2023年全國高考文科數(shù)學(xué)試題及答案-湖南卷

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試〔湖南卷〕數(shù)學(xué)〔文史類〕一、選擇題：本大題共9小題，每題5分，共45分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1.設(shè)集合M={-1,0,1}，N={x|x2=x}，那么M∩N=A.{-1，0，1}B.{0,1}C.{1}D.{0}【答案】【解析】M={-1,0,1}M∩N={0,1}【點(diǎn)評】此題考查了集合的根本運(yùn)算，較簡單，易得分.先求出，再利用交集定義得出M∩N.2.復(fù)數(shù)z=i〔i+1〕〔i為虛數(shù)單位〕的共軛復(fù)數(shù)是A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【答案】【解析】由z=i〔i+1〕=，及共軛復(fù)數(shù)定義得.【點(diǎn)評】此題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四那么運(yùn)算及復(fù)數(shù)的根本概念，考查根本運(yùn)算能力.先把Z化成標(biāo)準(zhǔn)的形式，然后由共軛復(fù)數(shù)定義得出.3.命題“假設(shè)α=，那么tanα=1”的逆否命題是A.假設(shè)α≠，那么tanα≠1B.假設(shè)α=，那么tanα≠1C.假設(shè)tanα≠1，那么α≠D.假設(shè)tanα≠1，那么α=【答案】【解析】因?yàn)椤凹僭O(shè)，那么〞的逆否命題為“假設(shè)，那么〞，所以“假設(shè)α=，那么tanα=1”的逆否命題是“假設(shè)tanα≠1，那么α≠〞.【點(diǎn)評】此題考查了“假設(shè)p，那么q〞形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.4.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，那么該幾何體的俯視圖不可能是【答案】D【解析】此題是組合體的三視圖問題，由幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示知，原圖下面圖為圓柱或直四棱柱，上面是圓柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是該幾何體的俯視圖，Ｄ不可能是該幾何體的俯視圖，因?yàn)樗恼晥D上面應(yīng)為如圖的矩形.【點(diǎn)評】此題主要考查空間幾何體的三視圖，考查空間想象能力.是近年來熱點(diǎn)題型.5.設(shè)某大學(xué)的女生體重y〔單位：kg〕與身高x〔單位：cm〕具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)〔xi，yi〕〔i=1，2，…，n〕，用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，那么以下結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心〔，〕C.假設(shè)該大學(xué)某女生身高增加1cm，那么其體重約增加0.85kgD.假設(shè)該大學(xué)某女生身高為170cm，那么可斷定其體重必為58.79kg【答案】D【解析】由回歸方程為=0.85x-85.71知隨的增大而增大，所以y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，由最小二乘法建立的回歸方程得過程知，所以回歸直線過樣本點(diǎn)的中心〔，〕，利用回歸方程可以預(yù)測估計總體，所以D不正確.【點(diǎn)評】此題組要考查兩個變量間的相關(guān)性、最小二乘法及正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的概念，并且是找不正確的答案，易錯.6.雙曲線C：-=1的焦距為10，點(diǎn)P〔2,1〕在C的漸近線上，那么C的方程為A．-=1B.-=1C.-=1D.-=1【答案】A【解析】設(shè)雙曲線C：-=1的半焦距為，那么.又C的漸近線為，點(diǎn)P〔2,1〕在C的漸近線上，，即.又，，C的方程為-=1.【點(diǎn)評】此題考查雙曲線的方程、雙曲線的漸近線方程等根底知識，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和根本運(yùn)算能力，是近年來?？碱}型.7.設(shè)a＞b＞1，，給出以下三個結(jié)論：＞；②＜；③，其中所有的正確結(jié)論的序號是.A．①B.①②C.②③D.①②③【答案】D【解析】由不等式及a＞b＞1知，又，所以＞，①正確;由指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)知②正確；由a＞b＞1，知，由對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)知③正確.【點(diǎn)評】此題考查函數(shù)概念與根本初等函數(shù)Ⅰ中的指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，不等關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想.函數(shù)概念與根本初等函數(shù)Ⅰ是常考知識點(diǎn).8.在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°，那么BC邊上的高等于A．B.C.D.【答案】B【解析】設(shè)，在△ABC中，由余弦定理知，即，又設(shè)BC邊上的高等于，由三角形面積公式，知，解得.【點(diǎn)評】此題考查余弦定理、三角形面積公式，考查方程思想、運(yùn)算能力，是歷年常考內(nèi)容.9.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，0＜f(x)＜1；當(dāng)x∈〔0，π〕且x≠時，，那么函數(shù)y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零點(diǎn)個數(shù)為A.2B.4C.5D.8【答案】Ｂ【解析】由當(dāng)x∈〔0，π〕且x≠時，，知又時，0＜f(x)＜1，在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出和草圖像如下，由圖知y=f(x)-sinx在[-2π，2π]上的零點(diǎn)個數(shù)為4個.