初高中學(xué)習(xí)銜接教材因式分解

初高中學(xué)習(xí)連結(jié)教材之因式分解初高中學(xué)習(xí)連結(jié)教材之因式分解PAGE17/17PAGE17初高中學(xué)習(xí)連結(jié)教材之因式分解PAGE適用文檔

初高中連結(jié)教材之因式分解

因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法，其他還應(yīng)認(rèn)識(shí)求根法。

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了以下一些乘法公式：

（1）平方差公式(ab)(ab)a2b2；（2）完滿平方公式(a222ab2b)a．b我們還可以經(jīng)過(guò)證明獲得以下一些乘法公式：（1）立方和公式(a2ab2b)3a3b)(a；b（2）立方差公式(a2ab2b)3a3b)(a；b（3）三數(shù)和平方公式(a2222bc)abc2(abbc；)ac（4）兩數(shù)和立方公式(a332b323b)a3aab；b（5）兩數(shù)差立方公式(ab)3a33a2b3a2b．b1．提取公因式法與分組分解法、公式法

例1分解因式：2（1）2（y－x）+3（x－y）

（2）mn（m－n）－m（n－m）2

（3）x2y22xy9（4）a24ab4b22a4b（5）x3x2yxy2y3（）b)(a1)abb26(a

2．十字相乘法

例2分解因式：

1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；

（3）x2(ab)xyaby2；（4）6x2xy2y2

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3．關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．（求根法）

若關(guān)于x的方程ax2bxc0(a0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1、x2，則二次三項(xiàng)式

ax2bxc(a0)即可分解為a(xx1)(xx2).

例3把以下關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：

（1）x22x1；（2）x24xy4y2．

當(dāng)堂反響：1．填空：（1）1a21b2(1b1a)（）；9423（2）(4m)216m24m()；(3)(a2bc)2a24b2c2()．2．分解因式：（1）5（x－y）3+10（－）2（）2222yx2cababc

4x222a32a4（3）2xxyxyxyyx（4）2

（5）8a3－b3；（6）x2＋6x＋8；

（7）4(xy1)y(y2x)（8）4x413x29；

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（9）20a433a2b27b4

2（10）x25x10x25x96

4．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解：（1）x25x3；（2）x222x3；

（3）3x24xyy2；（4）(x22x)27(x22x)12．

5．分解因式：x2＋x－(a2－a)．

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初高中連結(jié)教材之一元二次方程

第1課時(shí)根的鑒識(shí)式

我們知道，關(guān)于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以將其變形為(xb)2b24ac．①2a4a2因?yàn)閍≠0，所以，4a2＞0．于是（1）當(dāng)b2－4ac＞0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)正數(shù)，所以，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，2＝bb24ac；2a（2）當(dāng)b2－4ac＝0時(shí)，方程①的右端為零，所以，原方程有兩個(gè)等的實(shí)數(shù)

根1＝x2＝－b；x2ab（3）當(dāng)b2－4ac＜0時(shí)，方程①的右端是一個(gè)負(fù)數(shù)，而方程①的左側(cè)(x)22a必定大于或等于零，所以，原方程沒有實(shí)數(shù)根．由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情況可以由b2－4ac來(lái)判斷，我們把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的鑒識(shí)式，平時(shí)用符號(hào)“Δ”來(lái)表示．2綜上所述，關(guān)于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有

x1，2＝bb24ac；2a（2）當(dāng)＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根1＝x2＝－b；x2a（3）當(dāng)＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．例1判斷以下關(guān)于x的方程的根的情況（此中a為常數(shù)），假如方程有實(shí)數(shù)根，寫出方程的實(shí)數(shù)根．（1）x2－3x＋3＝0；（2）x2－ax－1＝0；（3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0．

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說(shuō)明：在第3，4小題中，方程的根的鑒識(shí)式的符號(hào)跟著a的取值的變化而變化，于是，在解題過(guò)程中，需要對(duì)a的取值情況進(jìn)行議論，這一方法叫做分類議論．分類議論這一思想方法是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)特別重要的方法，在今后的解題中會(huì)常常地運(yùn)用這一方法來(lái)解決問題．【當(dāng)堂反響】1、方程x223kx3k20的根的情況是。2、若關(guān)于x的方程2＋(2m＋1)x＋m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)mmx的取值范圍是。3．已知a28a16|b1|0，當(dāng)k取何值時(shí)，方程2＋ax＋b＝0有兩個(gè)不kx相等的實(shí)數(shù)根？

4．試判斷當(dāng)m取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？沒有實(shí)數(shù)根？

2c5.已知a，b，c是ABC的三邊長(zhǎng)，那么方程cx＋(a＋b)x＋＝0的根的情況是

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第2課時(shí)根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1bb24ac，x2bb24ac，2a2a則有：x1x2bb24acbb24ac2bb；2a2a2aax1x2bb24acbb24acb2(b24ac)4acc．2a2a4a24a2a所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在以下關(guān)系：假如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根分別是x1，x2，那么1＋x2＝b，1·2＝c．這一關(guān)系也被稱為韋達(dá)定理．xxxaa以兩個(gè)數(shù)x1，x2為根的一元二次方程是：a(xx1)(xx2)0例1已知方程5x2kx60的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值．

