高中數(shù)學(xué) 2.2.1《用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布2》 新人教B必修3

2.2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布(二).二、總體密度曲線1．頻率分布折線圖把頻率分布直方圖各個(gè)長方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來，就得到頻率分布折線圖。為了方便看圖，一般習(xí)慣于把頻率分布折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸上的左右兩端點(diǎn)沒有實(shí)際的意義。例如，前面的鋼管內(nèi)徑的頻率分布折線圖，如圖所示。.頻率分布直方圖：.頻率分布折線圖.2．總體密度曲線如果樣本容量越大，所分組數(shù)越多，上述圖中表示的頻率分布就越接近于總體在各個(gè)小組內(nèi)所取值的個(gè)數(shù)與總數(shù)比值的大小。設(shè)想如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，則頻率分布直方圖實(shí)際上越來越接近于總體的分布，它可以用一條光滑曲線y=f(x)來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線。.總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律。產(chǎn)品尺寸落在(a，b)內(nèi)的百分率就是圖中帶斜線部分的面積。對前面鋼管內(nèi)徑的例子來說，總體密度曲線呈中間高兩邊低的“鐘”形分布，總體的數(shù)據(jù)大致呈對稱分布，并且大部分?jǐn)?shù)據(jù)都集中在靠近中間的區(qū)間內(nèi)。..例：對于樣本頻率分布折線圖與總體密度曲線的關(guān)系，下列說法中正確的是（）（A）頻率分布折線圖與總體密度曲線無關(guān)（B）頻率分布折線圖就是總體密度曲線（C）樣本容量很大的頻率分布折線圖就是總體密度曲線（D）如果樣本容量無限增大，分組的組距無限減小，那么頻率分布折線圖就會無限接近于總體密度曲線D.解析：總體密度曲線通常是用樣本頻率分布估計(jì)出來的；因?yàn)槿绻麡颖救萘繜o限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布折線圖就會無限接近于一條光滑曲線，這條曲線就是總體密度曲線，故選D..（1）總體密度曲線與總體分布相互唯一確定，如果總體分布已知，就可以得到總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式，從而用函數(shù)的理論去研究它。但我們所面臨的情況是總體分布未知，因此，我們只能通過樣本頻率分布折線圖近似表示總體密度曲線，當(dāng)然還可以用其他方法估計(jì)總體密度曲線，但不能夠通過樣本數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地畫出總體密度曲線。進(jìn)一步理解：.（2）總體密度曲線的實(shí)際意義在于：總體密度曲線與x軸，直線x=a，x=b圍成的面積等于x在[a，b]取值時(shí)的概率..2.莖葉圖莖葉圖也是用來表示數(shù)據(jù)的一種圖，莖是中間的一列數(shù)，葉是從莖上生長出來的數(shù).例．甲、乙兩籃球運(yùn)動(dòng)員在上賽季每場比賽的得分如下，試比較這兩位運(yùn)動(dòng)員的得分水平．甲：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50．乙：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51.解：畫出兩人得分的莖葉圖.莖葉圖的中間部分像一顆植物的莖，兩邊部分像這顆植物上長出來的葉子。用中間的數(shù)字表示兩位運(yùn)動(dòng)員得分的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字分布表示兩個(gè)人各場得分的個(gè)位數(shù)，例如3|389就表示了33，38，39這3個(gè)數(shù)據(jù)。.從這個(gè)莖葉圖可以看出甲運(yùn)動(dòng)員的得分大致對稱平均得分及中位數(shù)、眾數(shù)都是30多分；乙運(yùn)動(dòng)員的得分除一個(gè)51外，也大致對稱，平均得分及中位數(shù)、眾數(shù)都是20多分，因此甲運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比乙好．.畫莖葉圖的步驟S1將每個(gè)數(shù)據(jù)分為莖（高位）和葉（低位）兩部分；S2將最小莖和最大莖之間的數(shù)按大小次序排成一列，寫在左（右）側(cè)；S3將各個(gè)數(shù)據(jù)的葉按大小次序?qū)懺谄淝o右（左）側(cè)。.幾種表示樣本分布的方法比較：（1）頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數(shù)據(jù)分布的總體態(tài)勢不太方便；（2）頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數(shù)據(jù)，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到頻率分布表中看不清楚的數(shù)據(jù)模式，但是從頻率分布直方圖本身不能得出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，也就是說，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。.