高中數(shù)學(xué) 2.2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布（1） 新人教A必修3

2.2用樣本估計(jì)總體2.2.1用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布.1.通過實(shí)例體會分布的意義和作用.2.在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖.(重點(diǎn))

3.通過實(shí)例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布，準(zhǔn)確地做出總體估計(jì).(難點(diǎn)).我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出.2000年全國主要城市中缺水情況排在前10位的城市.某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a,用水量不超過a的部分按平價收費(fèi)，超過a的部分按議價收費(fèi).(1)如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那

么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢？(2)為了較合理地確定這個標(biāo)準(zhǔn)，你認(rèn)為需要做哪些工作？.頻率分布表和頻率分布直方圖（1）求極差（一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差）.例如，4.3-0.2=4.1，說明樣本數(shù)據(jù)的變化范圍是4.1(t).（2）決定組距與組數(shù).設(shè)k=極差÷組距，若k為整數(shù)，則組數(shù)=k，否則，組數(shù)=k+1..為方便起見，組距的選擇應(yīng)力求“取整”.在本問題中，如果取組距為0.5（t)，那么組數(shù)=極差÷組距=4.1÷0.5=8.2，因此可以將數(shù)據(jù)分為9組，這個組數(shù)是比較合適的，于是取組距為0.5，組數(shù)為9..（4）列頻率分布表.計(jì)算各小組的頻率，作出下面的頻率分布表.（頻數(shù)=樣本數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的個數(shù),頻率=頻數(shù)÷樣本容量）（3）將數(shù)據(jù)分組.以組距為0.5將數(shù)據(jù)分組時，可以分成以下9組：[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]..列頻率分布表:分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率[0,0.5)[0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5)[2.5,3)[3,3.5)[3.5,4)[4,4.5]合計(jì)48152225146420.040.080.150.220.250.140.060.041001.00頻率=樣本容量頻數(shù)注意頻數(shù)的合計(jì)應(yīng)是樣本容量，頻率合計(jì)應(yīng)是1.0.02頻率/組距0.080.160.300.440.500.280.120.080.04頻率分布表一般分“分組”，“頻數(shù)累計(jì)”（可?。?，“頻數(shù)”，“頻率”,“頻率/組距”五列，最后一行是合計(jì).(5)畫頻率分布直方圖.根據(jù)頻率分布表可以得到如圖所示的頻率分布直方圖:月均用水量/t0.100.200.300.400.50O頻率/組距0.511.52.53.54.5234.提升總結(jié)：頻率分布直方圖的畫法第一步：畫平面直角坐標(biāo)系.第二步：在橫軸上均勻標(biāo)出各組分點(diǎn)，在縱軸上標(biāo)出單位長度.第三步：以組距為寬，各組的頻率與組距的商為高，分別畫出各組對應(yīng)的小長方形.頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般用頻率分布直方圖來反映樣本的頻率分布..月均用水量/t頻率/組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O各組的頻率在圖中哪里顯示出來？各小長方形的面積=頻率.各小長方體的面積之和是否為定值？各小長方形的面積之和為1.寬度：組距高度：頻率組距.月均用水量/t0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O你能根據(jù)上述頻率分布直方圖指出居民月均用水量的一些數(shù)據(jù)特點(diǎn)嗎？頻率/組距.（1）居民月均用水量的分布是呈“山峰”狀的，而且是“單峰”的；（2）大部分居民的月均用水量集中在一個中間值附近，只有少數(shù)居民的月均用水量很多或很少；（3）居民月均用水量的分布有一定的對稱性.頻率分布直方圖非常直觀地表明了樣本數(shù)據(jù)的分布情況，使我們能夠看到頻率分布表中看不太清楚的數(shù)據(jù)模式，但原始數(shù)據(jù)不能在圖中表示出來..如果市政府希望85%左右的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)上述頻率分布表，你對制定居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)（即a的取值）有何建議？88%的居民在3t以下，標(biāo)準(zhǔn)可定為3t.在實(shí)際中，取a=3t一定能保證85%以上的居民用水不超標(biāo)嗎？在實(shí)踐中，對統(tǒng)計(jì)結(jié)論是需要進(jìn)行評價的..頻率分布直方圖如下：月均用水量/t0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點(diǎn),得到頻率分布折線圖.o頻率/組距.利用樣本頻率分布對總體分布進(jìn)行相應(yīng)估計(jì):（1）上例的樣本容量為100，如果增至1000，其頻率分布直方圖的情況會有什么變化？假如增至10000呢？（2）樣本容量越大，這種估計(jì)越精確.（3）當(dāng)樣本容量無限增大，組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線——總體密度曲線..總體密度曲線月均用水量/tab（圖中陰影部分的面積，表示總體在區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的百分比）.o頻率/組距.總體密度曲線總體密度曲線反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，精確地反映了總體的分布規(guī)律，是研究總體分布的工具.