【點(diǎn)評】此題考查函數(shù)的周期性、奇偶性、圖像及兩個圖像的交點(diǎn)問題.二、填空題，本大題共7小題，考生作答6小題.每題5分共30分，把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上.〔一〕選做題，〔請考生在第10，,1兩題中任選一題作答，如果全做，那么按前一題記分〕10.在極坐標(biāo)系中，曲線：與曲線：的一個交點(diǎn)在極軸上，那么a=_______.【答案】【解析】曲線的直角坐標(biāo)方程是，曲線的普通方程是直角坐標(biāo)方程，因?yàn)榍€C1：與曲線C2：的一個交點(diǎn)在極軸上，所以與軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)與值相等，由，知＝.【點(diǎn)評】此題考查直線的極坐標(biāo)方程、圓的極坐標(biāo)方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化的思想、方程的思想，考查運(yùn)算能力；題型年年有，難度適中.把曲線與曲線的極坐標(biāo)方程都轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，求出與軸交點(diǎn)，即得.11.某制藥企業(yè)為了對某種藥用液體進(jìn)行生物測定，需要優(yōu)選培養(yǎng)溫度，實(shí)驗(yàn)范圍定為29℃~63℃.精確度要求±【答案】７【解析】用分?jǐn)?shù)法計算知要最少實(shí)驗(yàn)次數(shù)為7.【點(diǎn)評】此題考查優(yōu)選法中的分?jǐn)?shù)法，考查根本運(yùn)算能力.(二)必做題〔12~16題〕12.不等式x2-5x+6≤0的解集為______.【答案】【解析】由x2-5x+6≤0，得，從而的不等式x2-5x+6≤0的解集為.【點(diǎn)評】此題考查一元二次不等式的解法，考查簡單的運(yùn)算能力.13.圖2是某學(xué)校一名籃球運(yùn)發(fā)動在五場比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖，那么該運(yùn)發(fā)動在這五場比賽中得分的方差為_________.(注：方差，其中為x1，x2，…，xn的平均數(shù))【答案】6.8【解析】，.【點(diǎn)評】此題考查統(tǒng)計中的莖葉圖方差等根底知識，考查分析問題、解決問題的能力.14.如果執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，輸入,那么輸出的數(shù)=.【答案】4【解析】算法的功能是賦值，通過四次賦值得，輸出.【點(diǎn)評】此題考查算法流程圖，考查分析問題解決問題的能力，平時學(xué)習(xí)時注意對分析問題能力的培養(yǎng).15.如圖4，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且=.【答案】18【解析】設(shè)，那么，=.【點(diǎn)評】此題考查平面向量加法的幾何運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.16.對于，將n表示為,當(dāng)時，當(dāng)時為0或1，定義如下：在的上述表示中，當(dāng)，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否那么bn=0.〔1〕b2+b4+b6+b8=__；〔2〕記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，那么cm的最大值是___.【答案】〔1〕3；〔2〕2.【解析】〔1〕觀察知；；一次類推；；；，，，b2+b4+b6+b8=３；〔2〕由〔1〕知cm的最大值為２.【點(diǎn)評】此題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運(yùn)算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)自己動腦的習(xí)慣，才可順利解決此類問題.三、解答題：本大題共6小題，共75分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.〔本小題總分值12分〕某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)〔人〕302510結(jié)算時間〔分鐘/人〕11.522.53這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55％.〔Ⅰ〕確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；〔Ⅱ〕求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.〔將頻率視為概率〕【解析】〔Ⅰ〕由得，該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為:(分鐘).〔Ⅱ〕記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘〞，分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘〞，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為分鐘〞，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘〞.將頻率視為概率，得.是互斥事件，.故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為.【點(diǎn)評】此題考查概率統(tǒng)計的根底知識，考查運(yùn)算能力、分析問題能力.