（3）頻率分布折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢，如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷縮小，那么折線圖就趨向于總體密度曲線。（4）用莖葉圖刻畫數(shù)據(jù)有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是所有的信息都可以從這個(gè)莖葉圖中得到；二是莖葉圖便于記錄和表示，能夠展示數(shù)據(jù)的分布情況，但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多或數(shù)據(jù)位數(shù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便了。.例1.在某電腦雜志的一篇文章中，每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)如下：10，28，31，17，23，27，18，15，26，24，20，19，36，27，14，25，22，11，24，27，17.在某報(bào)紙的一篇文章中，每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)如下：27，39，33，24，28，19，32，41，33，27，35，12，36，41，27，13，22，23，18，46，32，22。.（1）將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示；（2）將這兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，得到什么結(jié)論？（1）將這兩組數(shù)據(jù)用莖葉圖表示；.（2）電腦雜志上每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)集中在10，30之間，中位數(shù)為22.5，而報(bào)紙上每個(gè)句子的字?jǐn)?shù)集中在20，40之間，中位數(shù)為27.5，還可以看出電腦雜志上每個(gè)句子的平均字?jǐn)?shù)比報(bào)紙上每個(gè)句子的平均字?jǐn)?shù)要少，說明電腦雜志作為科普讀物需要簡潔明了、通俗易懂。.例2.有人說：“莖葉圖表示三位數(shù)以上的數(shù)據(jù)時(shí)不夠方便”,果真如此嗎？請看下例：現(xiàn)在能否用莖葉圖來表示上述數(shù)據(jù)呢？.解：從上述數(shù)據(jù)可以看到它們的百位數(shù)字都是3，所不同的僅僅是十位和個(gè)位，而兩位數(shù)據(jù)是可以作莖的，那么只需在莖的位置寫上百位和十位，葉的位置上寫上個(gè)位即可。.例3.某運(yùn)動(dòng)員得分的莖葉圖如下，試判斷他的得分的中位數(shù)，眾數(shù)及穩(wěn)定程度..解：從這個(gè)圖可以直觀的看出該運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)是36、眾數(shù)是31與36，且得分大都在20和40之間，分布較對稱，集中程度高，說明其發(fā)揮比較穩(wěn)定．.練習(xí)題：1.在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示（）A.頻率/樣本容量 B.組距×頻率C.頻率 D.頻率/組距D.2.在用樣本頻率估計(jì)總體分布的過程中，下列說法中正確的是（）A.總體容量越大，估計(jì)越精確B.總體容量越小，估計(jì)越精確C.樣本容量越大，估計(jì)越精確D.樣本容量越小，估計(jì)越精確C.3.一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后組距與頻數(shù)如下表.組距[10，20)[20，30)[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)頻數(shù)234542則樣本在區(qū)間(－∞，50)上的頻率為()A.0.5B.0.25C.0.6D.0.7D.4.10個(gè)小球分別編有號碼1，2，3，4，其中1號球4個(gè)，2號球2個(gè)，3號球3個(gè)，4號球1個(gè)，數(shù)0.4是指1號球占總體分布的（）A.頻數(shù)B.頻率C.頻率/組距D.累計(jì)頻率B.5.已知樣本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10，那么頻率為0.25的樣本的范圍是()A.[5.5，7.5)B.[7.5，9.5)C.[9.5，11.5)D.[11.5，13.5)D.6.頻率分布直方圖中，小長方體的面積等于()A.相應(yīng)各組的頻數(shù)B.相應(yīng)各組的頻率C.組數(shù)D.組距B.7.將容量為50的數(shù)據(jù)，按從小到大的順序分為6組，如下表.組號123456頻數(shù)68101097第3組的頻率和前3組的累計(jì)頻率是（）A.0.24和0.5 B.0.2和0.48C.0.06和0.24 D.0.14和0.48B.8.從一群學(xué)生中抽取一個(gè)一定容量的樣本對他們的學(xué)習(xí)成績進(jìn)行分析，已知不超過70分的人數(shù)為8人，其累計(jì)頻率為0.4，則這樣的樣本容量是（）A.20人 B.40人C.70人 D.80人A.9.一個(gè)容量為n的樣本分成若干組，已知某組的頻數(shù)和頻率分別是30和0.25，則n=____________.12010.將100個(gè)數(shù)據(jù)分成8個(gè)組，其中有一組是9個(gè)數(shù)據(jù)，那么該組的頻數(shù)是______，頻率是____________.90.09.11.從某校2100名學(xué)生隨機(jī)抽取一個(gè)30名學(xué)生的樣本，樣本中每個(gè)學(xué)生用于課外作