高中數(shù)學(xué)課件第五章第一節(jié)數(shù)列概念與簡(jiǎn)單表示法

1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù).2.數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與

之間的關(guān)系可以用一

個(gè)公式

來表示，那么這個(gè)公式叫這個(gè)數(shù)列的

通項(xiàng)公式.1.數(shù)列的概念按照

排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，一般用

表

示，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).一定順序{an}序號(hào)nan＝f(n)[思考探究](1)數(shù)列的通項(xiàng)公式唯一嗎？是否每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式？提示：不唯一，如數(shù)列－1,1，－1,1，…的通項(xiàng)公式可以為an＝(－1)n或an＝，有的數(shù)列沒有通項(xiàng)公式.(2)數(shù)列是否可以看作一個(gè)函數(shù)，若是，其定義域是什么？提示：可以看作一個(gè)函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，可表示為an＝f(n).3.數(shù)列的表示方法數(shù)列的表示方法有

、

、

.列表法公式法圖象法1.下列說法正確的是(

)A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}B.數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)

列C.數(shù)列{}的第k項(xiàng)為1＋D.數(shù)列0,2,4,6，…可記為{2n}解析：根據(jù)數(shù)列的定義與集合定義的不同可知A，B不正確；D項(xiàng){2n}中的n∈N*，故不正確；C中an＝，∴ak＝1＋.答案：C2.已知數(shù)列1，，，，…，，…，則3是這

個(gè)數(shù)

列的(

)A.第22項(xiàng)B.第23項(xiàng)C.第24項(xiàng)D.第28項(xiàng)解析：數(shù)列的通項(xiàng)公式是an＝，令3＝，解得n＝23，所以3是這個(gè)數(shù)列的第23項(xiàng).答案：B3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積為Tn＝，n∈N*，則a100

＝(

)A.3198B.3199C.3200D.3201解析：a100＝＝＝

＝3199.答案：B4.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，則an＝

.解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1，∴an＝答案：

5.設(shè)數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，則通項(xiàng)an

＝

.解析：由an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，∴累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，∴an＝.答案：1.觀察法就是觀察數(shù)列的特征，找出各項(xiàng)共同的規(guī)律，

橫看“各項(xiàng)之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)”，縱看“各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)

系”，從而確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.2.利用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征；(4)各項(xiàng)符號(hào)特征等，并對(duì)此進(jìn)行歸納、聯(lián)想.

[特別警示]

根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是不完全歸納法，它蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗(yàn)，對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整.寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)3,5,7,9，….(2)，，，，，….(3)－1，，－，，－，，….(4)，－1，，－，，－，….(5)3,33,333,3333，….[思路點(diǎn)撥][課堂筆記]

(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1.(2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21，22，23，24，…，所以an＝.(3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含有因子(－1)n；各項(xiàng)絕對(duì)值的分母組成數(shù)列1,2,3,4…；而各項(xiàng)絕對(duì)值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2－1，偶數(shù)項(xiàng)為2＋1，所以an＝(－1)n·.也可寫成an＝.(4)偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)而奇數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中必含有因子(－1)n＋1，觀察各項(xiàng)絕對(duì)值組成的數(shù)列，從第3項(xiàng)到第6項(xiàng)可見，分母分別由奇數(shù)7,9,11,13組成，而分子則是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照這樣的規(guī)律，第1、2兩項(xiàng)可改寫為，－，所以an＝(－1)n＋1.(5)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1).

數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是：an＝[特別警示]

在應(yīng)用此關(guān)系式求通項(xiàng)時(shí)，要分n＝1和n≥2兩種情況討論，最后檢驗(yàn)兩種情形能否適合用一個(gè)式子表示，若能，將n＝1的情況并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)an；若不能，就用分段函數(shù)表示.(安徽高考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2－bn.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cn＝·bn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，cn＋1＜cn.[思路點(diǎn)撥][課堂筆記]

(1)a1＝S1＝4；對(duì)于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.綜上，{an}的通項(xiàng)公式an＝4n.將n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1.(求bn)法一：對(duì)于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)，bn＝bn－1，bn＝21－n.(求bn)法二：對(duì)于n≥2，由Tn＝2－bn得Tn＝2－(Tn－Tn－1)，2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)，Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n，Tn＝2－21－n，bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n.綜上，{bn}的通項(xiàng)公式bn＝21－n.(2)法一：由cn＝·bn＝n225－n，得＝(1＋)2，當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，1＋≤＜，即cn＋1＜cn.法二：由cn＝·bn＝n225－n，得cn＋1－cn＝24－n[(n＋1)2－2n2]＝24－n[－(n－1)2＋2]，當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時(shí)，cn＋1－cn＜0，即cn＋1＜cn若將“Sn＝2n2＋2n”改為“Sn＝3n＋b”，如何求an.解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋b；n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1.當(dāng)b＝－1時(shí)，a1＝2適合an＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1；當(dāng)b≠－1時(shí)，a1＝3＋b不適合an＝2·3n－1，∴an＝綜上可知，當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝2·3n－1；當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝由a1和遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，可觀察其特點(diǎn)，一般常利用“化歸法”、“累加法”、“累乘法”等.1.構(gòu)造等比數(shù)列，已知首項(xiàng)a1，如果遞推關(guān)系為an＋1＝