第一問中根據(jù)統(tǒng)計表和100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55％，知從而解得，再用樣本估計總體，得出顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值的估計值；第二問，通過設(shè)事件，判斷事件之間互斥關(guān)系，從而求得一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.18.〔本小題總分值12分〕函數(shù)的局部圖像如圖5所示.〔Ⅰ〕求函數(shù)f〔x〕的解析式；〔Ⅱ〕求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】〔Ⅰ〕由題設(shè)圖像知，周期.因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖像上，所以.又即.又點(diǎn)在函數(shù)圖像上，所以，故函數(shù)f〔x〕的解析式為〔Ⅱ〕由得的單調(diào)遞增區(qū)間是【點(diǎn)評】此題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì).第一問結(jié)合圖形求得周期從而求得.再利用特殊點(diǎn)在圖像上求出，從而求出f〔x〕的解析式；第二問運(yùn)用第一問結(jié)論和三角恒等變換及的單調(diào)性求得.19.〔本小題總分值12分〕如圖6，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.〔Ⅰ〕證明：BD⊥PC；〔Ⅱ〕假設(shè)AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積.【解析】〔Ⅰ〕因?yàn)橛质瞧矫鍼AC內(nèi)的兩條相較直線，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.〔Ⅱ〕設(shè)AC和BD相交于點(diǎn)O，連接PO，由〔Ⅰ〕知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，從而.由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，，所以均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積在等腰三角形ＡＯＤ中，所以故四棱錐的體積為.【點(diǎn)評】此題考查空間直線垂直關(guān)系的證明，考查空間角的應(yīng)用，及幾何體體積計算.第一問只要證明BD平面PAC即可，第二問由〔Ⅰ〕知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面積和棱錐的高，由算得體積.20.〔本小題總分值13分〕某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50％.預(yù)計以后每年資金年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.〔Ⅰ〕用d表示a1，a2，并寫出與an的關(guān)系式；〔Ⅱ〕假設(shè)公司希望經(jīng)過m〔m≥3〕年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值〔用m表示〕.【解析】〔Ⅰ〕由題意得，，.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得.整理得.由題意，解得.故該企業(yè)每年上繳資金的值為繳時，經(jīng)過年企業(yè)的剩余資金為４０００元.【點(diǎn)評】此題考查遞推數(shù)列問題在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力和使用數(shù)列知識分析解決實(shí)際問題的能力.第一問建立數(shù)學(xué)模型，得出與an的關(guān)系式，第二問，只要把第一問中的迭代，即可以解決.21.〔本小題總分值13分〕在直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓E的一個焦點(diǎn)為圓C：x2+y2-4x+2=0的圓心.〔Ⅰ〕求橢圓E的方程；〔Ⅱ〕設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)，過P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當(dāng)直線l1，l2都與圓C相切時，求P的坐標(biāo).【解析】〔Ⅰ〕由，得.故圓Ｃ的圓心為點(diǎn)從而可設(shè)橢圓Ｅ的方程為其焦距為，由題設(shè)知故橢圓Ｅ的方程為：〔Ⅱ〕設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的斜分率分別為那么的方程分別為且由與圓相切，得，即同理可得.從而是方程的兩個實(shí)根，于是①且由得解得或由得由得它們滿足①式，故點(diǎn)Ｐ的坐標(biāo)為，或，或，或.【點(diǎn)評】此題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問根據(jù)條件設(shè)出橢圓方程，求出即得橢圓E的方程，第二問設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，利用過P點(diǎn)的兩條直線斜率之積為，得出關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的一個方程，利用點(diǎn)P在橢圓上得出另一方程，聯(lián)立兩個方程得點(diǎn)P坐標(biāo).22.〔本小題總分值13分〕函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.〔1〕假設(shè)對一切x∈R，f(x)1恒成立，求a的取值集合；〔2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A〔x1,f(x1)〕,B(x2,f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈〔x1,x2〕,使恒成立.【解析】解：令.當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取最小值于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng).①令那么當(dāng)時，單調(diào)遞