2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及詳解

2023年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及詳解第一試一、選擇題：〔此題總分值42分，每題7分〕1.假設(shè)均為整數(shù)且滿(mǎn)足，那么〔B〕A．1.B．2.C．3.D．4.解：由可推得或，分別代入即得。2．假設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足等式，，那么可能取的最大值為〔C〕A．0.B．1.C．2.D．3.解：由，，∴.3．假設(shè)是兩個(gè)正數(shù)，且那么〔C〕A．.B．.C．.D．.解：當(dāng)時(shí)，可計(jì)算得，從而。觀(guān)察4個(gè)選項(xiàng)，只能選C.4．假設(shè)方程的兩根也是方程的根，那么的值為〔A〕A．－13.B．－9.C．6.D．0.解：由：一定能被整除。∵∴，故5．在△中，，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且，，,那么(B)A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.解：如圖，由，ADE是正三角形。作BF∥DE交AC于F，那么BD＝EF，從而EC＝DE+BD＝AB＝BF，DE＝FC，又∠1＝∠2＝120○，故ΔEDC≌ΔFCB.故.∵∠CDB＝2，∠BDE＝120○，∴，故由，得：.6．對(duì)于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，，那么〔D〕A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.解：將0，1，2，…，999這1000個(gè)自然數(shù)分為500個(gè)數(shù)組：〔0，999〕、〔1，998〕、〔2，997〕、…、〔499，500〕.注意到：這500個(gè)數(shù)組中，每個(gè)數(shù)組的兩個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字之和均為9＋9＋9＝27，故0，1，2，…，999這1000個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字之和等于.于是，1000，1001，1002，…，1999這1000個(gè)自然數(shù)各位數(shù)字之和等于13500＋1000＝14500.從而.顯然：，故：.二、填空題：〔此題總分值28分，每題7分〕1．實(shí)數(shù)滿(mǎn)足方程組那么13。解：2．二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點(diǎn)，與軸正方向交于點(diǎn)C．，，那么．解：如圖，由可推得：，設(shè)，那么，由.3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝，PC＝5，那么PB＝．解：見(jiàn)上圖。4．將假設(shè)干個(gè)紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個(gè)或10個(gè)球的兩個(gè)球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放15個(gè)球.解：先畫(huà)一個(gè)“初始圖〞：○ABCDE○ABCDE○按照題目要求，逐一確定各個(gè)字母的顏色，得到：○○○○D○○○○○D○顯然，D應(yīng)為黑色。即：○○○○●○○○○○●○再按要求嘗試增加小球，確定最后結(jié)果如下：○○○○●○○○○○●○○○○第二試〔A〕一．〔此題總分值20分〕設(shè)整數(shù)〔〕為三角形的三邊長(zhǎng)，滿(mǎn)足，求符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù).解由等式可得①令，那么，其中均為自然數(shù).于是，等式①變?yōu)?，即②由于均為自然?shù)，判斷易知，使得等式②成立的只有兩組：和〔1〕當(dāng)時(shí)，，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對(duì)應(yīng)可得到5個(gè)符合條件的三角形.〔2〕當(dāng)時(shí)，，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對(duì)應(yīng)可得到6個(gè)符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù)為5＋6＝11.二．〔此題總分值25分〕等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分線(xiàn)與AB邊交于點(diǎn)P，M為△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC邊的切點(diǎn)，作MD//AC，交⊙I于點(diǎn)D.證明：PD是⊙I的切線(xiàn).證明過(guò)點(diǎn)P作⊙I的切線(xiàn)PQ〔切點(diǎn)為Q〕并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)N.因?yàn)镃P為∠ACB的平分線(xiàn)，所以∠ACP＝∠BCP.又因?yàn)镻A、PQ均為⊙I的切線(xiàn)，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.又因?yàn)镸D//AC，所以MD和MQ為同一條直線(xiàn).又點(diǎn)Q、D均在⊙I上，所以點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合，故PD是⊙I的切線(xiàn).三．〔此題總分值25分〕二次函數(shù)QUOTEy=x2+bx-c的圖象的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P，Q.〔1〕如果都是整數(shù)，且，求的值.〔2〕設(shè)二次函數(shù)QUOTEy=x2+bx-c的圖象的圖象與軸的交點(diǎn)為A、B，與軸的交點(diǎn)為C.QUOTEfx如果關(guān)于的方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，求△ABC的面積.解點(diǎn)P、Q在二次函數(shù)QUOTEy=x2+bx-c的圖象的圖象上，故，，解得，.〔1〕由知解得.又為整數(shù)，所以，，.(2)設(shè)QUOTEx1,x2是方程的兩個(gè)整數(shù)根，且.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，消去，得，兩邊同時(shí)乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整數(shù)，所以后面三組解舍去，故.因此，，，二次函數(shù)的解析式為.易求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為〔1,0〕和〔2,0〕，點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0,2〕，所以△ABC的面積為.第二試〔B〕一．〔此題總分值20分〕設(shè)整數(shù)為三角形的三邊長(zhǎng)，滿(mǎn)足，求符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù)〔全等的三角形只計(jì)算1次〕.解不妨設(shè)，由等式可得①令，那么，其中均為自然數(shù).于是，等式①變?yōu)?，即②由于均為自然?shù)，判斷易知，使得等式②成立的只有兩組：和〔1〕當(dāng)時(shí)，，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對(duì)應(yīng)可得到5個(gè)符合條件的三角形.〔2〕當(dāng)時(shí)，，.又為三角形的三邊長(zhǎng)，所以，即，解得.又因?yàn)槿切蔚闹荛L(zhǎng)不超過(guò)30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對(duì)應(yīng)可得到6個(gè)符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長(zhǎng)不超過(guò)30的三角形的個(gè)數(shù)為5＋6＝11.二．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第二題相同.三．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第三題相同.第二試〔C〕一．〔此題總分值20分〕題目和解答與〔B〕卷第一題相同.二．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第二題相同.三．〔此題總分值25分〕設(shè)是大于2的質(zhì)數(shù)，k為正整數(shù)．假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)至少有一個(gè)為整數(shù)，求k的值．解由題意知，方程的兩根中至少有一個(gè)為整數(shù)．由根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而有①〔1〕假設(shè)，那么方程為，它有兩個(gè)整數(shù)根和．〔2〕