qan＋b(n∈N*)時(shí)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的關(guān)鍵是將

an＋1＝qan＋b轉(zhuǎn)化為an＋1＋a＝q(an＋a)的形式，其中a的值可由待定系數(shù)法確定，即qan＋b＝an＋1＝qan＋(q－1)a?a＝(q≠1).(此種方法稱為待定系數(shù)法)2.已知a1且an－an－1＝f(n)(n≥2)，可以用“累加法”，即an－an－1＝f(n)，an－1－an－2＝f(n－1)，…，a3－a2＝f(3)，a2

－a1＝f(2).所有等式左右兩邊分別相加，得(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝f(n)

＋f(n－1)＋…＋f(3)＋f(2)，即an＝a1＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)＋f(n).3.已知a1且＝f(n)(n≥2)，可以用“累乘法”，即＝f(n)，＝f(n－1)，…，＝f(3)，＝f(2)，所有等式

左右兩邊分別相乘，得··…··＝f(n)·f(n

－1)·…·f(3)·f(2)，即an＝a1·f(2)·f(3)·…·f(n－1)·f(n).

根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(2)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2.[思路點(diǎn)撥][課堂筆記]

(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，即＝3，又∵a1＝1，∴a1＋1＝2，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列.∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.(2)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(3n－1)＋(3n－4)＋…＋5＋2＝×n＝(n≥2).當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝(3n2＋n).若將(1)中的“an＋1＝3an＋2”改為“an＋1＝(n＋1)an”，如何求an.解：∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1.∴＝n，＝n－1，

?＝3，＝2，a1＝1.累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1.由于數(shù)列可以視為一種特殊的函數(shù)，所以在研究數(shù)列問題時(shí)，可以借助研究函數(shù)的許多方法進(jìn)行求解，如：1.有關(guān)數(shù)列最大、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)

列的單調(diào)性來解決；2.將數(shù)列的項(xiàng)的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題解決.[特別警示]在利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)解題時(shí)一定要注意n只能取正整數(shù).已知函數(shù)f(x)＝2x－2－x，數(shù)列{an}滿足f(log2an)＝－2n.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}的最大項(xiàng).[思路點(diǎn)撥][課堂筆記]

(1)依題意得f(log2an)＝2－2＝an－＝－2n，∴＋2nan－1＝0，又an＞0，∴an＝－n.(2)由(1)得，an＋1－an＝－(n＋1)－(－n)＝－1＜－1＝0，∴an＋1＜an，即數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，其最大項(xiàng)為a1＝－1.

高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的常規(guī)考法是：已知數(shù)列的通項(xiàng)或遞推關(guān)系式，求數(shù)列的各項(xiàng).09年陜西高考打破傳統(tǒng)的考查方式，將數(shù)列與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合命題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)處理問題的能力，是高考命題的一個(gè)新方向.

[考題印證](陜西高考)設(shè)曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(diǎn)(1,1)處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn，則x1·x2·…·xn等于(

)A.

B.C.D.1【解析】

f′(x)＝(n＋1)xn，f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率k＝n＋1，則切線方程：y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，∴切線與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)xn＝，∴x1·x2…·xn＝×…×＝.【答案】

B

[自主體驗(yàn)]對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線y＝xn(1－x)在x＝2處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為an，則數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn＝

.解析：∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)＋(－xn).f′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.在點(diǎn)x＝2處點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y＝－2n，∴切線方程為y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)，與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)為y＝(n＋1)·2n＝an，∴＝＝2n成等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，∴前n項(xiàng)和為＝(2n－1)·2＝2n＋1－2.答案：2n＋1－21.數(shù)列{an}：1，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是(

)A.an＝(－1)n＋1

B.an＝(－1)n－1C.an＝(－1)n＋1D.an＝(－1)n－1解析：可用驗(yàn)證法取n＝1，可知只有D適合.答案：D2.數(shù)列{an}中，an＋1＝，a1＝2，則a4＝(

)A.B.C.D.解析：由遞推關(guān)系式可得a2＝，a3＝，a4＝.答案：B3.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2＋kn＋2，若對(duì)于n∈N*，都有an＋1＞an成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)A.k＞0B.k＞－1C.k＞－2D.k＞－3解析：an＋1＞an，即(n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，則k＞－(2n＋1)對(duì)于n∈N*都成立，而－(2n＋1)在n＝1時(shí)取到最大值－3，所以k＞－3.

答案：D4.已知數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2－n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)為

.解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2－n＋1)－[(n－1)2－(n－1)＋1]＝n2－n－(n－1)2＋(n－1)＝2n－2.又∵當(dāng)n＝1時(shí)2n－2＝0≠1∴an＝.答案：an＝1(n=1)2n-2(n≥2)1(n=1)2n-2(n≥2)5.(2010·蘇北三市聯(lián)考)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