例2已知關(guān)于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21，求m的值．

說(shuō)明：（1）在本題的解題過(guò)程中，也可以先研究滿足方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根所對(duì)

應(yīng)的m的范圍，此后再由“兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和比兩個(gè)根的積大21”求出m的值，

取滿足條件的m的值即可．

（1）在今后的解題過(guò)程中，假如但是由韋達(dá)定理解題時(shí)，還要考慮到根的鑒識(shí)式能否大于或大于零．因?yàn)椋f達(dá)定理成立的前提是一元二次方程有實(shí)數(shù)根．

例3已知兩個(gè)數(shù)的和為4，積為－12，求這兩個(gè)數(shù)．

說(shuō)明：從上邊的兩種解法我們不難發(fā)現(xiàn)，解法二（直接利用韋達(dá)定理來(lái)解題）要比解法一簡(jiǎn)捷．文案大全適用文檔

例4若x1和x2分別是一元二次方程2x2＋5x－1＝0的兩根．（1）求|x1－x2|的值；（2）求11的值；x12x2233（3）x1＋x2．

說(shuō)明：一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值是一個(gè)重要的量，今后我們常常會(huì)遇到求這一個(gè)量的問題，為認(rèn)識(shí)題簡(jiǎn)單，我們可以商討出其一般規(guī)律：

設(shè)x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則x1bb24ac，x2bb24ac，2a2a∴|x1－x2＝bb24acbb24ac2b24ac|2a2a2ab24ac．|a|a||于是有下邊的結(jié)論：若x1和x2分別是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），則|x1－x2＝（其||a|＝b2－4ac）．中今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對(duì)值時(shí)，可以直接利用上邊的結(jié)論．例5若關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，務(wù)實(shí)數(shù)的取值范圍．

【當(dāng)堂反響】1＝若方程2－3x－1＝0的兩根分別是x1和x2，則1．1.xx2x1方程2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情況是．2.mx3.以－3和1為根的一元二次方程是．4．已知方程x2－3x－1＝0的兩根為x1和x2，求(x1－3)(x2－3)的值．文案大全適用文檔

【課后作業(yè)】

1.已知關(guān)于x的方程x2＋kx－2＝0的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是．2.以下四個(gè)說(shuō)法此中正確說(shuō)法的序號(hào)是．①方程x2＋2x－7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為－7；②方程x2－2x＋7＝0的兩根之和為－2，兩根之積為7；③方程3x2－7＝0的兩根之和為0，兩根之積為7；3④方程3x2＋2x＝0的兩根之和為－2，兩根之積為0．3.關(guān)于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一個(gè)根是0，則a的值是．4.方程kx2＋4x－1＝0的兩根之和為－2，則k＝．5.方程2x222．－x－4＝0的兩根為α，β，則α＋β＝6.關(guān)于x的方程x2＋4x＋m＝0的兩根為x1，x2滿足|x1－x2|＝2，則實(shí)數(shù)m的值為．7.方程2x2＋2x－1＝0的兩根為x1和x2，則|x1－x2|＝．8．求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2－7x－1＝0各根的相反數(shù)．

9．已知關(guān)于x的方程x2－kx－2＝0．

1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

2）設(shè)方程的兩根為x1和x2，假如2(x1＋x2)＞x1x2，務(wù)實(shí)數(shù)k的取值范圍．

10．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩根為x1和x2．求：（1）|x1－x2|和x1x2；2（2）x13＋x23．

11．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）能否存在實(shí)數(shù)k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－3成立？若存在，求出k的值；若不存2在，說(shuō)明原由；（2）求使x1x2－2的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k的整數(shù)值；x2x1（3）若k＝－2，x1，試求的值．x2

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初高中連結(jié)教材之二次函數(shù)

第1課時(shí)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像和性質(zhì)

問題1函數(shù)y＝ax2與y＝x2的圖象之間存在如何的關(guān)系？

二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)的圖象可以由y＝x2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)楸緛?lái)的a倍獲得．在二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了圖象的張口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的張口的大小．問題2函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k與y＝ax2的圖象之間存在如何的關(guān)系？

二次函數(shù)y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a決定了二次函數(shù)圖象的張口大小及方向；

h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，并且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，并且“k正上移，k負(fù)下移”．由上邊的結(jié)論，我們可以獲得研究二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象的方法：因?yàn)閥＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋bx)＋c＝a(x2＋bx＋b22)＋c－b2aa4a4aa(xb)2b24ac，2a4ay＝ax2所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)的圖象作左右平移、上下平移獲得的，于是，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)擁有以下性質(zhì)：（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象張口向上；極點(diǎn)坐標(biāo)為(b4acb2)，2a,4a對(duì)稱軸為直線x＝－b；當(dāng)x＜b時(shí)，y跟著x的增大而減?。划?dāng)x＞b時(shí)，y跟著2a2a4acb22ax的增大而增大；當(dāng)x＝b時(shí)，函數(shù)取最小值y＝．2a4a,4acb2（2）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象張口向下；極點(diǎn)坐標(biāo)為(b)，2a4a對(duì)稱軸為直線x＝－b；當(dāng)x＜b時(shí)，y跟著x的增大而增大；當(dāng)x＞b時(shí)，y跟著2a2a4acb22ax的增大而減小；當(dāng)x＝b時(shí)，函數(shù)取最大值y＝．2a4a文案大全適用文檔

