人教版數(shù)學(xué)九年上冊二次函數(shù)中四邊形相關(guān)的存在性問題例析

人教版數(shù)學(xué)九年上冊二次函數(shù)中四邊形有關(guān)的存在性問題例析說說怎樣解答拋物線中四邊形存在性問題，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參照。1、能否存在點，使四邊形組成平行四邊形例1、已知，如圖1所示，拋物線yax23axc(a0)與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左邊。點B的坐標為(1，0),OC=30B．求拋物線的解析式；(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值：(3)若點E在x軸上，點P在拋物線上。能否存在以A、C、E、P為極點且以AC為一邊的平行四邊形?若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明原因．解析：1）由于，點B的坐標為(1，0),因此，OB=1，由于，OC=30B，因此，OC=3，由于，對稱軸3a3x，由于，a02a2，因此，點C的坐標是（0，-3），把B(1,0)、C(0，－3)代入yax23axc得：c3，a3ac0解得：因此，

3，c34y3x29x3；442）如圖2所示，過點D作DQ⊥y軸于Q，過點C作CC1∥x軸，交拋物線于C1，從圖象中可判斷，當點D在CC1下方的拋物線上運動時，四邊形ABCD才有最大值。因此，S四邊形ABCD＝SOBCS梯形AOQD－SDQC=31(4DQ)OQ1DQ(OQ3)=32OQ3DQ，222223293)設(shè)D(x，xx44則S四邊形ABCD＝32(3x29x3)3x3(x2)227，244222因此，當x2時，四邊形ABCD面積有最大值27。（3）如圖3所示，2①過點C作CP1∥x軸，交拋物線于點P1，過點P1作P1E1∥AC交x軸于點E1，此時四邊形ACPE11為平行四邊形，由于，C(0，-3)令3x29x33，解得：x10，x2344因此，CP13，因此，P1(3，3)②平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，當AC=PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，由于，C(0，-3)設(shè)P(x，3)，由3x29x33得：x23x80，44解得：341341x2或x2，此時存在點P2(341，3)和P3(3－41，3)，22綜上所述存在3個點吻合題意，坐標分別是P1(3，3)，P2(341，3)，2P3(3－41，3)22、能否存在點，使四邊形組成直角梯形例2、如圖4所示，二次函數(shù)yx2pxq(p0)的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-1），ABC的面積為5。41）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；2）在該二次函數(shù)的圖象上能否存在點D，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出D的坐標；若不存在，請說明原因。解析：（1）、把（0，-1）代入拋物線yx2pxq(p0)，得：q=-1，因此，二次函數(shù)的解析式是：y=x2px1，設(shè)拋物線：y=x2px1與x軸的交點A的坐標是（x1，0），B的坐標是（x2，0），則x1，x2是一元二次方程x2px1=0的兩個根，因此，x1+x2=-p，x1x2=-1，因此，AB=|x2-x1|=(x2x1)2(x1x2)24x1x2=p24因此，S△ABC=1ABOC1p241p24，222由于，△ABC的面積為5，4因此，p24=5，24解得：p=3或p=-3，由于，p＜0，因此，p=-3，2232因此，拋物線的解析式是：y=x2x1；32（2）令y=0，解方程：x2x10，1,x2,2解得：x122因此，A(1,0),B(2,0),2因此，OA=1，OB=2，OC=1,2在直角三角形AOC中，得：AC=OA2OC2=5，2在直角三角形BOC中，得BC=OB2OC2=5，AB=p24=5,2222因此，AC+BC=AB,因此，三角形ABC是直角三角形，AB為斜邊，即AC⊥BC,①如圖5所示，若以AC為底邊，則BD//AC，易求AC的解析式為y=-2x-1,因此，直線BD的k的值也是-2，因此，設(shè)BD的解析式為y=-2x+b，B(2,0)代入，BD解析式為：y=-2x+4，yx23x1解方程組2，y2x4得：D（5,9）2②如圖6所示，若以BC為底邊，則BC//AD,易求BC的解析式為y=0.5x-1,可設(shè)AD的解析式為y=0.5x+b，把A(1，,0)代入得AD解析式為y=0.5x+0.252yx23x1得D(5,3)解方程組222y0.5x0.25綜上，因此存在兩點，使四邊形ABCD為直角梯形。而且點D的坐標是（5,9）或(5,3)。3、能否存在點，使過點的直線把圖形的面積均分222例3、如圖7所示，在平面直角坐標系xoy中，等腰梯形OABC的下底邊OA在x軸的正半軸上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=4，點B的坐標為(7，4)．