(dāng)0＜k＜，f（1）＞f（0）；當(dāng)3＞k＞時(shí)，f（0）＞f（1）；當(dāng)k=時(shí)，f（1）=f（0），故f（x）max=．22.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），記，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，Tn=b1+b2+…bn，求證：Tn＜3．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和；數(shù)列與函數(shù)的綜合．【分析】（1）根據(jù)條件建立方程組關(guān)系，求出a，b，結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求出bn=的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求出Tn=b1+b2+…bn，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明Tn＜3．【解答】解：（1）∵f（x）=log3（ax+b）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（2，1）和B（5，