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別經(jīng)過(guò)圖2．2－3和圖2．2－4直觀地表示出來(lái)．所以，在今后解決二次函數(shù)問題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形聯(lián)合的思想方法來(lái)解決問題．

y2yA(b,4acb)bx＝－2a4a2a

OxOx

b4acb2bA(,)x＝－2a4a2a圖2.2-3圖2.2-4

例1求二次函數(shù)y＝－3x2－6x＋1圖象的張口方向、對(duì)稱軸、極點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減小）？并畫出該函數(shù)的圖象．

說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，依據(jù)配方后獲得的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出要點(diǎn)點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫圖更簡(jiǎn)單、圖象更精確．例2把二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，獲得函數(shù)y＝x2的圖像，求b，c的值．

說(shuō)明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來(lái)解決問題，所以，同學(xué)們要

堅(jiān)固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律．

這兩種解法反響了兩種不一樣樣的思想方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思想來(lái)解

決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，則是利用逆向思想，將本來(lái)的問題等價(jià)轉(zhuǎn)變?yōu)榕c之等價(jià)的問題來(lái)解，擁有計(jì)算量小的長(zhǎng)處．今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以依據(jù)題目的詳盡情況，選擇合適的方法來(lái)解決問題．

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例3已知函數(shù)y＝x2，－2≤x≤a，此中a≥－2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函

數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值．

說(shuō)明：在本例中，利用了分類議論的方法，對(duì)a的全部可能情況進(jìn)行議論．其他，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來(lái)研究，在解決這一類問題時(shí)，平時(shí)需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問題．

【當(dāng)堂反響】1.函數(shù)y＝2(x－1)2＋2是將函數(shù)y＝2x2向平移個(gè)單位、再向平移個(gè)單位獲得。2.二次函數(shù)y＝2x2－mx＋n圖象的極點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－2)，則m＝，n＝．3.已知二次函數(shù)y＝x2+(m－2)x－2m，當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象的極點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象的極點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m＝時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．4.函數(shù)y＝－3(x＋2)2＋5的圖象的張口向，對(duì)稱軸為，極點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)取最值y＝；當(dāng)x時(shí)，y跟著x的增大而減小．5.求以下拋物線的張口方向、對(duì)稱軸、極點(diǎn)坐標(biāo)、最大（?。┲导皔隨x的變化情況，并畫出其圖象．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6x－x2．

26.已知函數(shù)y＝－x－2x＋3，當(dāng)自變量x在以下取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最小

值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值：

（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

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第2課時(shí)二次函數(shù)的三種表示方式

經(jīng)過(guò)上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．極點(diǎn)式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，此中極點(diǎn)坐標(biāo)是(－h(huán)，k)．

若拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，所以x1＋x2＝b，12＝c，axxa即b＝－(x1＋x2)，c＝x1x2．a(chǎn)a所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(x2bxc)2－(x1＋x2)x＋1aa=a[xxx]a(x－x1)(x－x2)．

由上邊的推導(dǎo)過(guò)程可以獲得下邊結(jié)論：2若拋物線y＝ax＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

這樣，也就獲得了表示二次函數(shù)的第三種方法：

3．交點(diǎn)式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，此中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以依據(jù)題目所供給的條件，采納一

般式、極點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來(lái)解題．

例1已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的極點(diǎn)在直線y＝x＋1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

3，－1），求二次函數(shù)的解析式．

說(shuō)明：在解題時(shí)，由最大值確立出極點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用極點(diǎn)的地點(diǎn)求出極點(diǎn)坐標(biāo)，此后設(shè)

出二次函數(shù)的極點(diǎn)式，最后解決了問題．所以，在解題時(shí)，要充分發(fā)掘題目所給的條件，并奇妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問題．

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例2已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且極點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．

說(shuō)明：上述兩種解法分別從與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及極點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不一樣樣角度，利用交點(diǎn)式和極點(diǎn)式來(lái)解題，在今后的解題過(guò)程中，要擅長(zhǎng)利用條件，選擇合適的方法來(lái)解決問題．

例3已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式．

【當(dāng)堂反響】1.函數(shù)y＝－x2＋x－1圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

2.函數(shù)y＝－12(x＋1)2＋2的極點(diǎn)坐標(biāo)是

3.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)與x軸交于點(diǎn)(－1，0)和(2，0)，則該二次函數(shù)的解析

式可設(shè)為y＝a(a≠0)．

4.二次函數(shù)y＝－x2+23x＋1的函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)之間的距離為．

5．依據(jù)以下條件，求二次函數(shù)的解析式．

（1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；

（2）當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，11)；

（3）函數(shù)圖象與x軸交于兩點(diǎn)(1－2，0)和(1＋2，0)，并與y軸交于(0，－2)．

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