用樣本頻率分布直方圖去估計(jì)相應(yīng)的總體分布時，一般樣本容量越大，頻率分布直方圖就會無限接近總體密度曲線，就越精確地反映了總體的分布規(guī)律，即越精確地反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比..莖葉圖某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽得分的原始記錄如下：甲運(yùn)動員得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39;乙運(yùn)動員得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39..莖葉圖甲乙0123452554161679490846368389

1葉就是從莖的旁邊生長出來的數(shù)，表示得分的個位數(shù)字莖是指中間的一列數(shù)，表示得分的十位數(shù)字.從運(yùn)動員的成績的分布來看，乙運(yùn)動員的成績更好；從葉在莖上的分布情況來看，乙運(yùn)動員的得分更集中于峰值附近，說明乙運(yùn)動員的發(fā)揮更穩(wěn)定..莖葉圖的優(yōu)、缺點(diǎn)：在樣本數(shù)據(jù)較少時，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好.它不但可以保留所有信息，而且可以隨時紀(jì)錄，這對數(shù)據(jù)的紀(jì)錄和表示都能帶來方便.但當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時，莖葉圖就顯得不太方便.因?yàn)槊恳粋€數(shù)據(jù)都要在莖葉圖中占據(jù)一個空間，如果數(shù)據(jù)很多，枝葉就會很長..1.將樣本容量為100的數(shù)據(jù)按從大到小的順序分為8組如下表：912131514141310頻數(shù)87654321組號則第三組的頻率為（）(A)0.14(B)1/14(C)0.03(D)3/14Ａ.2.將一個容量為50的樣本數(shù)據(jù)分組后,組距和頻數(shù)如下:［12.5，15.5），３；［15.5，18.5），8；［18.5，21.5），9；［21.5，24.5），11；［24.5，27.5），1０；［27.5，30.5），6；［30.5，33.5］，3．則估計(jì)小于或等于30的數(shù)據(jù)大約占總體的（）(A)９４％(B)６％(C)８８％(D)１２％Ａ

.3.某地區(qū)為了了解知識分子的年齡結(jié)構(gòu)，隨機(jī)抽樣50名，其年齡分別如下：42，38，29，36，41，43，54，43，34，44，40，59，39，42，44，50，37，44，45，29，48，45，53，48，37，28，46，50，37，44，42，39，51，52，62，47，59，46，45，67，53，49，65，47，54，63，57，43，46，58.(1)列出樣本頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖；(3)估計(jì)年齡在32歲～52歲的知識分子所占的比例約是多少..【解析】(1)極差為67-28=39，取組距為5，分為8組.分組頻數(shù)頻率

[27，32）30.06

[32，37）30.06

[37，42）90.18

[42，47）160.32

[47，52）70.14

[52，57）50.10

[57，62）40.08

[62，67]30.06

合計(jì)501.00樣本頻率分布表：.（2）樣本頻率分布直方圖：年齡0.060.050.040.030.020.01273237424752576267O（3）因?yàn)?.06+0.18+0.32+0.14=0.7，故年齡在32歲～52