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.........................................一、填空題(每題4分,共24分)1.以y=±x為漸近線,且經(jīng)過點M(-1)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是____..【解析】設(shè)所求雙曲線方程為∵M(-1)在雙曲線上,∴∴λ=2,∴雙曲線方程為答案:.2.如果雙曲線(a>0,b>0)的兩條漸近線互相垂直,那么該雙曲線的離心率為____..【解析】雙曲線的兩條漸近線為y=±x,∵兩條漸近線互相垂直,∴·(-)=-1∴a=b∴答案:.3.(2010·福建高考)若雙曲線(b>0)的漸近線方程式為y=±x,則b等于____.【解析】∵雙曲線的漸近線方程為y=±x,∴b=1.答案:1.4.若雙曲線的漸近線l的方程為y=±x,則雙曲線焦點F到漸近線l的距離為____.【解析】的漸近線方程為y=±∴m=5,焦點為(±0)則焦點(0)到l:y=x的距離答案:.5.(2010·慈溪高二檢測)已知雙曲線C的焦點、實軸端點分別恰好是橢圓的長軸端點、焦點,則雙曲線C的漸近線方程為____..【解析】由橢圓方程易知a=5,b=4,∴c2=a2-b2=25-16=9,∴c=3,∴橢圓的長軸端點為(5,0),(-5,0),焦點為(3,0),(-3,0)∴雙曲線的焦點為(5,0),(-5,0)頂點為(3,0),(-3,0)∴c′=5,a′=3,∴b′2=c′2-a′2=25-9=16,∴b′=4,∴雙曲線的漸近線方程為y=±答案:y=±.6.(2010·吉安高二檢測)已知橢圓(a>b>0)與雙曲線有相同的焦點,則雙曲線的離心率為____.【解析】由題意:∴a2=3b2,∴c2=a2+b2=b2+3b2=4b2,∴∴答案:.二、解答題(每題8分,共16分)7.求一條漸近線方程是3x+4y=0,一個焦點是(4,0)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,并求此雙曲線的離心率..【解析】設(shè)雙曲線方程為:9x2-16y2=λ(λ≠0),∵雙曲線有一個焦點為(4,0),∴λ>0,雙曲線方程化為:∴雙曲線方程為:∴..8.(2010·南充高二檢測)已知雙曲線的中心在原點,焦點F1、F2在坐標(biāo)軸上,離心率e=且過點(4,).(1)求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線kx-y-3k+m=0(其中k為參數(shù))所過的定點M恰在雙曲線上.求證:F1M⊥F2M.
【解題提示】(1)由離心率可得a、b關(guān)系,設(shè)出方程代入點可求出a2,b2即得方程.(2)中先求定點,代入曲線方程判定kF1M·kF2M=-1..【解析】(1)設(shè)雙曲線的實半軸,虛半軸分別為a,b(a>0,b>0),由題意得:∴a=b,于是可設(shè)雙曲線方程為:x2-y2=λ(λ≠0),將點(4,)代入可得:16-10=λ,λ=6,∴該雙曲線的方程為:(2)直線方程可化為:k(x-3)=y-m,則它所過定點M(3,m)代入雙曲線方程:得:..9.(10分)已知雙曲線C的方程為直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點在圓x2+y2=5上,求m的值..【解析】設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),線段AB的中點為M(x0,y0),由得x2-2mx-m2-2=0(判別式Δ>
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