2023年全國高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-全國卷2

PAGE2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試課標(biāo)=2\*ROMANII理科數(shù)學(xué)考前須知： 1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀一、選擇題：此題共12小題，每題5分，共60分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1.〔〕A．B．C．D．【答案】D2.設(shè)集合，．假設(shè)，那么〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，所以，，應(yīng)選C。3.我國古代數(shù)學(xué)名著?算法統(tǒng)宗?中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？〞意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，那么塔的頂層共有燈〔〕A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞【答案】B【解析】塔的頂層共有燈x盞，那么各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列，由可得，應(yīng)選B。4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，學(xué)科粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一局部所得，那么該幾何體的體積為〔〕B．C．D．4.【答案】B【解析】由題意，該幾何體是由高為6的圓柱截取一半后的圖形加上高為4的圓柱，故其體積為，應(yīng)選B.5.設(shè)，滿足約束條件，那么的最小值是〔〕A．B．C．D．【答案】A6.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，那么不同的安排方式共有〔〕A．12種B．18種C．24種D．36種【答案】D【解析】,應(yīng)選D。7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，學(xué)科給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，那么〔〕A．乙可以知道四人的成績B．丁可以知道四人的成績C．乙、丁可以知道對方的成績D．乙、丁可以知道自己的成績【答案】D8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的〔〕A．2B．3C．4D．【答案】B【解析】,應(yīng)選B.9.假設(shè)雙曲線〔，〕的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，那么的離心率為〔〕A．2B．C．D．【答案】A【解析】圓心到漸近線距離為，所以，應(yīng)選A.10.直三棱柱中，，，，那么異面直線與所成角的余弦值為〔〕A．B．C．D．【答案】C11.假設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，那么的極小值為〔〕A.B.C.D.1【答案】【解析】由題可得因?yàn)椋?，，故令，解得或，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減所以極小值，應(yīng)選A。12.是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，那么的最小值是〔〕A.B.C.D.【答案】二、填空題：此題共4小題，每題5分，共20分。13.一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，那么．【答案】1.96【解析】，所以.14.函數(shù)〔〕的最大值是．【答案】1【解析】，，那么，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1.15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，那么．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，所以，解得，所以，那么，那么.16.是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn)．假設(shè)為的中點(diǎn)，那么．【答案】6三、解答題：共70分。解容許寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第17~21題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答?！惨弧潮乜碱}：共60分。17.〔12分〕的內(nèi)角所對的邊分別為，，〔1〕求；〔2〕假設(shè)，的面積為，求．【答案】〔1〕〔2〕【解析】試題分析：利用三角形內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡，利用降冪公式化簡，結(jié)合求出；利用〔1〕中結(jié)論，利用勾股定理和面積公式求出，從而求出．試題解析：〔1〕由題設(shè)及，故上式兩邊平方，整理得解得〔2〕由，故又由余弦定理及得所以b=2【點(diǎn)睛】解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角〞“角轉(zhuǎn)邊〞，另外要注意三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受老師和學(xué)生的歡送．18.〔12分〕淡水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量比照學(xué)|，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量〔單位：kg〕某頻率直方圖如下：設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg,估計(jì)A的概率；填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值〔精確到0.01〕P〔K20.0500.0100.001k3.8416.63510.828〔2〕舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)?！?〕第50個(gè)網(wǎng)箱落入“〞這組；取平均值即為中位數(shù)的估計(jì)值。19.〔12分〕如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中點(diǎn).〔1〕證明：直線平面PAB〔2〕點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為，求二面角M-AB-D的余弦值〔2〕取中點(diǎn)，連，由于為正三角形∴又∵平面平面，平面平面∴平面，連，四邊形為正方形。∵平面，∴平面平面而平面平面過作，垂足為，∴平面∴為與平面所成角，∴在中，，∴，設(shè)，，，∴，∴在中，，∴∴，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為，，∴∴，而平面的法向量為設(shè)二面角的大角為〔為銳角〕∴。20.〔12分〕設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.求點(diǎn)P的軌跡方程；設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.【解析】〔1〕設(shè)，，即代入橢圓方程，得到∴點(diǎn)的軌跡方程。∴過與直線垂直的直線為：當(dāng)時(shí)，①代入得∴過且垂直于的直線過的左焦點(diǎn)。21.〔12分〕函數(shù)，且。(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.【解析】〔1〕的定義域?yàn)樵O(shè)，那么等價(jià)于因?yàn)榧僭O(shè)a=1，那么.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，＞0，單調(diào)遞增.所以x=1是的極小值點(diǎn)，故綜上，a=1又，所以在有唯一零點(diǎn)x0，在有唯一零點(diǎn)1，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椋詘=x0是f(x)的唯一極大值點(diǎn)由由得因?yàn)閤=x0是f(x)在〔0,1〕的最大值點(diǎn)，由得所以〔二〕選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計(jì)分。22.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]〔10分〕在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系