3求點A、C的坐標；求經(jīng)過點0、B、C的拋物線的解析式；(3)在第一象限內(nèi)(2)中的拋物線上能否存在一點P，使得經(jīng)過點P且與等腰梯形一腰平行的直線將該梯形分紅面積相等的兩部分?若存在，懇求出點P的橫坐標；若不存在，請說明原因．解析：1）、如圖8所示，過點B作BD⊥OA，垂足是D，過點C作CE⊥OA，垂足是E，由于，點B的坐標為(7，4)，因此，OD=7,BD=4，在直角三角形ABD中，由于，tan∠BA0=BD，且tan∠BA0=4，AD3因此，BD=4，因此，AD=3，AD3由于，BC∥OA，OC=AB，因此，OE=AD=3,因此，DE=OD-OE=7-3=4=BC,因此，OA=OD+AD=7+3=10,DE=OD-OE=7-3=4，因此，點A的坐標是（10，0），點C的坐標是（3，4）；（2）設(shè)經(jīng)過點0、B、C的拋物線的解析式是y=ax2bxc，把點（0，0），（3，4）和（7，4）分別代入解析式，得：c09a3bc4，49a7bc4解得：a=-4，b=40，2121因此，拋物線的解析式是：y=-4x2+40x，（3）2121如圖9所示，在BC上取一點M，使CM=0.5，則BM=BC-CM=4-0.5=3.5，過點M作MN∥AB，交OA于點N,則四邊形MBAN是平行四邊形，因此，NA=MB=3.5，ON=OA-NA=10-3.5=6.5,因此，平行四邊形MNAB的面積是：3.5×4=14，梯形CONM的面積是：1(CMON)BD1(0.56.5)4=14,22因此，存在直線MN，知足平行于等腰梯形的腰，并把梯形的面積均分，由于，點M的坐標是（3.5，4），點N的坐標是（6.5，0），設(shè)直線MN的解析式是：y=kx+b，因此，3.5k+b=4，6.5k+b=0，426解得：k=-，b=,334x+26，因此，直線的解析式是y=-33因此，-4x+26=-4x2+40x，332121整理得：2x234x910，解得：x=172107或x=17107；2當x=17107時，y=82107；23當x=17107時，y=21078；23因此，點P的坐標是（17107，82107）或（17107，21078），2323由于，點P在第一象限，因此，點P的坐標是（17107，21078）；23如圖10所示，在BC上取一點G，使BG=0.5，則CG=BC-BG=4-0.5=3.5，過點G作GH∥OC，交OA于點H,則四邊形OCGH是平行四邊形，因此，OH=CG=3.5，HA=OA-OH=10-3.5=6.5,因此，平行四邊形OCGH的面積是：3.5×4=14，梯形BGHA的面積是：1(BGHA)BD1(0.56.5)4=14,22因此，存在直線GH，知足平行于等腰梯形的腰，并把梯形的面積均分，由于，點G的坐標是（6.5，4），點H的坐標是（3.5，0），設(shè)直線GH的解析式是：y=mx+n，因此，6.5m+n=4，3.5m+n=0，解得：m=4，n=-26,33因此，直線的解析式是y=4x-26，33因此，4x-26=-4x2+40x，332121整理得：2x26x910，解得：x=3191或x=3191；22當x=3191時，y=219120；23當x=3191時，y=219120；23因此，點P的坐標是（3191，219120）或（3191，219120），2323由于，點P在第一象限，因此，點P的坐標是（3191，219120）；23綜上所述，存在這樣的點P，使得經(jīng)過點P且與等腰梯形一腰平行的直線將該梯形分紅面積相等的兩部分。4、能否存在點，使兩個四邊形的面積之間的等量關(guān)系建立例4、如圖11，已知正比率函數(shù)和反比率函數(shù)的圖象都經(jīng)過點A(3，3)．（1）求正比率函數(shù)和反比率函數(shù)的解析式；（2）把直線OA向下平移后與反比率函數(shù)的圖象交于點B(6，m)，求m的值和這個一次函數(shù)的解析式；yCDABD3）第（2x軸、軸分別交于三點的二（）問中的一次函數(shù)的圖象與、，求過、、次函數(shù)的解析式；（4）在第（3）問的條件下，二次函數(shù)的圖象上能否存在點E，使四邊形OECD的面積S1與四邊形OABD的面積S知足：S12E的坐標；若不存在，請說明原因．S？若存在，求點3解析：（1）設(shè)正比率函數(shù)的解析式為yk1x(k10)，由于yk1x的圖象過點A(3，3)，因此33k1，解得k11．這個正比率函數(shù)的解析式為yx．設(shè)反比率函數(shù)的解析式為yk2(k20)．x由于yk2的圖象過點A(3，3)，因此k2x3，解得k29．39這個反比率函數(shù)的解析式為y．x（2）由于點B(6，m)在y9的圖象上，因此xm9336，則點B6，．22設(shè)一次函數(shù)解析式為yk3xb(k30)．由于yk3xb的圖象是由yx平移獲得的，因此k31，即yxb．3又由于yxb的圖象過點B6，，因此23b，解得b9，6229一次函數(shù)的解析式為yx．2（3）由于yx9的圖象交y軸于點D，因此D的坐標為0，9．22設(shè)二次函數(shù)的解析式為yax2bxc(a0)．由于yax2bxc的圖象過點A(3，3)、B3、和D0，9，6，229a3bc3，a1，32因此36a6bc，解得，2b499cc..22這個二次函數(shù)的解析式為y1x24x9．22（4）yx9交x軸于點C，點C的坐標是9，，22如圖12所示，1516